量子輔導4力學量與算符

1、量子力學輔導典型例題解析1四、力學量和算符、在量子力學中，力學量用線性厄密算符表示；其本征值為實數(shù)；其本征函數(shù)組成正交、歸一、完備系，用它作為希爾伯特空間的一組基矢，構(gòu)成一個表象。厄米算符的一些性質(zhì) （1） 兩厄米算符之和仍是厄米算符；（2）當且僅當兩厄米算符對易時，它們之積才是厄米算符；（3）厄米算符的平均值、本征值為實數(shù)；（4）任何狀態(tài)下平均值為實數(shù)的算符為厄米算符；（5）厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交 2、體系波函數(shù)可用任意厄密算符的本征函數(shù)展開2 3、力學量的平均值 坐標表象 動量表象 4、幾個具體的表示力學量的算符 （1）動量算符 本征函數(shù)（自由粒子波函數(shù)） 正交歸一性3

2、箱歸一化波函數(shù) 本征值 （2）角動量算符 本征值 本征函數(shù) （3）自由粒子的哈密頓算符一維三維4 能量本征值 （4）力學量平均值隨時間的變化公式（推導） 若 則稱 為守恒量，可知守恒量條件5(5) 算符的函數(shù) 守恒量特點（注意與定態(tài)區(qū)別）1、在任何狀態(tài)下守恒量的平均值不隨時間改變；2、在任何狀態(tài)下守恒量的概率分布不隨時間改變；3、若體系有兩個或兩個以上的守恒量，且彼此不對易，則體系的能級簡并(證明)。量子力學守恒量與經(jīng)典力學守恒量的區(qū)別：1、量守并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是守恒量的本征態(tài)，由初始條件決定。2、量子體系的各守恒量并不一定可以同時取確定值；如lx，ly，lz都守恒，但

3、.6典型例題（一）根據(jù)定義解題（最基本方法） 1、設(shè)質(zhì)量為 的粒子在下列勢場中運動 （1）求其能級和波函數(shù)； （2） 粒子處于基態(tài)時的平均位置和均方差。 解：（1）由勢場特點知，實質(zhì)為半諧振子，其波函數(shù)和能 級可由諧振子得出，注意兩點：一是僅取其中以原點為 節(jié)點的部分解，因為波函數(shù)在原點處必須為零；二是由 于粒子在半無限空間運動，注意歸一化問題。由波函數(shù)在x=0處連續(xù)可知，量子數(shù)n只能取奇數(shù)值，即 7 最終得半諧振子的能級和波函數(shù)為 （2）半諧振子的基態(tài)波函數(shù)（n=1）8 （二）利用波函數(shù)的性質(zhì)解題 量子態(tài)由波函數(shù)完全描述。對于給定波函數(shù)，注意觀測其特性，如實數(shù)性、對稱性、零點等，可以幫助我們

4、快捷解題。 1、一個粒子作三維束縛態(tài)運動，其波函數(shù)為實函數(shù)，求此狀態(tài)中動量的平均值。 解：令波函數(shù)為 ，且 ，對于束縛態(tài) 則 對于 有同樣結(jié)果9說明：（1）力學量的平均值必定是實數(shù)，對于實數(shù)波函 數(shù)而言，由于動量算符在形式上是純虛數(shù)，其平 均值必為零。 2）一維束縛態(tài)中，定態(tài)波函數(shù)空間部分總可以選 為實函數(shù)，因此一維束縛定態(tài)中動量平均值總為零。 2、粒子作一維運動，空間波函數(shù)為 求平均位置。 解：波函數(shù)為偶函數(shù)，即 因為 是奇函數(shù)；同樣 是奇函數(shù)，亦如此。 歸納：凡是具有確定空間宇稱的態(tài)，其平均位置一定為零注意積分區(qū)間10（三）對易關(guān)系法 1、粒子的哈密頓量為 ，其處于束縛定態(tài)中，證明其動量平

5、均值為零。 證明：令定態(tài)波函數(shù)的空間部分為 ，滿足 為求 的平均值，首先注意 和 的對易關(guān)系這里運用了基本對易關(guān)系 ，計算動量平均值轉(zhuǎn)化為計算對易子的平均值（注意 的厄密性）11推論：如果厄密算符 可以表示為兩個厄密算符 和 的對易子 ，則在 或 的本征態(tài)中， 的平均值必為零。 該推論可以用來說明許多問題。例如，在角動量的任何一個直角分量（如 ）的本征態(tài)下，其余兩個分量 的平均值均為零。 可以證明，如果兩個厄密算符 反對易則在一個算符的本征態(tài)中，另一個算符的平均值必為零。12 2、系統(tǒng)哈密頓量為 ，求和式 的值，其中 為矩陣元， 是能量為 的 本征態(tài)，求和對一切態(tài)進行。（考研題目） 解：13同

6、樣，將 放入后面矩陣元中得 兩式相加得 因為 所以143、一量子體系處于角動量 與 的共同本征態(tài)，總角動 量平方值為 。已知在該態(tài)中測量 的值為0的幾率是 1/2，那么測量 的值為 的幾率是多少？解：方法一 該態(tài)對應(yīng) ，顯然體系波函數(shù)是 中的某一個，在（ ）表象中，對于 有 ； ； 假定體系波函數(shù)分別為 ，則 的幾率為15 由已知條件可知，體系波函數(shù)不可能是 ，只能是 或?qū)τ?的幾率 對于 的幾率對于二者，測量 的值為 的幾率都是1/4。方法二 由于 ：可見在 的本征態(tài)中 對應(yīng) ， 的可能取值為 ，故 其中 分別為 取值為 的幾率。由歸一化條件16為什么量子力學中的可觀測量算符必為厄米算符（浙大05、06、07考研）證明或判斷某個算符為厄米算符（考研常出）什么