1.1　集合的概念與表示課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版(2019)必修第一冊(cè)

1、第1章1.1集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合之間的屬于關(guān)系，知道常用的數(shù)集及其相應(yīng)的記法.2.在具體情境中，理解兩個(gè)集合相等的含義；初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.3.初步掌握集合的兩種表示方法列舉法和描述法，并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算新知學(xué)習(xí)一、集合與元素的含義一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.概念理解對(duì)象：可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形，也可以是人或物等，即對(duì)象形式多樣化.元素：具有共同的特征或共同的屬性的對(duì)象.總體：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”的含義.

2、因此，一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.【示例】中國(guó)古代四大發(fā)明組成一個(gè)集合，那么集合的元素就是造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù).二十一世紀(jì)中國(guó)有新四大發(fā)明：高鐵、移動(dòng)支付、共享單車和網(wǎng)購(gòu).這四大發(fā)明就組成了一個(gè)集合.多選題下列所給對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)B.高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上的所有難題C.比較接近1的正整數(shù)全體D.某校高一年級(jí)16歲以下的學(xué)生即時(shí)鞏固【解析】B，C中的對(duì)象不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤半y題”“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；A中的對(duì)象能構(gòu)成集合，因?yàn)橛写_定的標(biāo)準(zhǔn)，元素是“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

3、到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”；D中的對(duì)象能構(gòu)成集合 ，因?yàn)橛写_定的標(biāo)準(zhǔn)，元素是“某校高一年級(jí)16歲以下的學(xué)生”.故選AD.AD【方法歸納】判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素.二、元素與集合1.元素、集合的符號(hào)表示我們通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素.2.元素與集合的關(guān)系及其符號(hào)表示元素與集合有且只有兩種關(guān)系：屬于和不屬于.關(guān)系含義記法讀法屬于a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于AaAa屬于A不屬于a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于AaAa不屬于A【注意】（1）對(duì)任何元素a和集合A，a

4、A和aA兩種情況有且只有一種成立.（2） a和a表示的含義不同.a表示一個(gè)由元素a組成的集合，a是集合a的元素，即aa.3.集合中元素的三個(gè)特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素.（3）無(wú)序性：集合中的元素?zé)o先后順序之分.【知識(shí)拓展】元素的三個(gè)特性的主要應(yīng)用（1）確定性：判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合，界定模糊的對(duì)象不能構(gòu)成集合，如“小河流”等.（2）無(wú)序性：方便定義集合相等.

5、（3）互異性：警示我們做題后要檢驗(yàn).特別是題中含有參數(shù)（即字母）時(shí)，一定要檢驗(yàn)求出的參數(shù)是否滿足集合中元素的互異性.4.集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么稱這兩個(gè)集合相等，記作AB.【提示】（1）兩個(gè)集合相等時(shí)，其元素個(gè)數(shù)一定相等.（2）當(dāng)兩個(gè)集合相等時(shí)，其元素不一定依次對(duì)應(yīng)相同.如：集合1，2，3與集合3，2，1相等.（3）兩個(gè)集合是否相等，不能只看形式.如：不等式0 x1的解集與不等式 0y1的解集是兩個(gè)相等的集合.三、集合的表示方法 1.自然語(yǔ)言法用文字?jǐn)⑹龅男问奖硎黾系姆椒?如小于10的所有的自然數(shù)組成的集合.2.列舉法

6、將集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“ ”括起來(lái)表示集合的方法叫作列舉法.【注意】（1）花括號(hào)“ ”表示“所有”“整體”的含義.如：實(shí)數(shù)集R可以寫(xiě)為實(shí)數(shù)，但如果寫(xiě)成實(shí)數(shù)集，全體實(shí)數(shù)，R都是不正確的.（2）用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意：元素之間要用“，”隔開(kāi)；元素之間不能重復(fù)（互異性）；根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，元素的書(shū)寫(xiě)一般不考慮順序，故一個(gè)集合可以有不同的列舉方法，但為了清晰直觀，一般按一定順序書(shū)寫(xiě)，特別是元素較多的集合.（3）要注意自然語(yǔ)言法和列舉法之間的轉(zhuǎn)化.【思考】哪些集合適合用列舉法表示？（1）有限集，元素不太多.（2）有限集，元素較多但排列呈現(xiàn)一定規(guī)律.（3）無(wú)限集，但元素排列呈現(xiàn)

7、一定規(guī)律，在不發(fā)生誤解的情況下，也可列出幾個(gè)元素作代表，其他元素用省略號(hào)表示.（4）集合所含元素不易表述時(shí)宜用列舉法.如集合x(chóng)2，x2+y2，x3.用列舉法表示下列集合：（1）小于13的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程x2-2x+10的實(shí)數(shù)根組成的集合.即時(shí)鞏固【解】（1）小于13的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的自然數(shù)有4個(gè)，分別為3，5，7，11，可用列舉法表示為3，5，7，11.（2）方程x2-2x+10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，為1，因此可用列舉法表示為1.【方法歸納】將自然語(yǔ)言描述的集合用列舉法表示的一般步驟（1）求出（或明確）集合中的元素；（2）將各元素全部放在花括號(hào)“ ”內(nèi)，元素之

8、間要用“，”隔開(kāi).3.描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)（滿足的條件）表示出來(lái)，寫(xiě)成x|p（x）的形式，這種表示集合的方法稱為描述法.【提示】用描述法表示集合需要注意三點(diǎn)（1）表示集合之前，應(yīng)先通過(guò)代表元素確定集合是“點(diǎn)集”還是“數(shù)集”.（2）“豎線”不可省略.（3）x|p（x）中的p（x）可以是文字語(yǔ)言，也可以是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的盡量用數(shù)學(xué)符號(hào)表示.如：不等式x-73的解集為x| x10，xR，奇數(shù)集為x|x2k+1，k Z，偶數(shù)集為x|x2n，nZ.【思考】什么類型的集合適合用描述法表示？描述法可以看清集合的元素特征，一般含較多元素或無(wú)數(shù)多個(gè)元素，且排列無(wú)明顯規(guī)律的集合，或者

9、元素不能一一列舉的集合，宜用描述法.即時(shí)鞏固【點(diǎn)評(píng)】列舉法與描述法的轉(zhuǎn)化【知識(shí)拓展】集合的三種常用表示法的對(duì)比表示方法列舉法描述法Venn圖法實(shí)例A1，3，5，7Ax|x是小于8的正奇數(shù)優(yōu)點(diǎn)直觀、明了，但需要明確集合中有哪些元素簡(jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)，但需要找到元素的特征形象、直觀缺點(diǎn)不方便表示無(wú)限集略顯抽象是圖形，一般作為輔助手段4.Venn圖（圖示）法畫(huà)一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合，稱為Venn圖.集合1，2用Venn圖表示如圖所示.四、集合的分類及常用的數(shù)集1.有限集、無(wú)限集與空集類別意義有限集含有有限個(gè)元素的集合.如x|x為方程3x+10的實(shí)數(shù)解，2，4，6，8，它們的元素個(gè)數(shù)是有限的

10、，因此這兩個(gè)集合都是有限集無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合.如x|x為三角形，組成這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)是無(wú)限的，因此它是無(wú)限集空集我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作.如x|x2+10，xR是空集【溫馨提醒】理解空集時(shí)，需注意區(qū)分（1）與0是不同的，中沒(méi)有任何元素，0表示含有一個(gè)元素0的集合，它們的關(guān)系是兩個(gè)集合之間的關(guān)系（ 0，這一點(diǎn)下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)到）.（2）0與也是不同的，0只是一個(gè)數(shù)字，而表示集合，這個(gè)集合中沒(méi)有任何元素.（3）并不是空集，而是把空集作為一個(gè)元素所構(gòu)成的集合，也就是說(shuō)中有一個(gè)元素，這個(gè)元素就是，即.2.常用數(shù)集及其記法（要牢記）數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法：全體自然數(shù)組成的集

11、合，叫作自然數(shù)集，記作N；全體正整數(shù)組成的集合，叫作正整數(shù)集，記作N*或N+；全體整數(shù)組成的集合，叫作整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合，叫作有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合，叫作實(shí)數(shù)集，記作R.【提示】（1）N比N*（或N+）多一個(gè)元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.即時(shí)鞏固五、數(shù)集與點(diǎn)集 一般地，在用描述法表示數(shù)集與點(diǎn)集時(shí)，數(shù)集的代表元素用一個(gè)字母表示，點(diǎn)集的代表元素用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示，即x|通常表示數(shù)的集合，（x，y）|通常表示點(diǎn)的集合.常見(jiàn)情形如下表.類別集合集合的定義數(shù)集x|yx2+1表示函數(shù)yx2+1的所有自變量的取值組成的集合y|yx2+1表示函數(shù)yx2+1的所

12、有函數(shù)值組成的集合x(chóng)|x2-10，xR表示方程x2-10的解集，即1，-1點(diǎn)集（x，y）|yx2+1表示函數(shù)yx2+1圖象上所有的點(diǎn)組成的集合表示二元一次方程組的解集，即（5，3）【提示】用描述法表示集合時(shí)，注意區(qū)分是數(shù)集還是點(diǎn)集，區(qū)分的關(guān)鍵在于代表元素.數(shù)集：集合x(chóng)|yx2-3與集合y|yx2-3不同，x|yx2-3表示使函數(shù)yx2-3有意義的x的范圍，因此x|yx2-3R；y|yx2- 3表示函數(shù)yx2-3的函數(shù)值y的范圍，因此y|yx2-3y|y-3.這兩種表示方法為以后學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域和值域提供了條件.點(diǎn)集：（x，y）|yx2-3表示滿足方程yx2-3的解的集合，即函數(shù)yx2-3的圖象

13、上的點(diǎn)構(gòu)成的集合.（m，n）表示有序?qū)崝?shù)對(duì)，即m，n的位置不可互換，如（3，5），（5，3）表示不同的集合.典例剖析一、集合中元素特性的應(yīng)用1.元素的三個(gè)特性例 1 已知集合A中的三個(gè)元素a，b，c可作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形一定不是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形【解析】因?yàn)閍，b，c是集合A中的元素，所以a，b，c均不相同，所以該三角形一定不是等邊三角形.D【方法總結(jié)】集合中元素三個(gè)特性的應(yīng)用1.確定性：找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素.2.互異性：確定構(gòu)成集合元素的個(gè)數(shù)，這點(diǎn)要特別注意.3.無(wú)序性：集合的

14、確定與元素之間的排列順序無(wú)關(guān).2.集合中元素個(gè)數(shù)問(wèn)題例 2 設(shè)集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6B【分析】利用已知條件，直接求出a+b，再利用集合中元素的互異性求出M中元素的個(gè)數(shù)即可.【解析】因?yàn)榧螦1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB， 所以a+b的值可能為1+45，1+56，2+46，2+57，3+47，3+58，所以M中的元素有5，6，7，8，共4個(gè). 【方法總結(jié)】確定集合中元素個(gè)數(shù)的方法（1）分析元素特征，明確集合中元素是點(diǎn)、數(shù)，還是其他元素.（2）列舉出所有元素，檢驗(yàn)集合中元素是否滿足互異性.（3）若集

15、合中的元素含有參數(shù)，則關(guān)鍵是抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進(jìn)行研究.3.已知兩個(gè)集合相等求參數(shù)例 3 設(shè)集合Ax，y，B0，x2，若AB，求實(shí)數(shù)x，y的值.【解】因?yàn)锳B，所以x0或y0.（1）當(dāng)x0時(shí)，x20，則B中的元素0重復(fù)出現(xiàn)，此時(shí)集合B不滿足互異性，舍去.（2）當(dāng)y0時(shí)，xx2，解得x1或x0（舍去），此時(shí)A1，0B，滿足條件.綜上可知，x1，y0.【方法總結(jié)】已知集合相等求參數(shù)的步驟（1）確定兩個(gè)集合中相等的元素；（2）將含參數(shù)且未明確建立聯(lián)系的兩個(gè)集合中的元素進(jìn)行分情況討論，列出含參數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）求出參數(shù)，根據(jù)元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).BD2.利用元素

16、與集合的關(guān)系求參數(shù)例 5 已知集合A有三個(gè)元素：a-3，2a-1，a2+1，集合B也有三個(gè)元素：0，1，x.（1）若-3A，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若x2B，求實(shí)數(shù)x的值.【解】（1）由-3A且a2+11，可知a-3-3或2a-1-3.當(dāng)a-3-3時(shí)，解得a0；當(dāng)2a-1-3時(shí)，解得a-1.經(jīng)檢驗(yàn)，a0與a-1都符合要求.故a0或-1.（2）當(dāng)x0，1或-1時(shí)，都有x2B，但考慮到集合元素的互異性，可知x0，x1，故x-1.【點(diǎn)評(píng)】若題目中出現(xiàn)含參數(shù)的集合問(wèn)題，解題時(shí)要根據(jù)集合中元素的互異性，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行取舍，否則會(huì)產(chǎn)生“增解”.換句話說(shuō)，“互異性”是求解問(wèn)題不可忽略的一點(diǎn).【方法總結(jié)】已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的思路（1）若集合A是用列舉法表示的，且aA，則a一定等于集合A中的某個(gè)元素；若集合A是用描述法表示的，則a一定滿足集合中元素的共同特征，如滿足方程（組）、不等式（組）等.反之，若aA，則a不等于集合中的每一個(gè)元素或不滿足相應(yīng)的方程（組）、不等式（組）等.（2）解方程（組）或不等式（組）得參數(shù)的值或取值范圍，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).三、集合的表示方法及其應(yīng)用1.用列舉法和描述法表示集合例 6 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）所有奇數(shù)組成的集合；（2）不大于10的所有素?cái)?shù)組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系中的