2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布-教學教案(人教A版必修3)

1、PAGE19PAGE192.2.1 用樣本的頻率分布估計總體分布三維目標1知識與技能(1)通過實例體會分布的意義和作用(2)在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中學會列頻率分布表畫頻率分布直方圖，通過實例體會頻率分布直方圖的特征2過程與方法(1)會根據(jù)具體的樣本特征選擇合適的方式來表示樣本分布(2)能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理決策提供依據(jù)，體會統(tǒng)計在現(xiàn)實生活中的作用(3)能通過對現(xiàn)實生活中的問題的探究感知應用數(shù)學知識解決問題的方法及統(tǒng)計的思想、方法3情感、態(tài)度與價值觀(1)通過對數(shù)據(jù)分析，為合理決策提供依據(jù)，初步感受統(tǒng)計結果的隨機性與規(guī)律性，體會統(tǒng)計思想與確定性思維的差異(2)通過樣本頻率分布直方圖，對總體估計的

2、過程進一步體會統(tǒng)計思想，感受數(shù)學對實際生活的應用及對實際問題解決的指導作用，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系重點難點通過以上分析，確定本節(jié)課教學的重點是：會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖教學難點是：能通過樣本的頻率分布估計總體的分布教學時要抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，引導學生結合初中學習過的頻率知識，不斷地觀察、比較、分析，采用分組討論的方式，學生獨立畫出頻率分布直方圖，明確其特征，學會對總體進行估計，同時引導學生進行解題方法的總結從而化解難點引導學生回答所提問題，學生通過小組討論，教師指導以及對例題的研究與分析，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖從而強化了重點教

3、學建議 通過對現(xiàn)實生活中實際例子的講解，以及前面知識的回顧，教會學生觀察猜想發(fā)現(xiàn)概括(歸納)的學習方法，讓學生進一步了解“轉化”的數(shù)學思想方法，在教學中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和空間想象能力，并在教學中逐步提高學生論證問題的能力根據(jù)本節(jié)內(nèi)容較抽象，學生不易理解的特點，本節(jié)教學采用啟發(fā)式教學，輔以觀察法、發(fā)現(xiàn)法、講練結合法采用這種方法的原因是高一學生的領會思想的能力比較差，通過對現(xiàn)實生活中實際例子的講解，以及前面知識的回顧，使其理解并掌握本節(jié)知識本節(jié)課讓學生通過熟知的一組數(shù)據(jù)的代表眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)下，并輔以計算器、多媒體手段，通過一定手腦結合的訓練，讓學生感受在只能得到頻率分布直方圖的情況下也

4、可以估計總體數(shù)字特征在課堂結構上，根據(jù)學生的認知水平，采取“仔細觀察分析研究小組討論總結歸納” 的方法，使知識的獲得與知識的發(fā)生過程環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標教學流程課標解讀1.理解用樣本的頻率分布估計總體分布的方法2會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖(重點)3能夠利用圖形解決實際問題(難點)頻率分布直方圖【問題導思】美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年紀最小的是羅斯福，他于1901年就任，當時年僅42歲；就任時年紀最大的是里根，他于1981年就任，當時69歲下面按時間順序(從1789年的華盛頓到2009的奧巴馬，共44任)給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡：57,61,5

5、7,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,481上述44個數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差是多少？【提示】694227.2若將上述數(shù)據(jù)分成下列幾組，41.5,45,5)，45.5,49.5)，49.5,53.5)，53.5,57.5)，57.5,61.5)61.5,65.5)，65.5,69.5)各組中數(shù)據(jù)個數(shù)是多少？【提示】各組數(shù)據(jù)的個數(shù)依次為2,7,8,16,5,4,2.3在直角坐標系中，能否將各組

6、統(tǒng)計的數(shù)據(jù)直觀地表示出來？【提示】可以畫頻率分布直方圖的步驟頻率分布折線圖和總體密度曲線1.頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到了頻率分布折線圖2總體密度曲線隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)也在增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比莖葉圖莖葉圖中的莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).頻率分布表和頻率分布直方圖例1調(diào)查某校高一年級男生的身高，隨機抽取40名高三男生，實測身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 16

7、8 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖【思路探究】找出此組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，確定分組的組距和組數(shù)，列出頻數(shù)分布表，再由頻率分布表繪制頻率分布直方圖【自主解答】(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它們的差是18015129，即極差為29；確定組距為4，組數(shù)為8，頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率150.5,154.5)10.025

8、154.5,158.5)50.125158.5,162.5)50.125162.5,166.5)100.250166.5,170.5)130.325170.5,174.5)40.100174.5,178.5)10.025178.5,182.510.025合計401.000(2)頻率分布直方圖如下規(guī)律方法1在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關系：(1)若eq f(極差,組距)為整數(shù)，則eq f(極差,組距)組數(shù)；(2)若eq f(極差,組距)不為整數(shù)，則eq f(極差,組距)的整數(shù)部分1組數(shù)2組距和組數(shù)的確定沒有固定的標準，將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，縱使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，

9、組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容量不超過100，按照數(shù)據(jù)的多少常分為512組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多變式訓練某中學同年級40名男生的體重(單位：千克)如下：61 60 59 59 59 58 5857 57 57 57 56 56 5656 56 56 56 55 55 5555 54 54 54 54 53 5352 52 52 52 52 51 5151 50 50 49 48列出樣本的頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，畫出頻率分布折線圖【解】(1)計算最大值與最小值的差：614813.(2)決定組距與組數(shù)，取組距為2.eq f(13,2)6eq f(1,2)

10、，共分7組(3)決定分點，分成如下7組：47.549.5)，49.551.5)，51.553.5)，53.555.5)，55.557.5)，57.559.5)，59.561.5(也可以分為48,50)，50,52)，52,54)，54,56)，56,58)，58,60)，60,627組)(4)列出頻率分布表：分組頻數(shù)頻率47.549.5)20.0549.551.5)50.12551.553.5)70.17553.555.5)80.255.557.5)110.27557.559.5)50.12559.561.520.05合計401.00(5)作出頻率分布直方圖如圖(6)取各小長方形上端的中點并用

11、線段連接就構成了頻率分布折線圖莖葉圖的繪制及應用例2某中學高二(2)班甲、乙兩名學生自進入高中以來，每次數(shù)學考試成績情況如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101畫出兩人數(shù)學成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較【思路探究】題中數(shù)據(jù)均為兩位數(shù)，可用十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉作莖葉圖，然后根據(jù)莖葉圖分析兩人成績【自主解答】甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示從這個莖葉圖上可以看出，乙同學的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是98；甲同學的得分情況，也大致對稱，中

12、位數(shù)是88.乙同學的成績比較穩(wěn)定，總體情況比甲同學好規(guī)律方法1繪制莖葉圖的關鍵是分清莖和葉，如本題中數(shù)據(jù)是兩位數(shù)，十位數(shù)字為“莖”，個位數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)時，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分為“葉”，解題時要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點合理選擇莖和葉2利用莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析時，一般從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾個方面來考慮變式訓練某良種培育基地正在培養(yǎng)一種小麥新品種A，將其與原有一個優(yōu)良品種B進行對照實驗，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,4

13、23,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)畫出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量用其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結論【解】(1)莖葉圖如圖所示AB9 7358 73635371 48383 5 69 2391 2 4 4 5 7 75 0400 1 1 3 6 75 4 2410 2 5

14、67 3 3 14224 0 04305 5 3444 145(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不但可以看出數(shù)據(jù)的分布情況，而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù)(3)通過觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均畝產(chǎn)量約為411.1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397.8千克由此可知品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高，但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中在平均畝產(chǎn)量附近頻率分布直方圖、折線圖的綜合應用例3為了檢測某種產(chǎn)品的質量，抽取了一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下：10.75,10.85)，3；10.85,10.95)，9；10.95,11.05)，13；11.05,11.15)，1

15、6；11.15,11.25)，26；11.25，11.35)，20；11.35,11.45)，7；11.45,11.55)4；11.55,11.65，2.(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖；(3)據(jù)上述圖表，估計數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾？(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾？【思路探究】根據(jù)畫頻率分布直方圖的步驟先畫頻率分布直方圖，再畫折線圖，然后結合直方圖的特征解決(3)(4)【自主解答】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率10.75,10.85)30.0310.85,10.95)90.0910.95,11.05)130.13

16、11.05,11.15)160.1611.15,11.25)260.2611.25,11.35)200.2011.35,11.45)70.0711.45,11.55)40.0411.55,11.6520.02合計1001.00(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖，如圖(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為1(0.030.09)(0.070.040.02)0.7575%，即數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性即數(shù)據(jù)小于11.20的頻率，設為x，則(x0.41)(11.2011.15)(0.670.41)(11.251

17、1.15)，所以x0.410.13，即x0.54，從而估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是54%.規(guī)律方法頻率分布直方圖的性質：1因為小矩形的面積組距頻率/組距頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小2在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.3頻數(shù)/相應的頻率樣本容量4在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比變式訓練為了解某校高一年級學生的體能情況，抽取部分學生進行一分鐘跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖221)，圖中從左到右各小長方形的面積之比為24171593，

18、第二小組的頻數(shù)為12.圖221(1)第二小組的頻率是多少樣本容量是多少(2)若次數(shù)在110以上(含110)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？【解】(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq f(4,24171593)0.08.又因為第二小組的頻率eq f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量eq f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)eq f(12,0.08)150.(2)由頻率分布直方圖可估計，該校高一年級學生的達標率為eq f(171593,24171593)100%88%.易錯易誤辨析忽視頻率直方圖的特征而致錯有一個容量為

19、200的樣本，其頻率分布直方圖如圖222所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12內(nèi)的頻數(shù)為_圖222【錯解】設樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12內(nèi)的頻率為x，則(0.020.050.150.19x)1，解得x0.59，所以樣本數(shù)據(jù)落在10,12內(nèi)的頻數(shù)為0.59200118.【答案】118【錯因分析】在求解過程中，把頻率分布直方圖的縱軸含義誤認為頻率【防范措施】1.明確頻率分布直方圖縱軸的含義2提高識圖能力，在頻率分布直方圖中每個小矩形的高為頻率/組距【正解】設樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12內(nèi)的頻率為x.則(0.020.050.150.19)2x1，解得x0.18.所以樣本落在10,

20、12內(nèi)的頻數(shù)為0.1820036.【答案】36課堂小結1列頻率分布直方圖的步驟：(1)計算數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差知道了極差就知道了這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大；(2)決定組數(shù)和組距組距是指每個小組的兩個端點之間的距離；(3)決定分點；(4)列頻率分布表；(5)繪制頻率分布直方圖2列頻率分布直方圖的注意事項：(1)組距的選擇應力求“取整”，如果極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除)，可適當增大極差，如在左、右兩端各增加適當范圍(盡量使兩端增加的量相同)(2)分點數(shù)的決定方法是：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點后一位的數(shù)，則分點減去0.05，以此類推.當堂雙基達標1從一群學生中抽取一個

21、一定容量的樣本，對他們的學習成績進行分析已知不超過80分的為10人，其累積頻率為0.5，則樣本容量是()A20人B40人C80人D60人【解析】樣本容量eq f(10,0.5)20人【答案】A2一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組及各組的頻數(shù)如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2.則樣本在區(qū)間20,60)上的頻率是()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8【解析】頻率eq f(3454,234542)eq f(16,20)eq f(4,5)0.8.【答案】D3200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖223所示，時速

22、在50,60)的汽車大約有_輛圖223【解析】在50,60)的頻率為0.03100.3，汽車大約有2000.360(輛)【答案】604為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖224，解答下列問題：圖224分組頻數(shù)頻率50.5,60.5)40.0860.5,70.5)0.1670.5,80.5)1080.5,90.5)160.3290.5,100.5合計50(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi)

23、)；(2)補全頻率分布直方圖【解】(1)分組頻數(shù)頻率50.5,60.5)40.0860.5,70.5)80.1670.5,80.5)100.2080.5,90.5)160.3290.5,100.5120.24合計501.00(2)頻率分布直方圖如圖所示：課后知能檢測一、選擇題1下列說法不正確的是()A頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率B頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1C頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大D頻率分布折線圖是依次連接頻率分布直方圖的每個小矩形上端中點得到的【解析】頻率分布直方圖的每個小矩形的高eq f(頻率,組距).【答案】A2一個容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最

24、大值為152，最小值為60，組距為10，應將樣本數(shù)據(jù)分為()A10組B9組C8組D7組【解析】由題意可知，eq f(15260,10)9.2，故應將數(shù)據(jù)分為10組【答案】A3(2013日照高一檢測)容量為100的樣本按從小到大的順序分為8組，如表：組號12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻數(shù)與頻率分別是()A14,0.14 B0.14,14C.eq f(1,4)，0.14 D.eq f(1,3)，eq f(1,14)【解析】由上表知第3組的頻數(shù)為14，頻率為eq f(14,100)0.14.【答案】A圖2254如圖225所示的是2003年至2012年某省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人

25、口數(shù)的莖葉圖，圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字，從圖中可以得到2003年至2012年此省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為()A304.6 B303.6 C302.6 D301.6【解析】由莖葉圖得到2003年至2012年城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)為：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，所以平均數(shù)為eq f(291291295298302306310312314317,10)eq f(3 036,10)303.6.【答案】B圖2265(2013煙臺高一檢測)為了解某校教

26、師使用多媒體進行教學的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校400名授課教師中抽取20名，調(diào)查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù)，結果用莖葉圖表示如圖226.據(jù)此可估計該校上學期400名教師中，使用多媒體進行教學次數(shù)在16,30)內(nèi)的人數(shù)為()A100 B160 C200 D280【解析】觀察莖葉圖，抽取的20名教師中使用多媒體數(shù)學次數(shù)在16,30)內(nèi)的有8人，所以該區(qū)間段的頻率為eq f(8,20)0.4，因此全校400名教師使用多媒體教學次數(shù)在16,30)內(nèi)的有4000.4160(人)【答案】B二、填空題6一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40和0.1，則n_.【解

27、析】neq f(40,0.1)400.【答案】4007如圖227是一次考試結果的頻率分布直方圖，若規(guī)定60分以上(含60分)為考試合格，則這次考試的合格率為_圖227【解析】由圖知合格率為(0.0240.012)200.7272%.【答案】72%8(2013日照高一檢測)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為234641，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于_【解析】設第一組至第六組的樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)為2x,3x,4x,6x,4x，x，則2x3x4x27，得x3.故n20 x60.【答案】60三、解答題9有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組

28、的頻率如下：12.5,15.5)，6；15.5,18.5)，16；18.5,21.5)，18；21.5,24.5)，22；24.5,27.5)，20；27.5,30.5)，10；30.5,33.5，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)求數(shù)據(jù)小于30.5的頻率【解】(1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率12.5,15.5)60.0615.5,18.5)160.1618.5,21.5180.1821.5,24.5)220.2224.5,27.5)200.2027.5,30.5)100.1030.5,33.580.08合計1001.00(2)頻率分布直方圖如圖(3)由于

29、數(shù)據(jù)大于等于30.5的頻率是0.08，故數(shù)據(jù)小于30.5的頻率是0.92.10在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子中所含字數(shù)如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,21,24,27,17,29.在某報紙的一篇文章中，每個句子中所含字數(shù)如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22,18,32.(1)分別用莖葉圖表示上述兩組數(shù)據(jù)；(2)將這兩組數(shù)據(jù)進行比較分析，你能得到什么結論？【解】(1)莖葉圖如圖所示：(2)從莖葉圖可看出：電

30、腦雜志的文章中每個句子所含字數(shù)集中在1030之間；報紙的文章中每個句子所含字數(shù)集中在2040之間，且電腦雜志的文章中每個句子所含字的平均個數(shù)比報紙的文章中每個句子所含字的平均個數(shù)要少，因此電腦雜志的文章較簡明11某校在5月份開展了科技月活動在活動中某班舉行了小制作評比，規(guī)定作品上交的時間為5月1日到31日，逾期不得參加評比評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如圖228)已知從左到右各長方形的高的比為234641，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題：圖228(1)本次活動共有多少件作品參加評比？(2)哪組上交的作品數(shù)最多有多少件(3)經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？【解】(1)設從左到右各長方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x，x.設參加評比的作品總數(shù)為a件，依題意得：4x5eq f(12,a)，xeq f(3,5a)，滿足(2x3x4x6x4xx)51.解得a60(件)(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有6x5a18(件)(3)第四組和第六組上交的作品數(shù)分別為：18件，x5a3(件)，則它們的獲獎率分別為：eq f(10,18)eq f(5,