相似三角形的判定第2課時相似三角形的判定定理23課件華東師大版九年級數(shù)學上冊

第2課時

相似三角形的判定定理2、3九年級上

1.掌握相似三角形的判定定理2與判定定理3；2.經(jīng)歷相似三角形的判定定理2與判定定理3的推導過程.3.能熟練運用相似三角形的判定定理2、3證明三角形相似.學習目標重點難點難點我們都學習過哪些判定三角形相似的方法？新課引入定義法：三組對應(yīng)邊成比例，三組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形叫做相似三角形.判定定理1：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角相等，那么這兩個三角形相似(可簡單說成：兩角分別相等的兩個三角形相似).常用結(jié)論：平行于三角形的一邊，截其他兩邊或兩邊的延長線，所得的三角形與原三角形相似.觀察右圖，如果有一點E

在邊AC

上移動，那么點E

在什么位置時能使△ADE

與△ABC

相似呢？圖中△ADE

與△ABC

的一組對應(yīng)邊AD

與AB

的長度的比值為.將點E

由點A

開始在AC

上移動，可以發(fā)現(xiàn)當AE=AC時，△ADE

與△ABC

似乎相似.此時=_____.探究ABCD

一

相似三角形的判定定理2新知學習我猜想：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.下面我們來證明上述猜想.已知：如圖，在△ABC

和△A1B1C1

中，∠A=∠A1，.求證：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABCDE證明：在邊AB

或它的延長線上截取AD=A1B1，過點D

作BC

的平行線交AC

于點E，則△ADE∽△ABC，∴.∵，AD=A1B1，∴AE=A1C1.在△ADE

和△A1B1C1中，∵AD=A1B1，∠A=∠A1，AE=A1C1，∴△ADE≌△A1B1C1，△ABC≌△A1B1C1.A1B1C1ABCDE通過剛剛的證明，我們又有了一種判定兩個三角形相似的方法，即歸納相似三角形的判定定理2兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.符號語言：如圖，在△ABC

和△A1B1C1

中，∵∠A=∠A1，.

∴△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC例1 證明下圖中的△AEB

和△FEC

相似.BFEAC54453036證明：∵，=1.5，∴，又∵∠AEB=∠FEC，∴△AEB∽△FEC(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似).思考如果相等的角不是成比例的兩邊的夾角，那么這兩個三角形還相似嗎？不一定，如圖，對于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，

顯然∠C和∠C'不相等.1.根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說明理由.∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.針對訓練思考如果兩個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似嗎？

二

相似三角形的判定定理3在下圖所示的方格圖中任畫一個三角形，再畫出第二個三角形，使它的三邊長都是原來三角形三邊長的相同倍數(shù).畫完之后，用量角器度量并比較兩個三角形對應(yīng)角的大小，你得出了什么結(jié)論？你同伴的結(jié)論和你的一樣嗎？ABCA1B1C1兩個三角形對應(yīng)角均相等，兩個三角形相似.通過剛剛的探究，我們可以得出如下定理：相似三角形的判定定理3三邊成比例的兩個三角形相似.類似于前兩個判定定理的證明，我們也可以證明這個判定定理.符號語言：如圖，在△ABC

和△A1B1C1

中，

∵，

∴△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC已知：如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，

求證：△ABC∽△A′B′C′.證明ABCA′B′C′DE證明：在線段A′B′

(或延長線)上截取A′D

=

AB，過點D作DE∥B′C′

交A′C′于點E.∴∵DE∥B′C′

，∴△A′DE∽△A′B′C′.ABCA′B′C′DE∴DE

=

BC，A′E

=

AC.

∴△A′DE

≌

△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.又∵，A′D

=

AB，∴，

.

例2 在△ABC

和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A'B'=18cm，B'C'=24cm，A'C'=30cm.試證明△ABC

與△A'B'C'相似.證明：∵=

=，==，==，∴==，∴△ABC∽△A'B'C'(三邊成比例的兩個三角形相似).針對訓練1.根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.AB

=4cm，BC=6cm，AC=

8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=

24cm.解：相似.理由如下：∵∴∴△ABC∽△A′B′C′.1.如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CD與BE相交于點O，下列條件中不能使△ABE和△ACD相似的是()A．∠B＝∠C

B．∠AEB＝∠ADCC．AB∶AC＝AE∶AD

D．AD∶AB＝AC∶AED隨堂練習2.如圖，∠APD

=

90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD=1，求證：△ABC

∽

△DBA.ACBPD∵

AB:BD

=BC

:AB

=AC

:AD，∴△ABC∽△DBA(三邊成比例的兩個三角形相似).證明一：∵∠APD

=

90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD=1，∴AB=，AC=，AD=.∵

AB:BC

=BD

:AB

∠ABC

=∠DBA∴△ABC∽△DBA(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似).證明二：∵∠APD

=

90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD=1，∴AB=，BD=2，ACBPD3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，AE∥CD，DE∥AB，連接BD交AE于點F，CD＝AF