理解運算求解能力促進高三數(shù)學復習

1、 理解“運算求解能力”促進高三數(shù)學復習江蘇省揚中高級中學劉新春一、引言高考制度不改革，不廢除高考，數(shù)學就總是處在高考的風口浪尖上，高考數(shù)學試題幾乎離不開運算，早在1998年任子朝先生在高考數(shù)學能力考查與題型設計一書中就指出：“運算量的大小以40的考生在120分鐘內能完成全卷的解答為標準”，而近幾年江蘇卷則連10的考生都達不到，正確求解填空題與解答題的壓軸題，則更是千里挑一、萬里挑一，運算能力的培養(yǎng)成為高考成敗的決定性因素，因為運算失誤導致高考失敗，改變一生命運成為部分考生永遠的痛，今天我就高考數(shù)學復習中的運算求解能力培養(yǎng)拋磚引玉，談一些認識和體會，敬請各位批評指正，本講座主要參考任子朝先生主編

2、的高考數(shù)學能力考查與題型設計一書及川大附中周祝先老師的講座對中學數(shù)學運算的認識，同時得到省揚高中陳惠榮、卞國文、陸昌榮等老師的指導幫助，在此一并感謝。二、當前運算能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀初中課程改革弱化了運算能力要求。（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代數(shù)恒等變形、韋達定理、比例、平面幾何刪減）計算器的廣泛使用削弱了運算意識和技能。高中數(shù)學教學突出了知識模塊弱化了運算教學、淡化了運算訓練意識，沒有補上初中去掉而高考又必考的一些運算內容，江蘇省高中數(shù)學教學要求和教學參考書也很少提及運算要求，如蘇教版教學參考書（必修2）第2章平面解析幾何初步提及本章教育目標8，在知識和概念的形成過程中，培養(yǎng)學生的合情推理能

3、力，數(shù)學交流能力，探索能力和邏輯思維能力，唯獨不強調運算求解能力；而在選修1-1、2-1圓錐曲線一章也同樣只字不提運算求解能力，導致部分教師在實際教學中重視知識教學和解題思想、方法，輕視運算過程，自己鉆研解題不夠，對解題過程中的運算算理、算法不甚了解，無法有效、高效地指導學生。學生不明算理、機械套用運算公式，不顧運算目標，進行盲目的推理演算，運算過程中缺乏選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，運算過程繁瑣，錯誤率高，對運算求解能力的內涵缺乏科學認識，誤以為是“馬虎”、“粗心”造成運算錯誤，平時復習解題認為“只要方法對，做錯了不要緊”。主要問題有：概念模糊不清（新增內容尤甚）學生容易因概念模糊而運算失

4、誤。公式、性質記憶不準確.不會熟練進行順向等價變形，逆向回代、。數(shù)據(jù)處理能力差（計算、排序、篩選、分類等）.數(shù)學語言不過關，導致閱讀習慣差，閱讀能力差運算無從下手.代數(shù)恒等變形常規(guī)方法不熟練.識別、駕馭圖表的能力差.算法意識差，算理不清，對運算問題缺乏檢驗、反思、總結的意識審題不仔細、表達能力差、書寫不規(guī)范。運算習慣差，急于求成，粗枝大葉，說一套做一套，心里想的和手上寫的不一致.心理素質差，演繹了從“不喜歡”到“害怕”到“恐懼”的運算悲劇.高考對運算能力的考查力度不降反升，盡管有人堅持“多考想、少考算”，但“如何想”，很難有操作性的考查方法，況且江蘇卷近幾年的運算要求一直很高，因為考查運算求解

5、能力是提高區(qū)分度的重要手段，且考查運算比較容易操作。三、理解運算求解能力數(shù)學能力是一種個性心理，它對數(shù)學活動的進程方式起著直接的、穩(wěn)定的調節(jié)作用，數(shù)學能力是數(shù)學素質在數(shù)學活動中的外化，高考考查的數(shù)學能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等能力，其中運算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進行運算及變形；能夠根據(jù)問題的條件與目標尋找與設計合理簡捷的運算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算。要正確理解運算求解能力，必須弄清以下幾個問題：高中階段常見運算形式：數(shù)的四則運算（含復數(shù)運算）代數(shù)式的運算（法則、運算律）幕、指、對數(shù)運算三角運算向量運算導數(shù)運算極限運算（非高考

6、內容）方程與不等式運算（強調算法）概率運算（10）矩陣運算（11）抽象運算運算的方法與技能要求：是否記住數(shù)學計算公式、法則，并能準確地運用公式和法則進行運算能否應用概念、性質、定理進行有關的運算能否在進行各種運算時，結果準確、速度迅速、過程合理能否進行各種查表和使用計算器計算（高考不要求）運算的邏輯思維要求：是否合理使用公式、法則運算方法和過程是否簡捷能否對自己的運算結果進行檢查驗算和判斷能否自我改正運算中的各類錯誤能否簡化運算過程，運用簡縮思維進行“跳步”運算（填空題）能否較熟練地進行心算、速算、估算是否會進行推理計算運算求解能力的五個要素：.運算的準確運算的準確是對運算能力的基本要求，在運

7、算求解過程中使用的概念要準確無誤，使用的公式要準確無誤，使用的法則要準確無誤，運算的結果準確無誤。例1.2009年江蘇高考試題第13題。如圖，在平面直角坐標系xOy中，a,A,B,B為橢圓蘭+22=血b0)的四個1212a2b2頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線ab與直線BF相交于點T，線段OT與橢圓的交點M121恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為解：由已知條件可得：TOC o 1-5 h z直線AB的方程為上+2=112ab直線BF的方程為丄+丄=1cb聯(lián)立可得兩直線交點中的坐標為:(2acb(a+C)acac1則線段OT的中點M的坐標為:得:得：4c2+(a+c)2=4(a一c)2即得：e2+1

8、0e3=0,aca2b2解之得：e=5土2,；7,ee(0,1),e=2*7-5-在本題中，運算的目標是求離心率，運算程序是先求直線AB和BF的交121點，再由中點公式得到M點的坐標，代入橢圓方程得到關于a,b,c的方程化歸為關于離心率e的方程從而求解出e的值.要求學生對運算過程中的每一步都必須準確無誤才能得到正確的結果，難度大，屬于難題。.運算的熟練運算的熟練是對考生思維敏捷性的考查，運算速度的快慢與定理、公式、結論掌握的熟練程度直接相關，熟練掌握各種公式、定理以及常用的恒等變形，熟練掌握一些常用的運算方法，記憶一些必要的補充公式和結論，對提高運算熟練程度是有益的。例2.1996年全國考試題

9、：等差數(shù)列山的前m項和為30，前2m項的和為n100，則它的前3m項的和為:由已知條件列出關于和d的方程組:丄m(m1)30ma+d=30122ma+2m(2m1)d=1001210(m+2)a=解之得：1m2d、m2進而求得：s-3ma+3m(3m一1d-3m叫+2)+3m(3m一】)竺-210.3m12m22m2如果學生對數(shù)式的恒等變形比較熟練，則可用此法求出結果，但最一般的方法不一定是最優(yōu)的方法。法二：易知等差數(shù)列連續(xù)相等項的和所組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，則運算量較小設前m項的和為s，中間m項的和為S，后m項和為S.TOC o 1-5 h z123貝Us二S二30，S二S-S二70，S二

10、2S-S二110，1m22mm321二s二S+S+S二210.3m123本法熟練運用等差數(shù)列的定義和性質，計算量變得很小。法三：從已知條件可知：結果與m的取值無關，令m=1，彳得：s=a=30,S=a+a=100，a=70,112122a=2aa=70,TOC o 1-5 h z321S=a+a+a=2103123法三則是熟練運用簡縮思維進行運算的結果。熟練掌握常用的恒等變形，不僅可以提高運算的速度，還可以得到不同的結論，如兩角和與差的正切公式的各種變形，半角的余弦公式，余弦定理的各種變形。如橢圓方程的一種變形：蘭+蘭=1(a0,b0)變形得蘭=1乂=J!，再變形為a2b2b2a2a2y2=竺

11、這是一個有趣的結論：橢圓上異于長軸端點的任一點與長軸端點的x2a2a2連線斜率之積為定值竺；在推導橢圓標準方程的過程中，也可由a2v(x+c)2+y2+訊x-c)2+y2=2a變形得：也二空蘭=.這一過程揭示了第一定義.a2aIxIc與第二定義的等價性.還可以把冷吋寸+冷卅卻二2盤分子有理化從而計算出構造出二元方程組f十七十譏工弋亍七卩-加然后兩式相加得Qa+cf仔二2尬+iiS最后兩邊平方，化簡得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).運算的合理運算的合理性是運算能力的核心，-般一個較復雜的運算，往往是由多個較簡單的運算組合而成的，如何合理確定運算目標？設計運算程序，選擇運算途徑，

12、并將各部分有機地聯(lián)系在一起？這是運算合理性的主要標志。運算的合理性表現(xiàn)在運算要符合算理，算理即理由、道理、依據(jù)，運算過程中的每一步變形都要有依據(jù)、或依據(jù)概念，或依據(jù)運算法則和運算律，或依據(jù)公式，可以說運算的每一步變形都是演繹法的體現(xiàn)，都必須步步有理，高考對算理的考查是通過變形過程中的正誤來體現(xiàn)的。運算的合理性表現(xiàn)在運算目標的確定，難度較大的試題，其運算目標通常比較復雜，需要經過多步運算才能達到最后結果，有時運算的目標模糊不能確定。運算的合理性還表現(xiàn)在運算途徑的選擇，合理選擇運算途徑不僅是運算迅速的需要，也是運算準確性的保證，是提高運算能力的關健，運算步驟越多、越繁瑣、越容易出錯。必須靈活運用公

13、式、法則和有關的運算律，掌握同一個問題的多種運算方法和途徑，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。運算求解的程序即算法、步驟，復雜的運算必須按照一定的算法實施，如解方程、解不等式就有比較明確規(guī)范的步驟，利用解析法解決幾何問題也有清晰的步驟如建系、設點，把幾何問題轉化為代數(shù)問題、求解代數(shù)問題、回到幾何問題驗證等步驟例3.已在等比數(shù)列L中，已知S是其前n項的和，S=,a=,則nn51634丄+丄+丄+丄+丄的值為：aaaaa12345分析：本題出現(xiàn)了三個條件：等比數(shù)列，S,a，結論是求前5項的倒數(shù)和53我們知道等比數(shù)列的各項倒數(shù)也成等比數(shù)列，因而問題化為求等比數(shù)列前5項的和，通法是表示，指導

14、思想是運用31運用求和公式，難點是不知首項和公比，關鍵是如何將-與q用S,aa1整體思想，把和看做一個整體。即：丄(1-丄)aq5+=aaaaa1123451qq51aq4(q-1)a(q5-1)1a2-q4(q一1)(aq2)11丄S=驚=3j25a此法常規(guī)簡明，對于一般等比數(shù)列求和題具有普適性，比較以下方法：aa33法二：設等比數(shù)列匕的公比為q，貝怙+a+a+a+an123453aa33TOC o 1-5 h z(111)31113a(+1+q+q2)+1+q+q2q2q16q2q4111111aaaa+(+4+1+3)aaaaaaaaaa12345312451113(q2+q+1+)4x

15、3aqq243此法表面上看構思新穎，構造了一個對稱式，其實和法一都采用了共同的思想方法一一整體思想，這一特法并未簡化運算，在技巧上沒有明顯優(yōu)勢，相反下面方法更具技巧性，且思維方式有了新變化法三，由L是等比數(shù)列，可知a,a,a,a,a也是等比數(shù)列，且公比是原數(shù)列的倒數(shù),n54321再利用等比數(shù)列性質：a-a1:=a2可得：531-丄丄（1-丄）q5aq5=a21311-1-qq1S3+=x42=3aa21653此法逆向改變數(shù)列順序，其公比與原數(shù)列各項的例數(shù)組成等比數(shù)列的公比一樣，且求和形a(1一)S-5q-空51a1-1q1111+aaaa123411111=a2(+)3aaaaa12345式僅

16、是首項不同，但由等比中項的結論立刻轉化，可為妙解，但同樣運用轉化與整體化思想，困此，特技僅是數(shù)學思想在解題過程中“靈光閃現(xiàn)”的定格，以上三法種掌握法和另兩2 種方法中的一種即可。例4.鹽城市2013屆高三第二次模擬試卷第20題：20設S是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列匕的前n項和，給出如下兩個命題上:n命題p:匕是等差數(shù)列；命題q:等式+naaaa12231kn+b+=對任意n(ngN*)恒成aaaann+11n+1立，其中k,b是常數(shù)。若p是q的充分條件，求k,b的值；對于中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；若P為真命題，對于給定的正整數(shù)n（n1）和正數(shù)M，數(shù)列匕滿足條件a2+a22時，

17、11aan+1na+a=4分假設p是否為q的必要條件，即“若丄+丄+.+Laaaaaa1223nn+1n=對于任aa1n+16分aaann+11當n=2時，a+a=2a，當n3時，(n一1)a(n一2)必要條件.(3)由a2M，可設a=rcos0,a1n+11n-11n1=，由-得,aaaan1n1n+1即na(n-1)ann+1=a1.a、2=a1a3成等差數(shù)列，(，即2a=a+a.所以la為等差數(shù)列,nn1n+1n10分即p是否為q的=rsin0，所以r4M.n+1rsin0-rcos0:一a=nd=rsin0-rcos0，所以d=n+11n(n+1)cos0+(n-1)sin0=r(3)

18、另解：設1的公差為d，則anUaa的公差為d，則d=11nnn(a+a)n(a+ad)n(a+a)(aa)(n+1L+(n1S=11=1n+1=1n+1n+11=1+!n2222*） 設OA=(a,a)OB(n+1,n1)1n+1由OA-OB-OA-|OBcos0OA-OB得(+屯+(nl)an+10,b0)的左焦點F(c,0)作圓x2+y2罕的切線，切點為E,a2b24交雙)OE-二OP+Of,延長1L_2曲線右支于點P,若則雙曲線的離心率為+OF)知E為PF中解：設P(jc,y)，由OE=；oo2E在圓上，且OE丄PFSa2xc-02ca24.-1a4ya204c2占八、又點P在雙曲線上，

19、則、a2c2c丿a4)2c25a2)10rT(舍)1V丿另解：由OE二2OP+OF7知E為PF中點，連接PF（F為右焦點）則OE/PF，又由OE丄PF可得PF丄PF由OG=*可得PF=a,PF=3a2由（PF+（PF）2=（FF10艮卩9a2+a2=4c2，得e=2例6.2012年江蘇高考試題第15題。在AABC中，已矢口ABAC=3BA-BC(1)求證：tanB=3tanA；(2)若cosc旦，求A的值.5解：(1)AB-AC=3BA-BC,AB-AC-cosA=3-BA-BC-cosB，即：AC-cosA=3BC-cosB由正弦定理，得：竺=竺,sinBcosA=3sinAcosBsinB

20、sinA又00,cosB0,sinBsinA=3-，即：tanB=3tanAcosBcosA(2)cosC=5,0C0，tanA=14注意：平時教學往往強調切化弦較多，但在什么條件下化弦為切強調不夠，學生只會順向思維，不會逆向為之，而善于逆向思維往往是高考命題的基本做法。運算的規(guī)范在運算求解過程中，通過認真審題，確定解題目標，尋找解題方向，選擇運算途徑，最后解決問題，但如何正確呈現(xiàn)運算求解過程，就需要規(guī)范的表述。目前指導學生讀評分標準是一條捷徑。例7.2012江蘇高考試題第18題。求函數(shù)極值是：f(x)=x33x,g(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(xl)2(x+2),令g(x)=0，解

21、得：x=1，-2(2).判斷-2是極值點得4.當xe(-8,-2)時，g(x)0，g(x)單調遞增；當xe(1,+8)時，g(x)0，g(x)單調遞增，所以x=-2是g(x)的極小值點，x=1不是極值點(6).許多學生被扣掉4.另外在二角運算中sin(a+P)=sinacos卩+cosasin卩=4X(-A)+3X()=16，要寫3步.51351365四、培養(yǎng)運算求解能力遵循運算求解能力發(fā)展的基本規(guī)律發(fā)展運算能力的大致過程是：知識-技能-能力：相應要求分別是：懂知識、會技能、能變通。建構完善系統(tǒng)的知識體系準確理解數(shù)學定義、概念、公式、定理，對于考試說明中的A級知識點要能直接使用，對于B級、C級

22、知識點要弄清概念的發(fā)生、概括、形成過程，主要公式、定理要掌握其發(fā)現(xiàn)、推導過程，還要掌握它們的各種等價變形，如余弦定理的推導過程與常見的恒等變形。a2=b2+c2-2bccosAb2+c2-a2cosA=2bcABAC=&2+c2a22b2-(2ccosA)b+(c2-a2)=0sin2A=sin2B+sin2C一2sinB-sinC-cosA熟練掌握有關運算的方法、步驟。模仿、操作階段，運算步驟不宜跳躍，每一步運算的算理必須明確、清晰，算法和運算過程的表述必須規(guī)范、條理，經過一定量的、有層次的、按部就班的訓練后，逐漸簡化運算步驟，靈活運用運算法則、公式，在運算求解過程中，學生能夠自覺地認識運算

23、的目的性，準確判斷運算方向，合理選擇運算途徑，規(guī)范表述運算過程和結果，從而由懂到會，由會到對，由對到熟，由熟到變，由變到通，避免“會而不對，對而不全”的運算錯誤。在熟練掌握運算求解的算理、算法及運算技能基礎上弄清其隱含的數(shù)學思想方法，并以數(shù)學思想方法促進運算技能向能力過渡，一方面，合理使用數(shù)學思想方法可以簡化運算，提高速度，其中數(shù)形結合可以借助圖形直觀簡化運算量，等價轉化可以將復雜的運算轉化為簡單的運算，分類、整合可以化整為零，分解難點或整體思維、優(yōu)化策略。另一方面，數(shù)學思想方法是使基本運算技能內化為思維能力的紐帶，在具體運算求解過程中還要注重充分運用通性通法，通性通法是指解決具有相同性質數(shù)學

24、問題所用的通用方法，是數(shù)學思想和數(shù)學方法在解決數(shù)學問題中的集中體現(xiàn)，做數(shù)學就是要通過解決數(shù)學問題找到同類問題的一般方法。抓實運算求解能力培養(yǎng)的各個環(huán)節(jié)在定理、公式、法則及重要結論的發(fā)現(xiàn)形成推導和應用過程中，教師要重點示范、講法算理算法，開始接觸各種運算與定理公式推導應用和典型例題時要盡量詳細規(guī)范板演，直接應用公式、定理解題時，要多讓不同層次學生在黑板上板演或展示各種解法、暴露運算中存在的各種錯誤和問題，通過比較算理的合理性，算法的簡捷性，過程的規(guī)范性，促進學生迅速形成各種運算技能。加強審題訓練，發(fā)現(xiàn)運算目標，啟發(fā)、幫助學生細致分析問題的條件、結論以及條件與結論間的聯(lián)系，尤其是如何發(fā)現(xiàn)問題中的隱

25、含條件，及早確定運算目標，并在運算求解過程及時調整運算方向。弄清條件是解題的前提，可分為一級條件（原始條件）、二級條件（變形條件）、三級條件（隱含條件）例8.2012江蘇試題第10題設f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，ax+1f(x)=bx+2、x+1-lWxb0)的左焦點為F,a2b2右頂點為A,動點M為右準線上一點(異于右準線與x軸的交點)/設線段FM交1k，求k-k的取值范圍。212分析：本題中求解斜率kk的表達式是關鍵，用參數(shù)表示斜率通常有以下幾12種方法：設M(9,t)；2或設PF的斜率為K。設AM的斜率為k；設PA的斜率為k；設P(x,y).11其中方法-均需解

26、出P點坐標，因而運算量較大，在方法中，可通過設而不求、邊化簡邊運算、數(shù)形結合等方法簡化運算。解(1)匚+22=1(過程略).TOC o 1-5 h z95(2)設點p(x,y)(-2x3)/點M(9,y)-11122由于點F/P/M三點共線，x-2，所以珂=y=x+21321T則點M(9,上一).22(x+2)1y，13y，k二23(x+2)113y13y21=13(x+2)3(x-3)(x+2)111因為k-1x-31所以k-k二12x-31因為點P在橢圓上，則器+畧=1,513X(-)(x2-9)所以k-k=9L123(x-3)(x+2)11因為-2x3,所以kk1265門-(1+2726，/9即kk的取值范圍是(129例102013年四市一模第19題已知橢圓E:予+y2=1的左、右頂點分別為A,B，圓x2+y2=4上有一動點P,C(1,0)，直線PA交橢圓E于點D，連結DC,PB.13y12(x+2)1P在x軸上方，(1)若ZADC=90，求ADC的面積S；設直線PBDC的斜率存在且分別為k1，若汁叫