代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

1、代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)第1頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個(gè)條件：（1）有一個(gè)非空集合S；（2）有一些建立在集合S上的運(yùn)算；（3）這些運(yùn)算在集合S上是封閉的。上述三個(gè)條件說明如下： 集合S上的元素一般講是一些經(jīng)過抽象的元素, 如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、字母、字符串等。集合S給出了代數(shù)系統(tǒng)所研究的客體的范圍。 運(yùn)算的概念具有一定的廣泛性和抽象性, 不僅包括常見的算術(shù)運(yùn)算(+,-,), 還包括抽象的運(yùn)算, 如兩個(gè)字符串的“并置”等, 也包括任意定義的運(yùn)算?！斑\(yùn)算”是代數(shù)系統(tǒng)對(duì)其研究客體加工的工具。 集合S中的元素經(jīng)某一運(yùn)算后它的結(jié)果仍在S中, 則稱此運(yùn)算在集

2、合S上是封閉的。5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì)第2頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例: 一個(gè)在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\(yùn)算的系統(tǒng) 構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) Z=-3,-2,-1,0,1,2,3, 且有集合Z上 的運(yùn)算“+”, 這個(gè)加法運(yùn)算對(duì)Z是封閉的 一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上且?guī)в袃蓚€(gè)二元運(yùn)算“+” 與“”的系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) R是一個(gè)集合, 在R上的兩個(gè)運(yùn)算它們均 是封閉的。定義5.1 設(shè)S為集合，函數(shù) f : SS S 稱為S上的二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算。例如： f :N N N，f ()= x + y 為自然數(shù)集合N上的二元運(yùn)算，即普通的加法運(yùn)算。第3頁，共61頁，2022年，5月2

3、0日，20點(diǎn)53分，星期日考慮： f: N N N，f ()=x-y 呢？驗(yàn)證一個(gè)運(yùn)算是否為集合S上的二元運(yùn)算需考慮兩點(diǎn)：(1) S中任兩個(gè)元素都能進(jìn)行這種運(yùn)算，且運(yùn)算 結(jié)果唯一。(2) S中任意兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于S，即S 對(duì)該運(yùn)算是封閉的。考慮:除法運(yùn)算是否是實(shí)數(shù) 集R上的二元運(yùn)算呢?不是0不能做除法運(yùn)算。集合R-0可以定義除法運(yùn)算。 5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì)第4頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.1 考察下列運(yùn)算是否是指定集合上二元運(yùn)算?(1) 自然數(shù)集合N上的加、減、乘、除。(2) 整數(shù)集合Z上的加、減、乘、除。(3) 非零實(shí)數(shù)集 R*上的加、減、乘、除

4、。(4) n 階實(shí)矩陣上的加、乘。(5) 集合S的冪集上的、 、-、 。(6) 集合S上的所有函數(shù)的集 SS上的復(fù)合運(yùn)算。 SS = f f: S S 注意:通常用 , *,等符號(hào)表示二元運(yùn)算,稱為算符如：設(shè)f: SS S 稱為S上的二元運(yùn)算，對(duì)于任意的x,yS，如果x與y的運(yùn)算結(jié)果是 z，即 f()=z, 可利用算符 簡(jiǎn)記為 x y=z第5頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.2 正整數(shù)集合Z+上的加法運(yùn)算是一個(gè)二元運(yùn)算, 下列運(yùn)算均是Z+的子集，下列加法運(yùn)算在這些子集上是二元運(yùn)算嗎? 說明理由。(1) S1 = n n 是 15 的因子 (2) S2 = n n

5、是 15 的倍數(shù) (3) S3 = n 6 整除 n，而 24 整除 n2 解: (1) 加法運(yùn)算在S1 上不封閉。因?yàn)? S1 , 5 S1 , 但 3 + 5 = 8 S1 , 不是二元運(yùn)算(2) 加法運(yùn)算在S2 上是封閉的。其證明如下： 對(duì)于任意n1 , n2 S2 ,設(shè)n1 =15 k1, n2 =15 k2 (k1, k2 Z+ )則 n1 + n2=15 k1+15 k2 =15(k1+ k2 ) (k1+ k2 Z+ ) n1 + n2 S2 是二元運(yùn)算第6頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.2 正整數(shù)集合Z+上的加法運(yùn)算是一個(gè)二元運(yùn)算, 下列運(yùn)算均是

6、Z+的子集，加法運(yùn)算在這些子集上是二元運(yùn)算嗎? 說明理由。(3) S3 = n 6 整除 n，而 24 整除 n2 解: (3) 加法運(yùn)算在S3 上是封閉的。其證明如下： 對(duì)于任意n1 , n2 S3 ,設(shè)n1 =6 k1, n2 =6 k2 (k1, k2 Z+ )則 n1 + n2=6 k1+6 k2 =6(k1+ k2 ) (k1+ k2 Z+ ) n1 + n2 能被6整除 又(n1 + n2)2 = n12 + 2n1 n2 +n22 ,根據(jù)題意, n12 能被24整除,n22能被24整除,而 2n1n2= 26k16k2 =24 (3k1k2) 也能被24整除,因此(n1 + n2

7、)2能被24整除由此知 n1 + n2 S3 是二元運(yùn)算 第7頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.2 設(shè)S為集合，n為正整數(shù)，則函數(shù) f : SS S S 稱為S上的一個(gè)n元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為n元運(yùn)算。 （當(dāng)n=1時(shí)，則為一元運(yùn)算）例如： (1) 求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是Z、Q、R上一元運(yùn)算。 (2) 求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是Q、R上一元運(yùn)算。 (3) 求一個(gè)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)C上一元運(yùn)算。 (4) 集合上的絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算。A= x xA (5) 求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)運(yùn)算。 例 定義實(shí)數(shù)集R上二元運(yùn)算 ：x,yR,x y= x 計(jì)算 5 1, 4.9 | -1n第8頁，共61頁，2022年，

8、5月20日，20點(diǎn)53分，星期日運(yùn)算表 一元、二元運(yùn)算的另一種表示法ai 。aia1 。a1a2 。a2 an 。an一元運(yùn)算表的一般形式。 a1 a2 ana1 a1。a1 a1 。a2 a1 。ana2 a2。a1 a2 。a2 a2 。an an an。a1 an 。a2 an 。an二元運(yùn)算表的一般形式第9頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日ai ai 1，21 2 2 1 1，2 例5.3 設(shè)S=1，2，給出S上的運(yùn)算和的 運(yùn)算表。其中全集為SA=S-A=xxSxA 第10頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 1 2 1，2 1 2 1,2

9、 1 1 1,2 22 2 1,2 1 1,2 1,2 2 1 例5.4 設(shè)S= 1, 2 , 給出S上的運(yùn)算 和 的 運(yùn)算表。其中全集為SA B=（AB）-（AB）第11頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 例5.5 設(shè)S =1, 2, 3, 4,定義 S 上的二元運(yùn)算, 如下: x y = ( x y ) mod 5 , x , y S 求 的運(yùn)算表。解: (x y) mod 5 是 x y 除以5的余數(shù), 其運(yùn)算如下表第12頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53

10、分，星期日定義5.3 設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任 意的x,y S都有 x y = y x 則稱運(yùn)算 在S上是可交換的， 或說 運(yùn)算在S上符合交換律?？疾煜铝羞\(yùn)算在指定集合上是否符合交換律?(1) 實(shí)數(shù)集合上的加、減、乘、除。(2) n階實(shí)矩陣上的加、乘。(3) 集合S的冪集上的、 、-、 。 A=1,2,3 B=1,4 A-B=2,3 B-A=4 第13頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.4設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y,z S都有 (x y) z =x (y z)則稱運(yùn)算 在S上是可結(jié)合的，或說 運(yùn)算在S上符合結(jié)合律。考察下列運(yùn)算在指定集合上是

11、否符合結(jié)合律?(1) N、Z、Q、R 集合上的加、乘。(2) n階實(shí)矩陣上的加、乘。(3) 集合S的冪集上的、 、 。第14頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.6 設(shè)R為實(shí)數(shù)集, 定義 R 上的二元運(yùn)算, 如下: x y = x1+y1-x1 y1 則 滿足交換律和結(jié)合律。證: x y = x1+y1-x1 y1 = y1 + x1- y1 x1= y x 滿足交換律( x y) z = (x1+y1-x1 y1 ) z = (x1+y1-x1 y1 ) + z1- (x1+y1-x1 y1 ) z1 = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1

12、z1 +x1 y1 z1 x (y z) = x (y1+z1-y1 z1 ) = x1 + (y1+z1-y1 z1 ) - x1 (y1+z1-y1 z1 ) = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z1 滿足結(jié)合律 證畢第15頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.5 設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的 x S都有 x x = x 則稱該運(yùn)算適合冪等律,x為運(yùn)算 的冪等元考察下列運(yùn)算在指定集合上是否符合冪等律?(1) N、Z、Q、R集合上的加、乘。 普通加法、乘法不適合冪等律，但0是加法的冪等元，1是乘法的冪等元。(

13、2) n階實(shí)矩陣上的加、乘。 同理，n階零矩陣是矩陣加法的冪等元，n階單位矩陣是矩陣乘法的冪等元。(3) 集合S的冪集上的、 、 、-。 后兩個(gè)運(yùn)算一般不適合冪等律，但是它們的冪等元。第16頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.6 設(shè) 和 * 是S上的兩個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì) 于任意的x,y,z S有 x *( y z) =(x * y) (x * z) （左分配律） ( y z) * x =(x * y) (x * z) （右分配律）則稱運(yùn)算*對(duì) 是可分配的,也稱*對(duì) 適合分配律。如：(1) N、Z、Q、R 集合上的乘法對(duì)加法。(2) n階實(shí)矩陣上的乘法對(duì)加法。(3)

14、 集合上的、互相可分配。推而廣之,如果*對(duì) 分配律成立，則x*(y1 y2 yn)=(x *y1) (x * y2) (x * yn)(y1 y2 yn)*x=(y1* x) (y2* x) (yn* x )a(b+c)=ab+ac第17頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日學(xué)習(xí)如登山，苦戰(zhàn)能過關(guān)。定義5.7設(shè) 和 * 是S上的兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y S都有 x *( x y) =x x (x * y)=x則稱*和 滿足吸收律。如：集合上的和滿足吸收律。即，任意集合A，B滿足 A (A B) =A A (A B) =A第18頁，共61頁，2022年，5月

15、20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.8 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算，如果存在 el( 或 er ) S使得 x S 都有 el x =x (或 x er =x ) 則稱el(或er)是S中關(guān)于 運(yùn)算的一個(gè)左幺元（或右幺元），若eS關(guān)于 運(yùn)算既是左幺元又是右幺元， 則稱e為S上關(guān)于 運(yùn)算的幺元（單位元）。如：(1) 在N、Z、Q、R上，0是加法的幺元，1是乘法的 幺元。 (2) n階0矩陣是矩陣加法的幺元，n階單位矩陣是 矩陣乘法的幺元。 (3) 在集合上,是、運(yùn)算的幺元,全集是運(yùn) 算的幺元 。 (4) 恒等關(guān)系是函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的幺元。第19頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5

16、.7 設(shè) S = , 是S上的二元運(yùn)算。試指出下表的左幺元、右幺元及幺元。 表 1 表 2 表 3 解: 如表 1 所定義， 是 的幺元 （單位元） 如表 2 所定義， 和 是 的右幺元 如表 3 所定義， 和 是 的左幺元 = = = = = = = = = = = = 第20頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 er是右單位元 el是左單位元 e是單位元定理5.1 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算，el、er分別 為 運(yùn)算的左、右幺元,(單位元)則有 el = er = e 且e為S上關(guān)于運(yùn)算 的唯一幺元。證明： el er = er el er = el el = er 把el

17、 = er 記作e，則e是S中的幺元。假設(shè) e也是S中的幺元，則 e=e e=e e是S中關(guān)于 運(yùn)算的唯一的幺元。第21頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.9 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算，如果存在 l(或r) S使得xS都有 l x = l (或 x r = r )則稱l(或r)是S中關(guān)于。運(yùn)算的一個(gè)左零元（右零元）。 若S關(guān)于 運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱為S上關(guān)于 運(yùn)算的零元。如：(1) 在N、Z、Q、R上，0是乘法的零元，加法 沒有零元。 (2) n階0矩陣是矩陣乘法的零元，n階矩陣的加法 無零元。 (3) 在集合上， 運(yùn)算的零元是全集，運(yùn)算的 零元是 ，無零元

18、。第22頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.8 設(shè) A = 3, 4, 6, 9, 17, 22 , 定義A上的二元 運(yùn)算 為min, 即a b= min(a,b)為a與b中的最小者。 試證 3 是運(yùn)算 min 的零元， 22 是運(yùn)算 min 的幺元(單位元)。證: 對(duì)于任意的 a A, 都有 3 a = min( 3,a )= a 3 = min(a,3 )=3 3 是運(yùn)算 min 的零元 對(duì)于任意的 a A, 都有 22 a = min(22,a)= a 22= min(a,22)=a 22 是運(yùn)算 min 的幺元(單位元)第23頁，共61頁，2022年，5月2

19、0日，20點(diǎn)53分，星期日 r是右零元 l是左零元 是零元定理5.2 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算， l 、r 分別為 運(yùn)算的左、右零元，則有 l = r = 且 為S上關(guān)于運(yùn)算 的唯一零元。證明： l r = l l r = r l = r 把l = r 記作，則是S中的零元。 假設(shè)也是S中的零元，則 = = 是S中關(guān)于 運(yùn)算的唯一的零元。第24頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.10 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算，e S為 運(yùn) 算的幺元，對(duì)于xS， 如果yl S(或yr S)使得 yl x =e (或 x yr = e ) 則稱yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元) 。 換句

20、話說,如果對(duì)S內(nèi)的元素a,存在al-1S,使得 al-1 a =e 則稱al-1 是a的左逆元素 如果對(duì)S內(nèi)的元素a,存在ar-1S, 使得 a ar-1 = e 則稱ar-1 是a的右逆元素第25頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元。 如果x的逆元存在，則稱x是可逆的。考慮：(1) 整數(shù)集合Z上，加法逆元? x+(-x)= 0,(-x)+x = 0 存在加法逆元(2) n階0矩陣是乘法逆元、加法逆元? 對(duì)于矩陣乘法只有可逆矩陣存在逆元M-1， 使得 MM-1= E(3) 在集合上，運(yùn)算、運(yùn)算的逆元? 只有有逆元，其它

21、元素都沒有逆元第26頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 yl 。x =e x 。yr = e定理5.3 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算， e 為該運(yùn)算 的幺元(單位元).對(duì)于xS，如果存 在左逆元yl和右逆元yr ，則有 yl = yr =y 且y是x的唯一逆元。證明： yl= yl e= yl (x yr) = (yl x) yr = e 。yr= yr令yl= yr= y，則y是x的逆元。假若yS也是x的逆元，則 y=y e= y (x y) = (y x) y = e y = y所以y是x的唯一逆元。 通常，將x的逆元記作x-1。第27頁，共61頁，2022年，5月20日，

22、20點(diǎn)53分，星期日定義5.11 設(shè) 是S上的二元運(yùn)算，如果 x,y,zS滿足以下條件 (1) 若 x y=x z 且 x ,則y=z. (2) 若 y x=z x 且 x ,則y=z. 則稱 運(yùn)算滿足消去律。(1)、(2) 分別 稱作左、右消去律。 考慮： (1) N、Z、Q、R上的乘法、加法。 對(duì)任意的x,y,z x+y=x+z y=z xy=xz y=z ( x0 ) (2) 在集合上 、。 例 A=1,2 B=1 C=2 AB=A C= 1,2 B C第28頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日綜上所述，二元運(yùn)算的主要性質(zhì)：交換律，結(jié)合律，冪等律，消去律分配律，吸收

23、律特殊元素：幺元（單位元） ，零元，逆元的區(qū)別 使得對(duì)xA， 滿足 x= x=x 則叫幺元（單位元） x= x 則叫零元 e為單位元, y使得y-1 y=e yy-1=e 則y-1叫y的逆元滿足吸收率滿足交換率第29頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.9 對(duì)于下列給定的集合和該集合上的二元運(yùn)算，指出該運(yùn)算的性質(zhì)，并求出它的幺元，零元和所有可逆元素的逆元。 Z+,x,y Z+,x*y=Lcm(x,y),即求x,y的最小公倍數(shù) Q, x,y Q, x * y= x + y xy.解： 此運(yùn)算符合交換律、結(jié)合律、冪等律。 1為單位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自身

24、，其它元素?zé)o逆元。 x,y Q 都有 x*y = x+y-xy = y+x-yx=y*x *滿足交換律 x,y,z Q 有 (x*y)*z=(x+y-xy)*z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)= x+y+z-xy-xz-yz+xyz *滿足結(jié)合律x x= x xe=ex=xx=x=第30頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 3 Q 有 3*3=3+3-33=-33 *不滿足冪等律 x,y,z Q (x1) 有 x*y=x*z =x+y-xy=x+z-xz =y-z=x(y-z)= y=z 同理由于*是可交換的，故右消去律也成立

25、。 *滿足消去律 xQ 有 x*0=x+0-x0= x =0+x-0 x=0*x 0是*運(yùn)算的幺元（單位元） xQ 有 x*1=x+1-x1= 1 =1+x-1x=1*x 1是*運(yùn)算的零元 第31頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 單位元的求法： * 是可交換的，因此若*有左單位元，則它也是右 單位元， 它有單位元 設(shè) rl 是左單位元，則對(duì)任意的 r Q ,應(yīng)有 rl * r = rl + r rlr =r 于是 rl rlr = 0 = rl (1 r )=0 由于r的任意性，要使上式成立，只有rl =0 0 是運(yùn)算 * 的單位元 由于 * 可交換,若元素 x 有左

26、逆元 y,則 y 必是x 的右逆元和逆元 設(shè) y 是 x 的左逆元, 則應(yīng)有 y * x = y+x-yx=0 于是 yx-y = x , 即 y(x-1) = x, x x y= x-1 (x1) x-1= x-1 (x1) 第32頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日5.2 代數(shù)系統(tǒng)及其子系統(tǒng)和積代數(shù)定義5.12 非空集合S和S上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1, f2, , fk組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng), 簡(jiǎn)稱代數(shù)，記作。 例如 , , 等都是代數(shù)系統(tǒng)。 第33頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 在某些代數(shù)系統(tǒng)中存在著一些特定的元素，如幺元、零元等，它

27、們對(duì)該系統(tǒng)的運(yùn)算起著重要的作用，稱這些元素為該代數(shù)系統(tǒng)的特異元素或代數(shù)常數(shù)。 有時(shí)，為了強(qiáng)調(diào)這些元素的重要性，經(jīng)常把它們列到代數(shù)系統(tǒng)表達(dá)式中。例如： 的幺元(單位元)是 0， 也可記為 。 中和的幺元(單位元)是 和 S, 同樣可記為 等。第34頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.13 設(shè) V= 是代數(shù)系統(tǒng), B S, 且B, 如果B對(duì)f1, f2, , fk都是封閉的, 且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù), 則稱 是V的子代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱子代數(shù)。如： 是 的子代數(shù), 因?yàn)镹對(duì)+是封閉的，且它們都沒有代數(shù)常數(shù)。( 幺元或零元 ) 是 的子代數(shù)，因?yàn)镹對(duì)+是封 閉的，且它們都

28、具有代數(shù)常數(shù) 0。 是 的子代數(shù)，但不是 的子代數(shù)，因?yàn)榇鷶?shù)常數(shù)0不出現(xiàn)在 N0中第35頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 由子代數(shù)的定義不難看出，V的子代數(shù)與V本身不僅具有相同的代數(shù)運(yùn)算，并且這些運(yùn)算也具有相同的性質(zhì)，只是子系統(tǒng)比原來的代數(shù)系統(tǒng)小一些。 對(duì)任何代數(shù)系統(tǒng) V= , 其子系統(tǒng)一定存在, 最大的子系統(tǒng)就是V本身, 如果令V中所有的代數(shù)常數(shù)(單位元或零元)構(gòu)成的集合是 B, 且 B 對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的, 那么, B 就構(gòu)成了 V 的最小的子系統(tǒng), 這種最大與最小的子代數(shù)稱為 V 的平凡的子代數(shù), 如果V 的子代數(shù) V= 滿足 B S , 則稱 V是 V

29、 的真子代數(shù)。第36頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.10 設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)V= , 其中Z+為正整數(shù)集合, + 和 表示通常數(shù)的加法和乘法。令 A= 6z | zZ+ = 6, 12, 18, B= z2 | zZ+ = 12, 22 , 32 , 試問: 和 是 的子代數(shù)嗎？解: 顯然，A，B 均是Z+ 的非空子集 對(duì)于任意的6z1, 6z2A, 6z1+6z2= 6 (z1,+z2) A 6z1 6z2= 6 (6z1 z2) A, + 和 均在A上封閉 是 的子代數(shù) z21, z22B, z21 z22=(z1 z2)2 B 但 z21 + z22不一定在 B

30、 中, 22 + 32=13B 不是 的子代數(shù)。 第37頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.11 設(shè)V= ,令 nZ= nz | zZ n為自然數(shù) 那么，nZ是V的子系統(tǒng)證:任取nZ中的兩個(gè)元素nz1和nz, z1,zZ,則有 nz1+nz=n(z1+z) nZ即nZ對(duì)運(yùn)算是封閉的, 并且0=n0 nZ。所以， nZ是的子代數(shù) 當(dāng)n=1時(shí), nZ就是V本身，當(dāng)n=0時(shí)，0Z= 0 是V的最小的子代數(shù)，而其它的子代數(shù)都是V的非平凡的真子代數(shù)。5.2 代數(shù)系統(tǒng)及其子系統(tǒng)和積代數(shù)第38頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.12 設(shè)V= , 其中Z

31、表示整數(shù)集, +和 分別表示通常的加法和乘法運(yùn)算。對(duì)下面Z的每個(gè)子集, 確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)？ H1= 2n+1 | nZ H2= -1, 0, 1 H3= 2n | nZ 解: H1不能構(gòu)成V的子代數(shù) 2n1+1, 2n+1 H1, 有 (2n1+1)+( 2n+1)= 2n1+2n+2 H1 加法運(yùn)算在H1上不封閉。 H2不能構(gòu)成V的子代數(shù) 加法運(yùn)算在H2上不封閉, 如1+1=2 H2第39頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.12 設(shè)V= , 其中Z表示整數(shù)集, +和 分別表示通常的加法和乘法運(yùn)算。對(duì)下面Z的每個(gè)子集, 確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)？ H1= 2

32、n+1 | nZ H2= -1, 0, 1 H3= 2n | nZ 解: H3能構(gòu)成V的子代數(shù) 2n1, 2n H3, 有 2n1+ 2n= 2(n1+n) H3 且 2n1 2n= 2(2n1 n) H3 加法和乘法運(yùn)算在H3上是封閉的。 是 的子代數(shù)第40頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.13 設(shè)V= , 其中R表示實(shí)數(shù)集 運(yùn)算 * 定義為 x * y = x , y 符號(hào) x, y 表示不小于 x 和 y 的最小整數(shù), 又設(shè) H1 = x | 0 x10 x R H2 = x | 0 x10 x R 試問 H1, H2 能否構(gòu)成V的子代數(shù)嗎？解: x, y

33、H1, 有 x*y = x, y H1 運(yùn)算 * 在 H1 上是封閉的。 是 的子代數(shù)。 不是 的子代數(shù) 運(yùn)算 * 在 H2 上是不封閉的 如 9.8 * 2 = 9.8 , 2 = 10 但 10 H2第41頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日定義5.14 設(shè) V1= , V2 = 是代數(shù)系統(tǒng), 和* 為二元運(yùn)算, V1和V2的積代數(shù)V1V2 是含有一個(gè)二元運(yùn)算 的代數(shù)系統(tǒng), 即V1V2 = , 其中S = S1S2, 對(duì)任意的, S1 S2 有 = 設(shè)V1= , V2= ,其中+和分別表示整數(shù)加法和矩陣乘法。那么V1V2 是 V1V2 = 對(duì)任意的, Z M3(R)

34、都有 = 第42頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.14 通常數(shù)的乘法運(yùn)算是否可以看作下列集合上的二元運(yùn)算，說明理由. A = 1, 2 B = x | x是素?cái)?shù) C = x | x是偶數(shù) D = 2n | nN 解 乘法運(yùn)算不是A上的二元運(yùn)算,因?yàn)?2=4A 乘法運(yùn)算不是B上的二元運(yùn)算，因?yàn)樗財(cái)?shù) 乘素?cái)?shù)不一定是素?cái)?shù)，如236B. 乘法運(yùn)算是C上的二元運(yùn)算，因?yàn)榕紨?shù) 乘偶數(shù)仍然是偶數(shù). 乘法運(yùn)算是D上的二元運(yùn)算,因?yàn)閷?duì)任意的 m, nN, 2n, 2m D 有2n2m = 2n+m D第43頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 5.3 代數(shù)系統(tǒng)

35、的同構(gòu)與同態(tài) 世界上存在著很多的代數(shù)系統(tǒng),但有些代數(shù)系統(tǒng), 盡管表面上似乎不相同, 但實(shí)際上是相同的,比如兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng) ( 0,1,)與( a,b, ), 其運(yùn)算分別由表1和表2定義 表1 代數(shù)系統(tǒng)(0,1,) 表2 代數(shù)系統(tǒng)(a,b, ) 0 1 。 a b 0 0 1 a a b 1 1 1 b b b如果將第二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中的元素a , b分別換以第一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中的元素0 , 1, 那么得到的運(yùn)算組合表與第一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算組合表完全一樣,只是表現(xiàn)形式不同,其實(shí)質(zhì)是一樣的。這種表面上不同而實(shí)質(zhì)上相同的代數(shù)系統(tǒng)我們稱它們是同構(gòu)的第44頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日

36、 如何來識(shí)別同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)呢？從上面的例子我們可以看出：兩個(gè)系統(tǒng)同構(gòu)必須滿足下面幾個(gè)條件： 它們必須是同一類型的 兩個(gè)集合間的元素是一一對(duì)應(yīng)的 它們的運(yùn)算定義法則是相同的 我們用上面的例子來說明這三點(diǎn) ( 0,1,)與( a,b, )是同類型的 它們的元素間是一一對(duì)應(yīng)的 a 0 b 1 它們有相同的運(yùn)算定義法則，就是說將表1中的0, 1 分 別換以表2中的a, b后即成為表2，反之亦然。 故這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)第45頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 將這一概念進(jìn)一步抽象而得到同構(gòu)定義定義5.15 設(shè)V1= , V2= 是代數(shù)系統(tǒng), 和 是二元運(yùn)算，如果存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的

37、映射 ： S1 S2 滿足對(duì)任意的 x,yS1 ，有 (x y)= (x) (y) 則稱 是一個(gè)從V1到V2的同構(gòu)映射或稱代數(shù)系統(tǒng) V1與V2同構(gòu)，可記作 V1 V2 我們用下圖來表示同構(gòu)的含義V1=V2= xyx y (x) (y) (x) (y)第46頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日如果我們將同構(gòu)的條件放寬一點(diǎn)，則可得到比同構(gòu)范圍更廣的一些關(guān)系，放寬后的關(guān)系，使兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)不一定要有相同的基數(shù)，但是能在一定意義上保持其性質(zhì)，為此，我們引入同態(tài)和滿同態(tài)的概念。定義 5.16 設(shè)V1=, V2= 是代數(shù)系統(tǒng), 和 是二元運(yùn)算, 如果存在映射 ：S1 S2滿足對(duì)任意的

38、x,yS1 ，有 (x y)= (x) (y) 則稱 是一個(gè)從V1到V2的同態(tài)映射或稱代數(shù)系統(tǒng)V1與V2同態(tài)，第47頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 從定義可以看出，同態(tài)的條件比同構(gòu)弱，關(guān)鍵是同構(gòu)映射是一一對(duì)應(yīng)的，而同態(tài)映射則不一定要一一對(duì)應(yīng)因此對(duì)同態(tài)而言，有如下的特點(diǎn)： 映射可以允許有多對(duì)一對(duì)應(yīng)，一對(duì)一對(duì)應(yīng)以及一一對(duì)應(yīng)； 映射的象可以允許有 (S1 ) S2 , 及 (S1 )=S2 即 (S1 ) S2 對(duì)于同態(tài)可用下圖說明之。V1=V2=xyxys2= (x) (S1 ) (x) (y)第48頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日 如果 (S

39、1 ) = S2, 亦即是說 是一個(gè)S1到 S2的滿射，此時(shí)有下面的定義：定義5.17 設(shè) 是V1=到V2= 的同態(tài), 如果 是滿射的，則稱 為V1到V2的滿同態(tài)，記作 V1V2,如果 是單射的,則稱 為V1到V2的單同態(tài)同樣一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)與自身的同態(tài)稱為自同態(tài)。由定義可知，滿同態(tài)的條件比同態(tài)略微強(qiáng)一些。第49頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.15 設(shè)V1= 和V2= , 其中Zn= 0, 1, , n-1 , +為普通加法, 為模n加法。即x, y Zn ,有 x y = (x+y)mod n 令 : Z Zn , (x)= (x)mod n 則 是V1到V2的同

40、態(tài)。 解: 對(duì) x, y Z ,有 (x+y)= (x+y)mod n= (x)mod n(y)mod n = (x) (y) 是V1到V2的同態(tài)。第50頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.16 設(shè)V = 給定a Z ,令 a : Z Z , a (x)= ax , x Z 則 a 是V到自身的同態(tài)（自同態(tài)）。 解: 對(duì) x, y Z ,有 a (x+y)= a (x+y) = ax + ay = a(x) + a (y) a 是V到自身的同態(tài)（自同態(tài)）當(dāng)a =0 時(shí), 有x Z , 0 (x) = 0 稱0 為零同態(tài), 其同態(tài)象為 .當(dāng)a = 1時(shí), 有x Z ,

41、 1 (x)= x , 稱1 為Z的恒等映射, 顯然是雙射,其同態(tài)象就是。這時(shí)1 是V的自同構(gòu)。同理可證-1 也是V的自同構(gòu)當(dāng)a1且a0 時(shí), x Z有a (x)=ax , 易證a是 單射的, 這時(shí)a 為V的單自同態(tài)。同態(tài)象是第51頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.17 證明: f : R+R, f(x)=log2x為代數(shù)系統(tǒng)V1 = 到V2 = 的同態(tài)( 這里R+為正實(shí)數(shù)集， R為實(shí)數(shù)集， 和+為通常數(shù)的乘法和加法運(yùn)算）。 V1 和V2 是否同態(tài)或同構(gòu)？分析: 欲證同態(tài)必須滿足兩點(diǎn) 存在映射 f : R+R（同構(gòu)是雙射) x, y R+, 有f(x y)=f(x

42、) + f(y) 證: f : R+R, f(x)=log2x , 對(duì)x R+, 有唯一 f(x) =log2x R, f 為R+到R的函數(shù)。 又對(duì)x, y R+, f(x y) = log2(x y)= log2x + log2y=f(x)+f(y) f 為V1 = 到V2 = 的同態(tài)。第52頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.18 證明: f : R+R, f(x)=log2x為代數(shù)系統(tǒng)V1 = 到V2 = 的同態(tài)( 這里R+為正實(shí)數(shù)集， R為實(shí)數(shù)集， 和+為通常數(shù)的乘法和加法運(yùn)算）。 V1 和V2 是否同態(tài)或同構(gòu)？分析: 欲證同構(gòu)必須滿足兩點(diǎn) 雙射 f : R

43、+R x1, x2 R+, 有f(x1 x2 )=f(x1) + f(x2) 證: f : R+R, f(x)=log2x , 對(duì)x R+, 有唯一 f(x) =log2x R, f 為R+到R的函數(shù)。 又對(duì) x1, x2 R+, x1 x2, log2 x1log2x2 即f(x1) f(x2), 故 f 為單射, 又對(duì) y R 取x=2y R+, 使 f(x)=log22y= y, 故 f 為滿射 f(x y) = log2x y = log2x + log2y=f(x)+f(y) 是同構(gòu)第53頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.19 設(shè)V1=和V2=, 其中R

44、和R+ 分別表示實(shí)數(shù)集和正實(shí)數(shù)集, 表示通常的乘法。 定義函數(shù)f1: R R+ , f(x)=|x| f2: R+ R+ , g(x)=x f3: R+ R+ , f3(x)=2x試問, 以上這些函數(shù)是否是V1到V2的同態(tài)或同構(gòu)？ 解: 對(duì)任意的x , yR f(x y)= |x y|= f(x)f(y) 所以f1是V1到V2 的同態(tài)。 但f1 不是單射, 因?yàn)閒(x)=f(-x)= |x| 如f(2.5)=f(-2.5)=2.5。 故 f1不是V1到V2的同構(gòu)。 第54頁，共61頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)53分，星期日例5.19 設(shè)V1=和V2=, 其中R和R+ 分別表示實(shí)數(shù)集和正實(shí)數(shù)集, 表示通常的乘法。 定義函數(shù) f2: R+ R+ , g(x)=x f3: R+ R+ , f3(x)=2x試問, 以上這些函數(shù)是否是V1到V2的同態(tài)或同構(gòu)？ 解: 對(duì)任意的x , y R+ g(x y)= x y=g(x)g(y) f2是V1到V2 的同態(tài)。且因?yàn)閷?duì)于任意