矢量微分算子和拉普拉斯算子

1、矢量微分算子和拉普拉斯算子、矢量微分算子形式定義：QQQV=i+j+kQxQyQz我們發(fā)現(xiàn)矢量微分算子算子在形式上是個(gè)矢量。用法定義1鋪墊定義:iu(Qx丿rqbxj丿ufkL(Qx丿(x,y,z)du(x,y,z)i(x,y,z)QxQu(x,y,z).1，QxQu(x,y,z)k(x,y,z)-Qx&丿(Qy丿rq、(qz丿,y,z)Qu(x,y,z)Qx)Qu(X,y,z)Qy)Qu(x,y,z)Qz其中u(x,y,z)是標(biāo)量函數(shù)，i、j、k分別是x軸、y軸、z軸方向的單位矢量。2跟標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)相乘Vu=urq)iu+rqju+fk丿(Qx丿(Qy丿(Qz丿Ci+j+k(Qx

2、QyQzQu.Qu.Qu-ui+1+kQxQyQz我們看到這跟普通矢量與標(biāo)量的乘法形式上一樣。3跟矢量A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k點(diǎn)乘rQ.Q.Q”)i+j+k(QxQyQz丿Q_.()Q()Q()QPQQQR-P(x,y,z)+-Q(x,y,z)+-R(x,y,z)=QxQyQzVA=(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)+QxQyQz我們看到這個(gè)定義跟普通矢量與矢量的點(diǎn)乘的定義形式上一樣。4跟矢量A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k叉乘VxA=(Q.Q.Qi+i+k、QxQyQz丿jkQx(p(x,y,z)

3、i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)dPdRdxPQyQQzRQyQzQzQx,+(QQQPk.QxQy丿我們看到這個(gè)定義跟普通矢量與矢量的叉乘的定義形式上一樣。三）按照以上定義，我們?nèi)菀椎贸觯?根據(jù)下圖所示梯度定義可知，可以用矢量微分算子表示標(biāo)量函數(shù)u（x,y,z）的梯度，即grad(u)=Vu梯度的這個(gè)定義是與坐標(biāo)系無關(guān)的，它是由數(shù)量場(chǎng)中數(shù)量譏的分布所決定的.上面，我們借助于方向?qū)?shù)的公式找出了它在:S角坐標(biāo)系中的表示式為gmdu（2）2.根據(jù)下圖所示散度定理可知，可以用適量微分算子表示矢量函數(shù)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度，即div(A)VA

4、（2）ns度輕直角坐赫垂中的表示式做度的定文是與蜓標(biāo)菜無關(guān)的.下面的定理，培出T它靶直角坐押票中的表示貳一定理在直角坐標(biāo)菲屮”矢址場(chǎng)A-尸（+J?（xTrpt）A癢任一點(diǎn)眉3,了嚴(yán)）趾的般肚為3.根據(jù)下圖所示旋度定義可知，可以用矢量微分算子表示矢量函數(shù)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度，即rot(A)=VxA1)Bt度的定義著癥矢量場(chǎng)A中的一點(diǎn)聞處樣的一個(gè)量盤矢量場(chǎng)A圧點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)療面密度為最天，這牛品天的報(bào)值正奸就足Ml則稱矢雖尺為矢妊場(chǎng)用在點(diǎn)儲(chǔ)處的血度，記柞W1M,pctA=R.苛陣之，fife度矢覽在數(shù)值和方向上表出了蝦大的環(huán)墳面綾度.旋戰(zhàn)的上述圭

5、JC是與坐様慕無關(guān)的.上面(屯12式中的矢驗(yàn)星它在吉角坐様畫中的議示式，就熱說在直角坐標(biāo)系中右二、拉普拉斯算子一)形式定義：(Q.Q.Q,i+j+k-、QxQyQz丿QQQQQQQ2Q2+、(Q.Q.Q)i+j+k、QxQyQz丿Q2=十十十+QxQxQyQyQzQzQx2Qy2Qz2V2=V-V=我們發(fā)現(xiàn)拉普拉斯算子在形式上是個(gè)標(biāo)量。二)用法定義：1鋪墊定義：)。2u(x,y,z)d2-udx2u(x,y,z)Qy2d2-uQz2,y,z,y,zQx2Q2u(x,y,z)Qy2)Q2U(x,y,z)dz22跟標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)相乘d2d2d21-d2V2u=+u(dx2dy2dz2)d

6、x2d2ud2Ud2U=+dx2dy2dz2d2d2-u+-u+-udy2dz2我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義形式跟普通標(biāo)量與標(biāo)量的相乘形式上滿足的相似的規(guī)律(分配律)3跟矢量函數(shù)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k數(shù)乘d2d2d211、dx2dy2dz2丿(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,zk)d2d2d211、dx2dy2dz2丿d2d2d2一+一+、dx2dy2dz2丿d2d2d2+、dx2dy2dz2丿=P(x,y,z)+-P(x,y,z)+P(x,y,z)i、dx2dy2dz2丿Q(x,y,z)+$Q(x,y,z)+$Q(x,y,z)j+(dx2dy2

7、dz2丿R(x,y,z)+R(x,y,z)+字R(x,y,z)k(dx2dy2dz2丿d2P(x,y,z)d2P(x,y,z)d2P(x,y,z+dx2P(x,y,z)i+R(x,y,z)kdz2d2Q(x,y,z)d2Q(x,y,z)d2Q(x,y,z)1.f+JQ(x,y,z)j+(dx2dy2dz2丿62R(x,y,z)d2R(x,y,z)d2R(x,y,z):+:+:,丿我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義形式跟普通標(biāo)量與矢量的相乘形式上滿足相似的規(guī)律dx2dz2三)注意1.V2u=V(Vu)d2d2V2U=+(dx2dy2d2dz2d2Udx2d2ud2z+dy2dy2V-(Vu)=V-(Qu.Qu.Q

8、u”Ji+j+kQxQyQz丿QuQx(QQ,Q_JQxQy丿Qu)QQy丿Qy”.Qu.Quji+j+ki+j+kQQQuQQuQQu_+_+QxQxQyQyQzQzQxQz丿(Qu、Qz丿Q+-Qz所以得證。2.V2AV(V-A)且V(V-A)-V2A=Vx(VxA)(Q.Q.Qfji+j+k.QxQyQz丿Q廠QjQnQPQQQR=-P+-Q+R=+-QxQyQzQxQyQzVA=V(VA)=.QxQyQz丿Q2UQ2UQ2U=+Qx2Qy2Qz2-(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)(Q.Q.Q”)i+j+kQz丿QQx_Q.(QPQQ+QRQxQPQQQR、

9、QxQyQzQy+-+QxQyQz丿QPQQQR)+QxQyQz丿.(QPQQQR)j|+QxQyQz丿dxQyQPQQQR、QxQyQz(QPQQQR)+.QxQyQz丿Q.+kQz(QPQQQR)+Q+.OxQyQz丿kQz空+竺+空.Qx2QyQxQzQx丿、QxQyQy2QzQy丿QxQzQyQzQz2丿_+.Qx2Qy2Qz2Q2RQ2RQ2R、+211.Qx2Qy2Qz2Qx2Qy2Qz2丿所以，不相等。3.Vx(VxA)_V(VA)-V2AVx(VxA)-+(-1)iddxdRdQdQydPQRkQQzQQQPfA(QQQP)1Q(QPQR6(QxQy丿Qz(QzQx丿丿(Q(Q

10、QQ(QRQzQyj+丿丿(_(QP、QxIQzQRQx丿Q_(QRQQkQylyQz丿丿(Q2QQ2PQ2PQ2R.(Q2PQ2QQ2RQ2Q.(Q2PQ2RQ2R、QxQyQy2Qz2QxQzJIQyQxQx2QyQzQz2丿丿IQzQxQx2Qy2,Q2Q(Q2PQ2QQ2R).=+I、Qx2QxQyQxQz丿(Q2PQ2PQ2P).+丄Qx2Qy2Qz2丿(Q2PQ2QQ2R),+、QyQxQy2QyQz丿(Q2Q,Q2Q,Q2QJ:.Qx2Qy2Qz2丿(Q2PQ2QQ2R+,QzQxQzQyQz2丿、k丿Q2RQ2RQ2R+,Qx2Qy2Qy2Qz2丿fQ2P+Q2Q+q2Ri+(

11、Q2P卜Q2Q+Q2Rj+(Q2P/2Q+Q2R(Qx2QyQxQzQx丿(QxQyQy2QzQy丿(QxQzQyQzQz2丿Q2PQ2PQ2P+(QQ+些+些J/11Qx2Qy2Qz2丿(Q.Q.Qi+一HQx(QPQQQR)=V+、QxQyQz丿V(V-A)=VQx2Qy2Qz2丿j+k-QyQz丿(Q.Q.Q,=i+j+k、QxQyQz(Q2RQ2RQ2R)+,kQx2Qy2Qz2丿(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)丿YQPQQQR)+人QxQyQz丿k-+(QPQQQR、-+丄QxQyQz丿，+(k+(Qz丿(QPQQQR+、QxQyQzQPQQQR)+QxQyQz丿.1+QyQPQQQR)Q+亠+、QxQyQz丿k=Qz(Q2P(Qx2QyQxQzQx丿(QxQyQy2Q2R)(Q2P,(QxQz沁kQz2丿(Q2Q2Q211(Qx2Qy2Qz2丿(Q2Q2Q2+(Qx2Qy2Qz2丿V2A=(P(x,y,z)i,Q(x,y,z)j,R(x,y,z)k)-P(x,y,z)i,字P(x,y,z)+-P(x,y,z)+(Qx2Qy2(Q2Q2Q2+(Qx2Qy2Qz2Q2，Qz2y,z)j+(Q2Q2Q2+(Qx2