函數(shù)奇偶性的歸納總結(jié)

1、函數(shù)的奇偶性的歸納總結(jié)考綱要求：了解函數(shù)的奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法。教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)奇偶性的概念；2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法；3、掌握函數(shù)的奇偶性應(yīng)用的類型和方法；4、培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索創(chuàng)新的精神。教學(xué)重點：1、理解奇偶函數(shù)的定義；2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法，并探索其中簡單的規(guī)律。教學(xué)難點：1、對奇偶性定義的理解；2、較復(fù)雜函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)奇偶性的某些應(yīng)用。教學(xué)過程：、知識要點：1、函數(shù)奇偶性的概念一般地，對于函數(shù)f(X)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-X)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。一般地

2、，對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-X)-f(X),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。理解：奇偶性是針對整個定義域而言的，單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的。這兩個概念的區(qū)別之一就是，奇偶性是一個“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是一個“局部”性質(zhì)；定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。2、按奇偶性分類，函數(shù)可分為四類：奇函數(shù)非偶函數(shù)、偶函數(shù)非奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、亦奇亦偶函數(shù).3、奇偶函數(shù)的圖象：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱的函數(shù)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)。4、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)

3、于原點對稱)。常用的結(jié)論：若f(x)是奇函數(shù)，且x在0處有定義，則f(0)=0。奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同，最值相反。奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0Wab)上單調(diào)遞增(減)，則f(x)在區(qū)間b,a上也是單調(diào)遞增(減)；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反，最值相同。偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0Wa0，得xW(g,3U(3,+x).x3【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性:4一x2定義域不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù).(1).f(x)解：(1).由31x0 x,33；(2)f(x)3sin(丁一2x)；.f(x)茴4一x20，解得12-x-2x,

4、33豐0|x豐0且x豐6定義域為匕0或0 x0)0,(x0)x(1,x),(x0)【例3】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1).f(x)log(x+Jx2+1)；(2).f(x)0時，一x0,f(一x)，(一x)(1一x)，一x(1一x)，一f(x);當(dāng)x=0時，_x，0,f(x)，0，f(x);當(dāng)x0,f(-x)，(-x)E1一(-x)=x(1+x)，一f(x)綜上可知，對于任意的實數(shù)x，都有f(-x)，-f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。說明：分段函數(shù)判斷奇偶性，必分段來判斷，只有各段為同一結(jié)果時函數(shù)才有奇偶性。分段函數(shù)判斷奇偶性，也可用圖象法。2、抽象函數(shù)判斷其奇偶性：【例4】已知函數(shù)f(x)

5、(xGR且x0),對任意的非零實數(shù)xx,恒有1,2f(x-x)，f(x)+f(x),判斷函數(shù)f(x)(xGR且x0)的奇偶性。1212解：函數(shù)的定義域為(g,0)(0,+8)，令xx，x2，1，得f，0，令x,兀2，-1，則2f(-1)，f(1),.f(-1)，0,取x,-1,兀2=x，得f(-x)，fl-1)+f(x),二f(-x)，f(x),故函數(shù)f(x)(xGR且x0)為偶函數(shù)。3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：(1).求字母的值：ax2+1【例5】已知函數(shù)f(x)，aa；(a,b,cgZ)是奇函數(shù)，又f，2，f(2)3,bx+c求a,b,c的值.解:由f(-x)，-f(x)得-bx+c，-(bx+

6、c)，：c，0。AF又f(1)，2得a+1，2b，而f(2)3得4+13，2b4a+13，解得-1a2oa+1又agZ，a，0或a，1.若a，0，則b，1電Z，應(yīng)舍去；若a，1，則b，1gZb=iez,2a，1,b，1,c，0of闊說明：本題從函數(shù)的奇偶性入手，利用函數(shù)的思想(建立方程或不等式，組成混合組)，使問題得解有時也可用特殊值，如幾-1)=-幾1),得c=0。(2).解不等式：【例6】若fx)是偶函數(shù)，當(dāng)xW0，+w)時，f(x)=xl，求f(x-1)0的解集。分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可先作出fx)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法.解：畫圖可知fx)VO的解集為x丨一lVxVl,fx

7、1)VO的解集為xI0 x2.答案：xI0 x2說明：本題利用數(shù)形結(jié)合的方法解題較快、簡捷本題也可先求fx)的表達(dá)式，再求fx一1)的表達(dá)式，最后求不等式的解也可得到結(jié)果.(3).求函數(shù)解析式：【例7】已知fx)是R上的奇函數(shù)，且xW(w,0)時，fx)=xlg(2x),求fx).分析：先設(shè)x0,求fx)的表達(dá)式，再合并.解：V(x)為奇函數(shù)，f(0)=0.當(dāng)x0時，一x0,f(x)=xlg(2+x)，即一fx)=xlg(2+x),fx)=xlg(2+x)(x0).)_xlg(2x)(x0)。說明：注意自變量在區(qū)間上的轉(zhuǎn)化，分段函數(shù)的處理和分類討論的思想緊密相連。三、鞏固訓(xùn)練：一、選擇題1.若

8、y=f(x)在xw0,+w)上的表達(dá)式為y=x(1x)，且fx)為奇函數(shù)，則xW(0時fx)等于A.x(1x)B.x(1+x)C.x(1+x)D.x(x1)1xex12已知四個函數(shù)：j_log,J_，y=3x+3-x，y=lg(3x+3-x).TOC o 1-5 h z21xex1其中為奇函數(shù)的是A.B.C.D.3已知y=(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，fx)=x22x,則在R上fx)的表達(dá)式為A.x(x2)B.x(IxI2)C.IxI(x2)D.IxI(IxI2)二、填空題4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且定義域為a1,2ab=.15.若f(x)_+a(xR且x#0)

9、為奇函數(shù)，則2x1a.已知f(x)ax7bx+2且f(5)17,則f(5)已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0 x3時,f(x)的圖像如右圖所示，那么不等式f(x)cosx0,Afx)=(x)(1+x),fx)=x(1+x).fx)=x(l+x).答案：B提示：可運用定義，逐個驗算答案：D解析：設(shè)x0)、f(x),即f(x)=x(Ixl2)，故答案：B。一x22x(x0)二、填空題14解析：定義域關(guān)于原點對稱，故a1=2a,a=,31又對于fx)有f(x)=f(x)恒成立，：b=0.答案：,0。31115.解析：特值法：Tf(1)=f(1),+a=(+a),a=。2-1-121-12

10、答案:6.解析：整體思想：f(5)=a(5)7b(5)+2=17二(a575b)=15,.f(5)=a57b5+2=15+2=13.答案：一13。7解析：Jf(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，補(bǔ)充其圖像如圖，又不等式f(x)-cosx0同解于f(x)0或f(x)0cosx0cosx0廠20 x1,不等式f(x)-cosx0的解集是，解得2x,-1丿3,或-兀252(0,1),3“,答案：(0,1)廠兀2-e,-12丿三、解答題8解：由x=G(x)21又G(x)(exex)2Rfx)得f(x)=ex.Qf:x)121(ex-e-x)-G(-x),G(x)為奇函數(shù)。29證明：令x=y=0，有f(

11、0)+f(0)=2f2(0).J0)0,Af(0)=1.令x=0,fy)+f(y)=2f(0)fy)=2fy).f(y)=f(y).:f(x)是偶函數(shù).歸納：賦值法(代入特殊值)在處理一般函數(shù)問題時經(jīng)常用到.(1)，10.解：又T函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，:.f(一x)二f(x),g(一x)二一g(x),3上式化為f(x)-g(x)二(2),解(1),(2)組成的方程組得一x,3x2一9(xgR,x3)。11.分析：問題的結(jié)構(gòu)特征啟發(fā)我們設(shè)法利用奇偶性來解解：令g(x)=x5+ax3-bx,則g(x)是奇函數(shù)，所以g(-2)=g(2),于是f(-2)=g(-2)-&g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12解：設(shè)h(x)二af(x),bg(x),則h(x)二af(x),bg(x)為奇函數(shù)，因為當(dāng)xg(0,+s)時，F(xiàn)(x)5,所以h(x)=af(x),bg(x)=F(x)一2一3,即F(x)一1,故F(x)在區(qū)間(-,0)上的最小值為-1。13解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(