證明數(shù)學(xué)歸納法和良序原理等價_第1頁
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文檔簡介

1、證明數(shù)學(xué)歸納法和良序原理等價李博文定義數(shù)學(xué)歸納法對于自然數(shù)n，假設(shè)P(n)是某種性質(zhì)，若：1、P(0)成立；2、假設(shè)P(k)成立，且能夠推出P(k+1)成立則P(n)對任意自然數(shù)成立。即：(P(0)(P(k)P(k+1)nN, P(n)良序原理設(shè)集合S，滿足(SN)且(S),則nS,mS,有nm。即(SN)(S) nS,mS,(nm)證明數(shù)學(xué)歸納法蘊含良序原理令P(n)為以下陳述：“任意自然數(shù)的子集，若包含某一自然數(shù) i,滿足 i n，則必有最小元?！?，設(shè)子集為S(1)顯然P(0)成立(2)假設(shè)P(k)成立，即i S，i k.需證明P(k+1)成立.設(shè)集合CN，C包含k+1，若C中不存在i，

2、使得ik+1，則k+1是最小元； 若存在ik+1,由于ik,所以ik+1成立，即P(k+1)成立故良序原理成立。證明良序原理蘊含數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)數(shù)學(xué)歸納法不正確，則設(shè)自然數(shù)集S，S中的元素不滿足性質(zhì)P且S不為空集。由良序原理可知，S必有最小值m。已知如下兩條為真：1、P(0)成立；2、假設(shè)P(k)成立，且能夠推出P(k+1)成立由1可知m不為零，故m-1也是自然數(shù)，記為n，又由2可知對于n+1，性質(zhì)P成立，即對于m，性質(zhì)P成立，矛盾。皮亞諾公理0是一個數(shù)； 如n是一個數(shù)，那么n的后繼者也是一個數(shù)； 0不是任何一個數(shù)的后繼者； 如果n、m、都是自然數(shù)，并且有相等的后繼者，則n、m相等； 如果一個數(shù)的集

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