計(jì)算方法1引論

1、孫在，重慶人。1991-1998 南京航空航天大學(xué)（本碩）1998-2001 煙臺(tái)東方電子有限公司2002-2006 上海交通大學(xué) （博士）2007-今 中國(guó)計(jì)量學(xué)院簡(jiǎn)介2辦公室：仰儀北樓606電話：8687 5662Email: 3參考書(shū)目計(jì)算方法與實(shí)習(xí)第四版，袁慰平，東南大學(xué)出版社，2005計(jì)算方法，李桂成，電子工業(yè)出版社，2005數(shù)值計(jì)算方法，呂同富，清華大學(xué)出版社，20084計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題步驟5計(jì)算方法領(lǐng)域的科學(xué)家阿基米德(公元前287年公元前212年）古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。阿基米德成為兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，并且享有“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”的美稱。阿基米德流傳

2、于世的數(shù)學(xué)著作有10余種，多為希臘文手稿。 6牛頓(1664-1727)牛頓的主要貢獻(xiàn)有發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律和經(jīng)典力學(xué)等等，被譽(yù)為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學(xué)家。牛頓在數(shù)值計(jì)算方法領(lǐng)域也作出了很大的貢獻(xiàn)，比如牛頓迭代法求解非線性方程、牛頓積分方法等。 7歐拉(1707-1783)高斯(1777-1855)8計(jì)算機(jī)時(shí)代馮.諾依曼（1903-1957）910學(xué)習(xí)要點(diǎn)計(jì)算方法研究的對(duì)象與特點(diǎn)；誤差理論：誤差的來(lái)源、度量與傳播；數(shù)值計(jì)算的若干原則。111 計(jì)算方法的概念、研究對(duì)象與特點(diǎn)計(jì)算方法：是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)數(shù)學(xué)分支；研究對(duì)象：適合于在計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值求解方法

3、及相關(guān)理論；方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析；方法的優(yōu)化；研究特點(diǎn)：數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)格性；應(yīng)用廣泛性、與計(jì)算機(jī)的嚴(yán)密結(jié)合性。122 應(yīng)用示例例1 求解 x 在2,4區(qū)間的值方程有解析解：x=3，-1也可以令經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代從結(jié)果可以看到：循環(huán)迭代越長(zhǎng)，計(jì)算結(jié)果越接近于精確解，換句話說(shuō)：誤差越來(lái)越小13例2 求解初值問(wèn)題該方程的解析解為其數(shù)值解方法很多，比如歐拉方法、經(jīng)典的四階R-K方法等14其中h為步長(zhǎng)15現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見(jiàn)下表:xnynyxnyny01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.3

4、41641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.7320516對(duì)不可壓流動(dòng)，三維湍流瞬時(shí)控制方程（N-S）為：湍流的基本方程173 誤差與有效數(shù)字誤差的來(lái)源模型誤差：數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題之間的誤差觀測(cè)誤差：觀測(cè)得到的物理量與真實(shí)值之間的差異截?cái)嗾`差：計(jì)算過(guò)程中，有限過(guò)程代替無(wú)限過(guò)程的誤差舍入誤差：計(jì)算中四舍五入帶來(lái)的誤差前兩種誤差是客觀存在的，后兩種是由計(jì)算方法引起的，也是本課程研究的重點(diǎn)18絕對(duì)誤差：設(shè)x*為準(zhǔn)確值，x是x*的一

5、個(gè)近似值，稱e=x*-x為近似值x的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限：|e|= |x*-x| ，簡(jiǎn)稱為誤差限，也可以表示為：x*=x 問(wèn)題：絕對(duì)誤差是否容易得到？為什么？19絕對(duì)誤差的局限：多種情況下不能反映近似值的好壞，可比性不足相對(duì)誤差：設(shè)x*為準(zhǔn)確值，x是x*的一個(gè)近似值，稱er=(x*-x)/x*為近似值x的相對(duì)誤差，由于真值x*難以獲得，通常用 代替相對(duì)誤差限：若有r滿足|er|r，稱r為x的相對(duì)誤差限20有效數(shù)字引入有效數(shù)字的目的是為了更明確地表達(dá)數(shù)的準(zhǔn)確度，比如：x* = = 1.732050808按照四舍五入的方法，取三位，x1=1.73，10.005；取五位，

6、x2=1.7321，10.00005；它們的誤差都不超過(guò)末位的半個(gè)單位21有效數(shù)字定義1：如果近似值x的誤差限是某一位上的半個(gè)單位，且該位直到x的第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x有n位有效數(shù)字 X = x x x x x x x x自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過(guò)該位的半個(gè)單位n位22有效數(shù)字定義2：設(shè)x*是x的一個(gè)近似值，寫成規(guī)格化形式其中ai (i=1，2n)為09之間的整數(shù)，且a10，m為整數(shù)。如果則稱x*為x的具有n位有效數(shù)字的近似值。23例3 對(duì)下列數(shù)寫出4位有效數(shù)字的近似值268.712-0.0021302623.0002130623.00012105268.7-0.002

7、1303.0003.000105例4 指出下列各數(shù)有幾位有效數(shù)字13.5034-300000.910865124 機(jī)器數(shù)系456.789-6.4730.005670.3210.456789103-0.64731010.56710-20.321100尾數(shù)部定位部數(shù)的浮點(diǎn)表示25一個(gè)基數(shù)為 的t位數(shù)字的浮點(diǎn)表示形式為 x= (0. a1a2a3at) p 2是整數(shù)，通常為2，8，10，16； ai都是整數(shù)，且 0 ai -1 t 是計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng) p稱為指數(shù)，也稱計(jì)算機(jī)的階碼，它帶有符號(hào)，有固定的下限L和上限U26x= (0. a1a2a3at) p 尾數(shù)部 s=0. a1a2a3at = 那么 x

8、=s p 若規(guī)定a10，則-1 |s | 1，稱x為規(guī)格化浮點(diǎn) 數(shù)27機(jī)器數(shù)系定義：把計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)所組成的集合加上“機(jī)器零”記為F，它也被稱為機(jī)器數(shù)系特征描述：設(shè)F可以用4個(gè)參數(shù)描述：基數(shù) ，字長(zhǎng)t，階碼范圍L,U，那么F的集合稱為機(jī)器數(shù)系 F含有 1+2（ -1） t-1（U-L+1） 個(gè)數(shù)溢出：若計(jì)算的中間結(jié)果超出了F中的最大數(shù)和最小數(shù)范圍，則稱溢出28當(dāng)一個(gè)實(shí)數(shù)x進(jìn)入計(jì)算機(jī)后，成為計(jì)算機(jī)里的數(shù)，稱它為x的機(jī)器數(shù)，用fl(x)表示；由于計(jì)算機(jī)的表達(dá)范圍有限，通常對(duì)實(shí)數(shù)只能近似表示，往往通過(guò)截?cái)嗷蛏崛雭?lái)取得接近實(shí)數(shù)的近似值29例6 具有十進(jìn)制、3位字長(zhǎng)、-L=U=5的2臺(tái)計(jì)算機(jī)，一臺(tái)為截?cái)?/p>

9、機(jī)，一臺(tái)為舍入機(jī)，其規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)為：實(shí)數(shù)截?cái)鄼C(jī)浮點(diǎn)數(shù)舍入機(jī)浮點(diǎn)數(shù)34560.3451040.346104-3.1419-0.314101-0.3141010.0084560.84510-20.84610-2321453溢出溢出30數(shù)據(jù)誤差的影響對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)，自變量的誤差必然引起函數(shù)值的誤差，函數(shù)越復(fù)雜，這種數(shù)據(jù)誤差的影響也隨之復(fù)雜，通常用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法來(lái)估計(jì)。對(duì)二元函數(shù)31對(duì)函數(shù) y=f(x1,x2),設(shè)x1，x2是近似值，x1*,x2*是準(zhǔn)確值，函數(shù)準(zhǔn)確值為：y*=f(x1*,x2*)，于是，函數(shù)y的絕對(duì)誤差為：e(y) = y* - y = f(x1*,x2*) - f(x1,x2)將f

10、(x1*,x2*)在（x1,x2）處作泰勒展開(kāi)，并取一階泰勒多項(xiàng)式，得e(y)的近似表達(dá)式為：32函數(shù)的相對(duì)誤差33幾個(gè)常用的計(jì)算函數(shù)和、差、積、商的公式e(x1+x2) e(x1) + e(x2) e(x1- x2) e(x1) - e(x2) e(x1 x2) x2e(x1) + x1e(x2) e(x1 / x2) e(x1)/x2 - x1e(x2) /x22er(x1+x2) er(x1) x1/(x1+x2)+ er(x2) x2/(x1+x2) er (x1- x2) er(x1) x1/(x1-x2)- er(x2) x2/(x1-x2)er (x1 x2) er(x1) +

11、er(x2) er (x1 / x2) er(x1) - er(x2) 34例5 已測(cè)得某物體行程s*的近似值s=800m，所需時(shí)間t*的近似值t=35s。若已知|t* -t |0.5s ，試求平均速度v的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。解：公式 v=s/t的誤差估計(jì)式為： 絕對(duì)誤差 e(v) = e (s/t) e(s)/t se(t)/t2 相對(duì)誤差 er(v) = er (s/t) er (s) er (t) 35| e(v) | | e(s)/t se(t)/t2| e(s)/t |+ | se(t)/s2| 0.5/35+800*0.05/3520.0469 0.05| er (v) | | e(s) er (t)| er (s) |+ | er (t)| 0.5/800+0.05/350.00205365 誤差危害的防止例7 建立積分 n=0,1,2,20的遞推關(guān)系式，并研究它的誤差傳遞判據(jù)：若第n+1步的誤差en+1與第n步的誤差en滿足則稱此計(jì)算公式是絕對(duì)穩(wěn)定的，否則稱為不是絕對(duì)穩(wěn)定的 使用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式37盡量避免兩相近數(shù)相減