二次函數(shù)與面積計(jì)算問(wèn)題

1、二次函數(shù)與面積計(jì)算問(wèn)題第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日例1:已知拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，S AOC=_ S BOC=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日S COP=_ S PAB=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日S PCB=_ (3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S ACP=_ EFFDE

2、第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日 在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么ACM與ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值。 （2004紹興中考題） M x y A B C O -1 3 第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日二次函數(shù)中面積問(wèn)題常見(jiàn)解決方法：一、運(yùn)用二、運(yùn)用四、運(yùn)用分割三、運(yùn)用相似第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日BC鉛垂高水平寬ha圖2AxCOyABD11圖1例1：如圖1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，

3、交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)B。（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求CAB的鉛垂高CD及SCAB ；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使SPABSCAB ，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。一、運(yùn)用第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日xCOyABD11圖2P（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h 第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日AxyBO練習(xí)1如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到線段OB（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A

4、、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由第9頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日AxyBO解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BMx軸于M由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OBOA2AOB120，BOM60M代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為yx 2x C（3）存在 直線AB的解析式為yx x1代入直線AB的解析式 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1， )P 當(dāng)x時(shí)，PAB的面積有最

5、大值，最大值為（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日2.如圖，拋物線yx 2bxc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；PQOBACyxP第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PBC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由QOBACyxP第12頁(yè)，

6、共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日ABMPONxyxmyx3如圖，已知拋物線yax 2bx4與直線yx交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為1和4。（1）求此拋物線的解析式。（2）若平行于y軸的直線xm（0m1）與拋物線交于點(diǎn)M， （3）在（2）的條件下，連接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM 的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。與直線yx交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）。拋物線的解析式為yx 22x4 MNMPPNm 23m4 當(dāng)m1.5時(shí)，S有最大值。第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日如圖，

7、二次函數(shù) 圖象與軸x交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，與 y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M ， 為直角三角形, 圖象的對(duì)稱軸為直線 ，P點(diǎn)是拋物線上位于A、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的面積的最大值為（ ） C（西湖區(qū)2011學(xué)年第一學(xué)期期末測(cè)試）第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日P-3-13Q第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日PQ第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日例2. （貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到COD（

8、點(diǎn)A轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置），拋物線yax 2bxc(a0)經(jīng)過(guò)C、D、B三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求PAB的面積； （3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MBC的面積等于PAB的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由-3BAxyO2-1-112345-21345二.運(yùn)用第17頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)拋物線經(jīng)過(guò)B（4，0），C（2，0）可設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)(x4)D（0，4）代入上式 （2）SPABS四邊形PEOB SAOB SPEA6 （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為

9、M（x，y） y2 EC第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日 練習(xí)1已知二次函數(shù)yx 2axa2（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)a 0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得PAB的面積為？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）a 24(a2)(a2)240不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)（2）設(shè)x1、x2是x 2axa20的兩個(gè)根則x1x2a，x1x2a2此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為(x1x2)213即(

10、x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1或a5a 0，a1此二次函數(shù)的解析式為yx 2x3 （3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）|y|3，y3 再得x2或x3；x0或x1 P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日BAOQPxy2已知：t1，t2是方程t 22t240的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且t1t2，拋物線yx 2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）（3）在（2）的條件下，當(dāng)OPAQ的面積為24時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，

11、說(shuō)明理由（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求OPAQ的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)S24時(shí), P的坐標(biāo)為（3，4）、（4，4）當(dāng)點(diǎn)P為（3，4）時(shí)，滿足POPA，此時(shí)，OPAQ是菱形當(dāng)點(diǎn)P為（4，4）時(shí)，不滿足POPA，此時(shí)OPAQ不是菱形要使OPAQ為正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），而（3，3）不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)P，使OPAQ為正方形 第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日例3:如圖，拋物線與x

12、軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的兩個(gè)根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；BAyOPECx（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）解方程x22x80，得x12，x24 A（4，0），B（2，0）拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)(x4)（a0） 又拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0

13、，4），a2(4)4， 三、運(yùn)用相似第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日BAyOPECx（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EGx軸于點(diǎn)G，如圖A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBACSCPESCBPSBPE2m4，當(dāng)m1時(shí)，SCPE有最大值3此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）G第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日練習(xí)1如圖，已知拋物線yax 2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)（OAOC）是方程x 25x40的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x1（

14、1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；yxBDOAECA（1，0），B（3，0），C（0，4） 當(dāng)m2時(shí)，S有最大值2 D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0） 第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長(zhǎng)為m，CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yxBDOAEC第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日如圖，拋物線yax 22axc（a0）與y軸交于點(diǎn)C

15、（0，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）（1）求該拋物線的解析式；AOBxQCDEy第25頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；AOBxQCDEy第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）問(wèn)是否有這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由AOBxQCDEy第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)1

16、4分，星期日2如圖，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度i3 : 4動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿BCD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PC與BQ相互平分；（3）連結(jié)PQ ，設(shè)PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？ CDABQPBC10t=0 t 時(shí) 第28頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日CDABQPEF第29頁(yè)，共41頁(yè)，2

17、022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日CDABQPE綜合，得 當(dāng)t3秒時(shí)，y有最大值為厘米2 第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日3. （11杭州）（本小題滿分12分）圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，又關(guān)于直線AC，BD對(duì)稱，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h1和h2， OEF與OGH組成的圖形稱為蝶形。（1）求蝶形面積S的最大值；（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h1與h2 滿足的關(guān)系式，并求h2的取值范圍。第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日解：（1）由題意，得

18、四邊形ABCD是菱形.，即所以當(dāng)時(shí)，.由ABDAEF第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日例4如圖，拋物線yx 22xk與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（圖2、圖3為解答備用圖）（1）k ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）設(shè)拋物線yx 22xk的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；3 （1，0） （3，0） yxBAOCM（2）M的坐標(biāo)為（1，4） S四邊形ABMC SAOC SCOM SMOB9 四、運(yùn)用分割方法第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，

19、請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）在拋物線yx 22xk上求點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形yxBAOCM第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日yxBAOCD（3）設(shè)D（m，m 22m3），連結(jié)OD，如圖則0m3，m 22m30S四邊形ABDC SAOC SCOD SDOB四邊形ABDC的面積最大 （4）Q1（2，5）和Q2（1，4）第35頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日OCABxyM（圖）OCABxy（圖）練習(xí)1如圖，已知拋物線yax 2bx3（a0）與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的

20、解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE， 求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)yx 22x3 S四邊形BOCE 最大，且最大值為 E第36頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)14分，星期日DCMyOABQPx2如圖，已知拋物線ya(x1)2(a0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過(guò)O作射線OMAD過(guò)頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連結(jié)BC（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)