高中數(shù)學(xué)必修二 4 第4課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算

1、第4課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)有關(guān)三角形面積的計(jì)算掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算三角形的綜合問(wèn)題能夠運(yùn)用正、余弦定理解決三角形中的一些綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算 問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P53 T10和P54 T18兩個(gè)題目，思考以下問(wèn)題：如何用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積？三角形的面積公式(1)Seq f(1,2)ahaeq f(1,2)bhbeq f(1,2)chc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高)(2)Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B.(3)Seq f(1,2)(abc)r(r為A

2、BC內(nèi)切圓的半徑)名師點(diǎn)撥 三角形的面積公式Seq f(1,2)absin C與原來(lái)的面積公式Seq f(1,2)ah(h為a邊上的高)的關(guān)系為hbsin C，實(shí)質(zhì)上bsin C就是ABC中a邊上的高 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形()(2)已知三角形兩邊及其夾角不能求出其面積()(3)已知三角形的兩內(nèi)角及一邊不能求出它的面積()答案：(1)(2)(3) 在ABC中，A60，AB1，AC2，則SABC的值為()A.eq f(1,2)B.eq f(r(3),2)C.eq r(3) D2eq r(3)解析：選B.SABCeq f(1,2)ABACsin

3、Aeq f(1,2)12eq f(r(3),2)eq f(r(3),2). 已知ABC的面積為eq f(3,2)，且b2，ceq r(3)，則A()A30 B60C30或150 D60或120解析：選D.由SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(3,2)，得eq r(3)sin Aeq f(3,2)，sin Aeq f(r(3),2)，由0A180，知A60或A120. 在ABC中，A30，AB2，BC1，則ABC的面積為_(kāi)解析：由eq f(BC,sin A)eq f(AB,sin C)，知sin C1，則C90，所以B60，從而SABCeq f(1,2)ABBCsin Beq f(

4、r(3),2).答案：eq f(r(3),2)與三角形面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題(1)(2019湖南婁底重點(diǎn)中學(xué)期末)在ABC中，已知BC6，A30，B120，則ABC的面積等于()A9B18C9eq r(3) D18eq r(3)(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知c2，Ceq f(,3)，且SABCeq r(3)，則a_，b_【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，得eq f(AC,sin B)eq f(BC,sin A)，所以ACeq f(BCsin B,sin A)eq f(6sin 120,sin 30)6eq r(3).又因?yàn)镃1801203030，所以SABCeq

5、 f(1,2)6eq r(3)6eq f(1,2)9eq r(3).(2)由余弦定理，得a2b2ab4，又ABC的面積等于eq r(3)，所以eq f(1,2)absin Ceq r(3)，得ab4，聯(lián)立方程組eq blc(avs4alco1(a2b2ab4,ab4)，解得a2，b2.【答案】(1)C(2)22三角形面積計(jì)算的解題思路對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，一般用公式Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B進(jìn)行求解，可分為以下兩種情況：(1)若所求面積為多邊形，可通過(guò)作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積(2)若所給條件為邊角關(guān)系，則

6、需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進(jìn)行求解eq avs4al() 1(2019黑龍江大慶中學(xué)期中)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a7，b3，c8，則ABC的面積等于()A12 Beq f(21,2)C28 D6eq r(3)解析：選D.在ABC中，由余弦定理可得64499273cos C，所以cos Ceq f(1,7)，所以sin Ceq f(4r(3),7)，所以SABCeq f(1,2)absin C6eq r(3)，故選D.2如圖，四邊形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，則該四邊形的面積等于()Aeq r(3) B5eq r(3)

7、C6eq r(3) D7eq r(3)解析：選B.連接BD，在BCD中，由已知條件，知DBCeq f(180120,2)30，所以ABD90.在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C，知BD22222222cos 12012，所以BD2eq r(3)，所以S四邊形ABCDSABDSBCDeq f(1,2)42eq r(3)eq f(1,2)22sin 1205eq r(3).3在ABC中，A60，b1，ABC的面積為eq r(3)，則邊a的值為_(kāi)解析：由SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)csin 60eq r(3)，得c4，因?yàn)閍2b2c22bcc

8、os A1168cos 6013，所以aeq r(13).答案：eq r(13)三角形中的線段長(zhǎng)度和角度的計(jì)算已知四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積【解】(1)連接BD，則由題設(shè)及余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos Ceq f(1,2)，故C60，BDeq r(7). (2)四邊形ABCD的面積Seq f(1,2)ABDAsin Aeq f(1,2)BCCDsin Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12f

9、(1,2)32)sin 602eq r(3).三角形中幾何計(jì)算問(wèn)題的解題思路(1)正確挖掘圖形中的幾何條件簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過(guò)解三角形，一般問(wèn)題便能很快解決(2)此類(lèi)問(wèn)題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件eq avs4al() 已知四邊形ABCD滿(mǎn)足BAD90，BCD150，DAC60，AC2，ADeq r(3)1.求CD的長(zhǎng)和ABC的面積解：在ACD中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcosCAD6，所以CDeq r(6).在ACD中，由正弦定理得eq f(CD,sinCAD)eq f(AC,sinADC)，則sinADCeq f(r

10、(2),2)，又0ADC0，所以cos Beq f(1,2).又B(0，)，所以Beq f(2,3).(2)由SABCeq f(1,2)acsin Beq r(3)，得ac4.又b2a2c2ac(ac)2ac16.所以ac2eq r(5)，所以ABC的周長(zhǎng)為42eq r(5).變條件、變問(wèn)法在本例(2)中，去掉條件“ABC的面積為eq r(3)”，求(1)ABC周長(zhǎng)的取值范圍；(2)ABC面積的最大值解：(1)由余弦定理得b2a2c22accos B，即b2a2c2ac.又b4，所以16a2c2ac(ac)2ac(ac)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(ac,2)eq sup12

11、(2).所以eq f(3,4)(ac)216，所以(ac)2eq f(64,3).即4aceq f(8r(3),3).所以8abc4eq f(8r(3),3).(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，即b2a2c2ac，又b4，所以16a2c2ac2acac3ac，即aceq f(16,3).所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)eq f(16,3)eq f(r(3),2)eq f(4r(3),3).即ABC面積的最大值為eq f(4r(3),3).解三角形綜合問(wèn)題的方法(1)三角形中的綜合應(yīng)用問(wèn)題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識(shí)聯(lián)系

12、在一起，要注意選擇合適的方法、知識(shí)進(jìn)行求解(2)解三角形還常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識(shí)綜合考查，解答此類(lèi)題目，首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解eq avs4al() 在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知Aeq f(,4)，bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)a.(1)求證：BCeq f(,2)； (2)若aeq r(2)，求ABC的面積解：(1)證明：由bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)csineq

13、 blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)a及正弦定理，得sin Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)sin Csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)sin A，即sin Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin Cf(r(2),2)cos C)sin Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin Bf(r(2),2)cos B)eq f(r(2),2)，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0Beq f(3,4)，0Ceq f(3,4)，從而B(niǎo)

14、Ceq f(,2).(2)因?yàn)锽CAeq f(3,4)，BCeq f(,2)，所以Beq f(5,8)，Ceq f(,8).由aeq r(2)，Aeq f(,4)，得beq f(asin B,sin A)2sineq f(5,8)，ceq f(asin C,sin A)2sineq f(,8)，所以ABC的面積Seq f(1,2)bcsin Aeq r(2)sin eq f(5,8)sin eq f(,8)eq r(2)coseq f(,8)sin eq f(,8)eq f(1,2).1在ABC中，A60，AB2，且ABC的面積SABCeq f(r(3),2)，則邊BC的長(zhǎng)為()Aeq r(3

15、)B3Ceq r(7) D7解析：選A.因?yàn)镾ABCeq f(1,2)ABACsin A，所以eq f(1,2)2ACsin 60eq f(r(3),2).所以AC1.又BC2AB2AC22ABACcos A4122cos 603.所以BCeq r(3).2已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.b2，Beq f(,6)，Ceq f(,4)，則ABC的面積為()A22eq r(3) Beq r(3)1C2eq r(3)2 Deq r(3)1解析：選B.由正弦定理，得eq f(c,sinf(,4)eq f(2,sinf(,6)，解得c2eq r(2).又Aeq f(,6)eq f(,4

16、)eq f(7,12)，則ABC的面積Seq f(1,2)bcsineq f(7,12)eq r(3)1.3在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若ceq r(3)，b1，C120.(1)求B的大??；(2)求ABC的面積S.解：(1)由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得sin Beq f(bsin C,c)eq f(1,2)，因?yàn)樵贏BC中，bc且C120，所以B30.(2)因?yàn)锳BC180，所以A1801203030，所以Seq f(1,2)bcsin Aeq f(r(3),4).A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a4

17、，b3，C60，則ABC的面積為()A3B3eq r(3)C6 D6eq r(3)解析：選B.ABC的面積為eq f(1,2)absin Ceq f(1,2)43eq f(r(3),2)3eq r(3).2在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos 2Asin A，bc2，則ABC的面積為()Aeq f(1,2) Beq f(1,4)C1 D2解析：選A.由cos 2Asin A，得12sin2 Asin A，解得sin Aeq f(1,2)或sin A1(舍去)，所以SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(1,2).3在ABC中，已

18、知b2bc2c20，且aeq r(6)，cos Aeq f(7,8)，則ABC的面積等于()Aeq f(r(15),2) Beq r(15)C2 D3解析：選A.因?yàn)閎2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，因?yàn)閏os Aeq f(7,8)，所以sin Aeq f(r(15),8)，所以SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)42eq f(r(15),8)eq f(r(15),2).4已知ABC的周長(zhǎng)為20，面積為10eq r(3)，A60，則BC邊的長(zhǎng)為()A5 B6C7 D8解析：選C.由題設(shè)abc20，eq

19、f(1,2)bcsin 6010eq r(3)，所以bc40.a2b2c22bccos 60(bc)23bc(20a)2120.所以a7.即BC邊的長(zhǎng)為7.5在ABC中，若b2，A120，其面積Seq r(3)，則ABC外接圓的半徑為()Aeq r(3) B2C2eq r(3) D4解析：選B.因?yàn)镾eq f(1,2)bcsin A，所以eq r(3)eq f(1,2)2csin 120，所以c2，所以aeq r(b2c22bccos A)eq r(44222blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq r(3)，設(shè)ABC外接圓的半徑為R，所以2Req f(a,sin A)eq f(

20、2r(3),f(r(3),2)4，所以R2.6在ABC中，a3eq r(2)，b2eq r(3)，cos Ceq f(1,3)，則ABC的面積為_(kāi)解析：因?yàn)閏os Ceq f(1,3)，0C0，所以SABCeq f(1,2)ABACsin A10eq r(3)k210eq r(3)，所以k1，AB8，AC5，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A8252285eq f(1,2)49，所以BC7，所以ABC的周長(zhǎng)為ABBCAC20.答案：209設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且cos Beq f(4,5)，b2.(1)當(dāng)Aeq f(,6)時(shí)，求a的值； (2)若AB

21、C的面積為3，求ac的值解：(1)因?yàn)閏os Beq f(4,5)0，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以sin Beq f(3,5).由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得eq f(a,sin f(,6)eq f(10,3)，解得aeq f(5,3).(2)由ABC的面積Seq f(1,2)acsin B，得eq f(1,2)aceq f(3,5)3，得ac10.由余弦定理b2a2c22accos B，得4a2c2eq f(8,5)aca2c216，即a2c220，所以(ac)22ac20，即(ac)240，所以ac2eq r(10

22、).10(2019高考全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin eq f(AC,2)bsin A.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asineq f(AC,2)sin Bsin A.因?yàn)閟in A0，所以sineq f(AC,2)sin B.由ABC180，可得sineq f(AC,2)coseq f(B,2)，故coseq f(B,2)2sineq f(B,2)coseq f(B,2).因?yàn)閏oseq f(B,2)0，故sineq f(B,2)eq f(1,2)，因此B60.(2)由題設(shè)及(1)

23、知ABC的面積SABCeq f(r(3),4)a.由正弦定理得aeq f(csin A,sin C)eq f(sin（120C）,sin C)eq f(r(3),2tan C)eq f(1,2).由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故eq f(1,2)a2，從而eq f(r(3),8)SABCeq f(r(3),2).因此，ABC面積的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)，f(r(3),2).B能力提升11在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若c2，Ceq f(,3)，且ab3，則ABC的面積為()

24、A.eq f(13r(3),12) B.eq f(5r(3),4)C.eq f(5,12) D.eq f(5r(3),12)解析：選D.由余弦定理得c2a2b22abcos C，所以22a2b22abcoseq f(,3)，即4(ab)23ab，又ab3，所以abeq f(5,3)，所以SABCeq f(1,2)absineq f(,3)eq f(5r(3),12)，故選D.12(2019高考全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b6，a2c，Beq f(,3)，則ABC的面積為_(kāi)解析：由余弦定理得b2a2c22accos B，又因?yàn)閎6，a2c，Beq f(,3)，所以36

25、4c2c222c2eq f(1,2)所以c2eq r(3)，a4eq r(3)，所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)4eq r(3)2eq r(3)eq f(r(3),2)6eq r(3).答案：6eq r(3)13(2019株洲二中期末)如圖，在ABC中，D是AC邊上的點(diǎn)，且ABADeq f(r(3),2)BD，BC2BD，則sin C的值是_解析：設(shè)ABx，則ADx，BDeq f(2r(3),3)x，BCeq f(4r(3),3)x.在ABD中，由余弦定理，得cos Aeq f(x2x2f(4,3)x2,2x2)eq f(1,3)，則sin Aeq f(2r(2),3).在ABC中，由正弦定理，得eq f(x,sin C)eq f(BC,sin A)eq f(f(4r(3),3)x,f(2r(2),3)，解得sin Ceq f(r(6),6).答案：eq f(r(6),6)14.如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，CADeq f(,4)，ACeq f(