量子輔導(dǎo)4力學(xué)量與算符

1、量子力學(xué)輔導(dǎo)典型例題解析1四、力學(xué)量和算符、在量子力學(xué)中，力學(xué)量用線性厄密算符表示；其本征值為實(shí)數(shù)；其本征函數(shù)組成正交、歸一、完備系，用它作為希爾伯特空間的一組基矢，構(gòu)成一個(gè)表象。厄米算符的一些性質(zhì) （1） 兩厄米算符之和仍是厄米算符；（2）當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符對(duì)易時(shí)，它們之積才是厄米算符；（3）厄米算符的平均值、本征值為實(shí)數(shù)；（4）任何狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù)的算符為厄米算符；（5）厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交 2、體系波函數(shù)可用任意厄密算符的本征函數(shù)展開2 3、力學(xué)量的平均值 坐標(biāo)表象 動(dòng)量表象 4、幾個(gè)具體的表示力學(xué)量的算符 （1）動(dòng)量算符 本征函數(shù)（自由粒子波函數(shù)） 正交歸一性3

2、箱歸一化波函數(shù) 本征值 （2）角動(dòng)量算符 本征值 本征函數(shù) （3）自由粒子的哈密頓算符一維三維4 能量本征值 （4）力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化公式（推導(dǎo)） 若 則稱 為守恒量，可知守恒量條件5(5) 算符的函數(shù) 守恒量特點(diǎn)（注意與定態(tài)區(qū)別）1、在任何狀態(tài)下守恒量的平均值不隨時(shí)間改變；2、在任何狀態(tài)下守恒量的概率分布不隨時(shí)間改變；3、若體系有兩個(gè)或兩個(gè)以上的守恒量，且彼此不對(duì)易，則體系的能級(jí)簡(jiǎn)并(證明)。量子力學(xué)守恒量與經(jīng)典力學(xué)守恒量的區(qū)別：1、量守并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是守恒量的本征態(tài)，由初始條件決定。2、量子體系的各守恒量并不一定可以同時(shí)取確定值；如lx，ly，lz都守恒，但

3、.6典型例題（一）根據(jù)定義解題（最基本方法） 1、設(shè)質(zhì)量為 的粒子在下列勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) （1）求其能級(jí)和波函數(shù)； （2） 粒子處于基態(tài)時(shí)的平均位置和均方差。 解：（1）由勢(shì)場(chǎng)特點(diǎn)知，實(shí)質(zhì)為半諧振子，其波函數(shù)和能 級(jí)可由諧振子得出，注意兩點(diǎn)：一是僅取其中以原點(diǎn)為 節(jié)點(diǎn)的部分解，因?yàn)椴ê瘮?shù)在原點(diǎn)處必須為零；二是由 于粒子在半無(wú)限空間運(yùn)動(dòng)，注意歸一化問題。由波函數(shù)在x=0處連續(xù)可知，量子數(shù)n只能取奇數(shù)值，即 7 最終得半諧振子的能級(jí)和波函數(shù)為 （2）半諧振子的基態(tài)波函數(shù)（n=1）8 （二）利用波函數(shù)的性質(zhì)解題 量子態(tài)由波函數(shù)完全描述。對(duì)于給定波函數(shù)，注意觀測(cè)其特性，如實(shí)數(shù)性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等，可以幫助我們

4、快捷解題。 1、一個(gè)粒子作三維束縛態(tài)運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為實(shí)函數(shù)，求此狀態(tài)中動(dòng)量的平均值。 解：令波函數(shù)為 ，且 ，對(duì)于束縛態(tài) 則 對(duì)于 有同樣結(jié)果9說(shuō)明：（1）力學(xué)量的平均值必定是實(shí)數(shù)，對(duì)于實(shí)數(shù)波函 數(shù)而言，由于動(dòng)量算符在形式上是純虛數(shù)，其平 均值必為零。 2）一維束縛態(tài)中，定態(tài)波函數(shù)空間部分總可以選 為實(shí)函數(shù)，因此一維束縛定態(tài)中動(dòng)量平均值總為零。 2、粒子作一維運(yùn)動(dòng)，空間波函數(shù)為 求平均位置。 解：波函數(shù)為偶函數(shù)，即 因?yàn)?是奇函數(shù)；同樣 是奇函數(shù)，亦如此。 歸納：凡是具有確定空間宇稱的態(tài)，其平均位置一定為零注意積分區(qū)間10（三）對(duì)易關(guān)系法 1、粒子的哈密頓量為 ，其處于束縛定態(tài)中，證明其動(dòng)量平

5、均值為零。 證明：令定態(tài)波函數(shù)的空間部分為 ，滿足 為求 的平均值，首先注意 和 的對(duì)易關(guān)系這里運(yùn)用了基本對(duì)易關(guān)系 ，計(jì)算動(dòng)量平均值轉(zhuǎn)化為計(jì)算對(duì)易子的平均值（注意 的厄密性）11推論：如果厄密算符 可以表示為兩個(gè)厄密算符 和 的對(duì)易子 ，則在 或 的本征態(tài)中， 的平均值必為零。 該推論可以用來(lái)說(shuō)明許多問題。例如，在角動(dòng)量的任何一個(gè)直角分量（如 ）的本征態(tài)下，其余兩個(gè)分量 的平均值均為零。 可以證明，如果兩個(gè)厄密算符 反對(duì)易則在一個(gè)算符的本征態(tài)中，另一個(gè)算符的平均值必為零。12 2、系統(tǒng)哈密頓量為 ，求和式 的值，其中 為矩陣元， 是能量為 的 本征態(tài)，求和對(duì)一切態(tài)進(jìn)行。（考研題目） 解：13同

6、樣，將 放入后面矩陣元中得 兩式相加得 因?yàn)?所以143、一量子體系處于角動(dòng)量 與 的共同本征態(tài)，總角動(dòng) 量平方值為 。已知在該態(tài)中測(cè)量 的值為0的幾率是 1/2，那么測(cè)量 的值為 的幾率是多少？解：方法一 該態(tài)對(duì)應(yīng) ，顯然體系波函數(shù)是 中的某一個(gè)，在（ ）表象中，對(duì)于 有 ； ； 假定體系波函數(shù)分別為 ，則 的幾率為15 由已知條件可知，體系波函數(shù)不可能是 ，只能是 或?qū)τ?的幾率 對(duì)于 的幾率對(duì)于二者，測(cè)量 的值為 的幾率都是1/4。方法二 由于 ：可見在 的本征態(tài)中 對(duì)應(yīng) ， 的可能取值為 ，故 其中 分別為 取值為 的幾率。由歸一化條件16為什么量子力學(xué)中的可觀測(cè)量算符必為厄米算符（浙大05、06、07考研）證明或判斷某個(gè)算符為厄米算符（考研常出）什么