數(shù)學(xué)建模課件第九章概率模型

1、第九章 概率模型9.1 傳送系統(tǒng)的效率9.2 報童的訣竅9.3 隨機存貯策略9.4 軋鋼中的浪費9.5 隨機人口模型9.6 航空公司的預(yù)訂票策略確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑9.1 傳送系統(tǒng)的效率問題分析 進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一

2、件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 可以用一個周期內(nèi)傳送帶運走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標。 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同。模型假設(shè)1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，

3、若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運送系統(tǒng)。模型建立 定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則 s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上方模型解釋若(一周期運行的)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n, 則 傳

4、送帶效率(一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D (一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑： 增加m 習(xí)題1當n遠大于1時, E n/2m E與n成正比，與m成反比若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)9.2 報童的訣竅問題報童售報： a (零售價) b(購進價) c(退回價)售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c 每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進量每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機的存在一個合適的購進量等于每天收入的期望建模 設(shè)每天購進 n 份，日平均收入為

5、 G(n)調(diào)查需求量的隨機規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2準備求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢0rp9.3 隨機存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s, S) 存貯策略制訂下界s, 上界S，當周末庫存小于s 時訂貨，使下周初的庫存達到S; 否則，不訂貨?？紤]訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（s, S) 存貯策略,使(平均意義下)總費用最小模型假設(shè) 每次訂貨費c0, 每件商品購進價c1

6、,每件商品一周貯存費c2,每件商品缺貨損失費c3 (c1c3) 每周銷售量 r 隨機、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫存量x, 訂貨量 u, 周初庫存量 x+u 每周貯存量按 x+u-r 計 建模與求解（s, S) 存貯策略確定(s, S), 使目標函數(shù)每周總費用的平均值最小平均費用 訂貨費c0, 購進價c1, 貯存費c2, 缺貨費c3, 銷售量 r s 訂貨下界， S 訂貨上界余貨存儲費缺貨損失費建模與求解1）設(shè) xs, 求 u 使 J(u) 最小，確定S建模與求解SP1P20rp求最值，先找駐點p(r)是密度函數(shù)，積分為02）對庫存 x，確定訂貨下限s若訂貨u, u+x=S, 總費用為 若

7、不訂貨, u=0, 總費用為 訂貨下限 s 是的最小正根建模與求解不訂貨此式自變量是x,但在取”=”時，其最小解恰為下限s最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在x=S處達到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根 s9.4 軋鋼中的浪費軋制鋼材兩道工序 粗軋(熱軋) 形成鋼材的雛形 精軋(冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余 部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報廢隨機因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費最小背景分析

8、設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為 l， 粗軋后鋼材長度的均方差為 記粗軋時可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機變量，記作 xN(m, 2)切掉多余部分的概率整根報廢的概率存在最佳的m使總的浪費最小lP0p(概率密度)mxPmPP建模選擇合適的目標函數(shù)切掉多余部分的浪費整根報廢的浪費總浪費 =+粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋N根成品材 PN根成品材長度l PN總長度mN共浪費長度 mN-lPN選擇合適的目標函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更合適的目標函數(shù)優(yōu)化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）建模粗軋N根得成品材 PN根求解求 z 使J(z) 最?。ㄒ阎?

9、） 求解例設(shè)l=2(米), =20(厘米)，求 m 使浪費最小。=l/=10z*=-1.78*= -z*=11.78m*= *=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5 隨機人口模型背景 一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t) 時刻 t 的人口, 隨機變量.Pn(

10、t) 概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n, 對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與t成正比，記bnt ;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt ;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。 bn與n成正比，記bn=n , 出生概率；dn與n成正比，記dn=n，死亡概率。進一步假設(shè)模型假設(shè)建模為得到Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).事件X(t +t)=n的分解X(t)=n-1, t內(nèi)出生一人X(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人X(t)=n, t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人， )概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t o(t)一組遞推微分方程求解的困難和不必要(