平面向量考點(diǎn)梳理講解總結(jié),高中數(shù)學(xué)平面向量題及答案解析

1、考點(diǎn)20平面向量的概念與運(yùn)算及幾何性質(zhì)【命題解讀】 平面向量的概念與運(yùn)算這一部分，高考的考察比較少，主要集中在向量的運(yùn)算以及它的幾何性質(zhì)部分，對(duì)于平面向量的運(yùn)算，要注意運(yùn)算的法則，注意向量是矢量這一知識(shí)點(diǎn)?！久}預(yù)測(cè)】預(yù)計(jì)2021年的高考對(duì)于平面向量的概念及運(yùn)算部分考察還是以小題為主，如果出題可能以選擇題的形式出現(xiàn)?！緩?fù)習(xí)建議】 集合復(fù)習(xí)策略：1.理解平面向量的概念，幾何表示；2.掌握平面向量的運(yùn)算及幾何意義?？枷蛞黄矫嫦蛄康母拍?平面向量的有關(guān)概念名稱定義表示向量在平面中,既有大小又有方向的量用a,b,c,或AB,BC,表示向量的模向量a的大小,也就是表示向量a的有向線段AB的長(zhǎng)度 (或稱模

2、)|a|或|AB|零向量長(zhǎng)度為0的向量用0表示單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量用e表示,|e|=1平行向量方向相同或相反的非零向量(或稱共線向量)ab相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量a=b相反向量長(zhǎng)度相等,方向相反的向量向量a的相反向量是-a2. 說明:零向量的方向是不確定的、任意的.規(guī)定:零向量與任一向量平行.1.【2020安徽高二學(xué)業(yè)考試】如圖，菱形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑢?duì)角線和相交于點(diǎn)，所以，故A，B，D正確.而，不一定相等，故C錯(cuò)誤.故選：C2.【2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)】給出下列四個(gè)命題：方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

3、若，滿足且，同向，則；不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；對(duì)于任意向量，必有.其中正確命題的序號(hào)為_.【答案】【解析】對(duì)于，長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于，向量是不能比較大小的，故錯(cuò)誤；對(duì)于，不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，故錯(cuò)誤；只有正確.故答案為：考向二 平面向量的線性運(yùn)算1. 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)加法交換律:a+b= b+a;(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c= a+(b+c)減法減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量三角形法則a-b= a+(-b)數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,這

4、種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘,記作a(1)|a|=|a|.(2)當(dāng)0時(shí),a與a的方向相同;當(dāng)0時(shí),a與a的方向相反;當(dāng)=0時(shí),a=0(1)對(duì)向量加法的分配律:(a+b)= a+b;(2)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律:(1+2)a=1a+2a2.常用三角公式向量的共線定理向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的實(shí)數(shù),使b=a.1. 【2020山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)高三期中】若M為ABC的邊AB上一點(diǎn)，且則=（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)題意做出圖形，如圖，所以，所以.故選：A.2. 【2020忻州市第二中學(xué)校高三月考】如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（ ）ABCD【答案】C【解析】在平行四邊形A

5、BCD中，故A錯(cuò)誤；由向量減法法則得，故B錯(cuò)誤；由向量加法的平行四邊形法則知，即C正確；由于，故D錯(cuò)誤；故選：C.3. 【2020沙坪壩重慶南開中學(xué)高三月考】在平行四邊形中，交于F且，則下列說法正確的有（ ）ABCD【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：易證，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，即，所以，所以，解得：，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD題組一1. 【2019江西八校聯(lián)考】在ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且APeq f(1,3)AB，BQeq f(1,3)BC.若eq o(AB,sup6()a，eq o(A

6、C,sup6()b，則eq o(PQ,sup6()()Aeq f(1,3)aeq f(1,3) bBeq f(1,3)aeq f(1,3)b Ceq f(1,3)aeq f(1,3)bDeq f(1,3)aeq f(1,3)b2. 【2020珠海市第二中學(xué)高二月考】已知，為單位向量，則的最大值為（ ）ABC3D3.【2020黑龍江哈爾濱三中高三期中（理）】在中，則（ ）ABCD4. 【2020北京順義高一期末】如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量等于（ ）ABCD5. 下面的命題正確的有（ ）.A方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B單位向量都相等C若，滿足且與同向，則D“若、是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊

7、形是平行四邊形”6. 在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）ABCD 7. 【2019遼寧大連雙基測(cè)試】在銳角ABC中，eq o(CM,sup6()3eq o(MB,sup6()，eq o(AM,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，則eq f(x,y)_.8. 【2019山東菏澤模擬】如圖，有5個(gè)全等的小正方形，eq o(BD,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()，則xy的值是_.題組一1. A【解析】eq o(PQ,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(BQ,sup6()eq f

8、(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)aeq f(1,3)b.故選A2.D【解析】設(shè)的夾角為，而由已知條件知，同理有，而，的最大值為.故選：D3.A【解析】.故選：A4. B【解析】因?yàn)樵诰匦沃?，為中點(diǎn)，所以.故選：B.5.AD【解析】方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A正確；單位向量

9、的大小相等，但方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；、是不共線的點(diǎn)，即模相等且方向相同，即平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.故選：AD6.ABD【解析】對(duì)于A：在四邊形ABCD中，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.7. 3【解析】由題設(shè)可得eq o(CA,sup6()eq o(AM,sup6()3(eq o(AB,sup6()eq o(AM,sup6()，即4eq o(AM,sup6()3eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，亦即eq o(AM,sup6()eq f(3,4

10、)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()，則xeq f(3,4)，yeq f(1,4)，故eq f(x,y)3.8. 1【解析】因?yàn)閑q o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，而eq o(AD,sup6()2eq o(AE,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(AH,sup6()eq o(HB,sup6()2eq o(AF,sup6()eq o(AE,sup6()，所以eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AE,sup6()(2eq o(AF,s

11、up6()eq o(AE,sup6()3eq o(AE,sup6()2eq o(AF,sup6().又eq o(AE,sup6()，eq o(AF,sup6()不共線，且eq o(BD,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()，所以xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()3eq o(AE,sup6()2eq o(AF,sup6()，所以x3，y2，故xy1.考點(diǎn)21平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算【命題解讀】 平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算是高考的一個(gè)熱門考點(diǎn)，對(duì)于平面向量的考察主要從這方面出題，尤其是數(shù)量積的運(yùn)算是考察的重中之重，題目的難

12、易度適中，以選擇或者填空為主，出多項(xiàng)選擇題的機(jī)率也是比較大的，總體來說還是學(xué)生比較好得分的?！久}預(yù)測(cè)】預(yù)計(jì)2021年的高考平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算還是以選擇題或者填空題為主，難易度以中等難度為主，數(shù)量積的運(yùn)算考察機(jī)率大?！緩?fù)習(xí)建議】 集合復(fù)習(xí)策略：1.理解平面向量基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示；3.理解平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；4.掌握運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行平面向量的加法、減法、數(shù)乘與數(shù)量積的運(yùn)算?？枷蛞黄矫嫦蛄炕径ɡ砑白鴺?biāo)表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a， 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a=1e1+2e2.

13、其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=（x1，y1） b=（x2，y2）a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) a=(x1，y1)(2)向量的坐標(biāo)求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，則aba=b(R) x1y2-x2y1=0.1. 【2020湖南省高三月考】如圖所示，在中，點(diǎn)在線段上，且，若，則ABC2D【答案】B【解

14、析】，所以，從而求得，故選B2. 【2020安徽省高三月考】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則_【答案】-3【解析】為所在平面內(nèi)一點(diǎn), ，B，C，D三點(diǎn)共線.若，化為： =+，與=+，比較可得： ，解得.即答案為-3.考向二 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的數(shù)量積(1)概念已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,我們把數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|cos ,并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0.(2)幾何意義向量的投影: a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.向量的數(shù)量積:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|

15、與b在a方向上的投影|b|cos 的乘積.(3)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則AOB=(0180)叫作向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直,記作ab.2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a,b,c和實(shí)數(shù).交換律: ab=ba;數(shù)乘結(jié)合律:(a)b=(ab)= a(b) (R);分配律:(a+b)c= ac+bc.3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量,是a與e的夾角.ea=ae=|a|cos .ab ab=0.當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2或|a|=

16、aacos =ab|a|b|.|ab|a|b|.4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為a與b的夾角.|a|=x12+y12ab= x1x2+y1y2ab x1x2+y1y2=0cos = x1x2+y1y2x12+y12x22+y221. 【2020四川省閬中中學(xué)高三二?！恳阎蛄浚?，則m=A8B6C6D8【答案】D【解析】，又，34+（2）（m2）0，解得m8故選D2. 【2020河北省高三月考】已知向量，滿足，且，則向量與的夾角的余弦值為ABCD【答案】D【解析】由題意可知：，解得：.故選：D.3. 【2020湖北省高三零模】已知向量，滿足

17、，在上投影為，則的最小值為ABCD【答案】B【解析】在上投影為，即.，又，.本題選B題組一（真題在線）1. 【2020年高考全國(guó)卷文數(shù)】已知單位向量a，b的夾角為60，則在下列向量中，與b垂直的是Aa+2bB2a+bCa2bD2ab2. 【2020年新高考全國(guó)卷】已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A B C D3. 【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A BC D 4. 【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A3B2C2D35. 【2020年高考全國(guó)卷文數(shù)】設(shè)向量，若，則 .6. 【2020

18、年高考天津】如圖，在四邊形中，且，則實(shí)數(shù)的值為_，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_7. 【2020年高考北京】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_；_8. 【2020年高考浙江】已知平面單位向量，滿足設(shè)，向量，的夾角為，則的最小值是_9. 【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知a，b為單位向量，且ab=0，若，則_.10. 【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_題組二1. 【2020全國(guó)高三月考（理）】如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，且，則向量的模為（ ）ABC或D或2. 【2020山東濟(jì)寧高三其他模擬】已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）AB

19、CD3. 【2020湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考】若平面向量，滿足，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值是（ ）ABCD4. 【2020河南省高考模擬】已知平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，它們的夾角是60，與、向量的夾角都為30，且，若，則值為ABC2D45. 【2020沙坪壩重慶八中高三月考】已知向量，則下列命題正確的是（ ）A若，則B若在上的投影為，則向量與的夾角為C存在，使得D的最大值為6.【2020重慶西南大學(xué)附中高三月考】如圖，中，E為CD的中點(diǎn)，AE與DB交于F，則下列敘述中，一定正確的是（ ）A在方向上的投影為0BCD若，則 7. 【2020全國(guó)高三月考（理）】已知的重心為，其中，且，共線， 則_8.【202

20、0湖北省鄂州高中高三月考】在中，則的大小為_.9. 【2020甘肅省武威十八中高三期末】已知向量，若，則_.10. 【2020江西省寧都中學(xué)高三月考】如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，則的最小值為_.題組一1.D【解析】由已知可得：.A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.2.A【解析】如圖，的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.3.B【解析】因?yàn)閎，所以=0

21、，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B4. C【解析】由，得，則，故選C5. 5【解析】由可得，又因?yàn)?，所以，即，故答案?.6. ；【解析】，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,，的坐標(biāo)為,又,則，設(shè)，則（其中），所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.7. ；【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，則點(diǎn)，因此，.故答案為：；.8. 【解析】，.故答案為：.9. 【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?10. 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，DAB=30，則，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜

22、率為，其方程為.由得，所以.所以.題組二1. B【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以故選：B2.B【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，其中,易知，.故選：B.3.A【解析】由題意得，設(shè)向量夾角為，則，設(shè)與的夾角為，故選：A4. D【解析】由題意，可得在的角平分線上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故選D5. BCD【解析】若，則，則，故A錯(cuò)誤；若在上的投影為，且，則，故B正確；若，若，則，即，故，故C正確； ，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，故D正確，故選：BCD6.ABC【解析】因?yàn)樵谥?，在中，由余弦定理得，所以滿足，所以，又E為CD的中點(diǎn)，所以，所以，對(duì)于A選項(xiàng)：在方向上的投影為，故A正確；

23、對(duì)于B選項(xiàng)：，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，設(shè)，所以，解得（負(fù)值舍去），故D不正確，故選：ABC.7. 3【解析】的重心為，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得,，解得，.故答案為：3.8. 【解析】由題意，得.因?yàn)?，所以為正三角形，從?9.4【解析】，故答案為410. 【解析】根據(jù)條件：,又,.又,三點(diǎn)共線,.,.的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.故答案為.考點(diǎn)22平面向量的應(yīng)用-正余弦定理【命題解讀】 平面向量基的應(yīng)用是考試經(jīng)常出現(xiàn)的，尤其是正余弦定理，是高考必考知識(shí)點(diǎn)之一，縱觀每年的高考題，都有正余弦定理的題目，對(duì)于這部分的考察主要是以大題為主，偶爾會(huì)出現(xiàn)填空或者選擇，主要是掌握正余

24、弦定理的應(yīng)用?！久}預(yù)測(cè)】預(yù)計(jì)2021年的高考平面向量的應(yīng)用及正余弦定理肯定還是以解答題的形式出現(xiàn)，主要出現(xiàn)在第17題的位置，需要加強(qiáng)題目練習(xí)，掌握正余弦定理的知識(shí)點(diǎn)。【復(fù)習(xí)建議】 1.了解平面向量的應(yīng)用；2.掌握正余弦定理的知識(shí)點(diǎn)；3.理解正余弦定理在解題中的應(yīng)用?？枷蛞徽叶ɡ砼c余弦定理1.正弦定理asinA= bsinB=csinC=2R(其中R是ABC的外接圓的半徑)(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)abc= sin Asin Bsin C;(3)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(4)asin B=bsin A,bsin

25、 C=csin B,asin C=csin A2.余弦定理a2= b2+c2-2bccos Ab2= c2+a2-2accos B,c2= a2+b2-2abcos C推論cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab1. 【2020湖北省高三其他（理）】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，其面積S（1）若a，b，求cosB（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)槿切蚊娣e為S ，所以，解得 ，因?yàn)閍，b，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以為銳角，所以（

26、2）由（1）知，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）， 令，因?yàn)?，所以，所以，原式，?dāng)時(shí)，原式取得最大值.2. 【2020廣東省高三其他（理）】在中，已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，向量，且，角為銳角.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解法一：由得，即，所以，為銳角，即解法二：由得，即所以即，即為銳角，所以. （2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.，故的面積最大值為.解法二：，由正弦定理，得，所以，由.因?yàn)?，則當(dāng)即時(shí)，故的面積最大值為.考向二 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用主要考察正弦定理余弦定理在解三角形中

27、的應(yīng)用1. 【2020山東省高三三?！咳鐖D，半圓O的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上異于A，B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作等腰直角，且點(diǎn)D與圓心O分布在PC的兩側(cè)，設(shè)（1）把線段PC的長(zhǎng)表示為的函數(shù)；（2）求四邊形ACDP面積的最大值【答案】（1）， ； （2）5【解析】（1）依題設(shè)易知是以為直角的直角三角形，又，所以. 在，由余弦定理得，.所以， 定義域?yàn)?（2）四邊形ACDP面積為，則 其中為銳角.因?yàn)樗?又因?yàn)?，所以?所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.所以四邊形ACDP面積的最大值為5 .2. 【2019山西監(jiān)測(cè)】如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6

28、. 現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀測(cè)站CD，點(diǎn)D在頂端(1)原計(jì)劃CD為鉛垂線方向，45，求CD的長(zhǎng)；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測(cè)得30，53，求CD2.(結(jié)果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù)：sin 971，cos 530.6)【答案】(1) 4 (2) 17【解析】(1)CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端，CDAB 又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由eq f(AD,sin )eq f(AB,sinADB)得ADeq f(ABsin ,sinADB)eq f(10sin 30,sin 97)eq f(5,sin 97)5.在AC

29、D中，CD2AD2AC22ADACcos 5242254cos 5317.題組一（真題在線）1. 【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，則=A6B5C4D32. 【2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)】在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=ABCD3. 【2020年高考全國(guó)卷理數(shù)】如圖，在三棱錐PABC的平面展開圖中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，則cosFCB=_.4. 【2019年高考浙江卷】在中，點(diǎn)在線段上，若，則_，_5. 【2020年高考全國(guó)II卷理數(shù)】中，sin2Asi

30、n2Bsin2C= sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值6. 【2020年高考江蘇】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值7. 【2020年高考浙江】在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C已知（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范圍8. 【2020年新高考全國(guó)卷】在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，_?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分9. 【20

31、20年高考天津】在中，角所對(duì)的邊分別為已知（）求角的大?。唬ǎ┣蟮闹?；（）求的值10. 【2020年高考北京】在中，再從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：（）a的值：（）和的面積條件：；條件：注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分題組二1. 【2019山東省煙臺(tái)市高三一?！吭谥?，角，的對(duì)邊分別為，若，則角ABCD2. 【2019山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校聯(lián)合考試】在中，分別為角，的對(duì)邊，若的面積為，且，則A1BCD3. 【2020廣東省高三其他（理）】已知四邊形中，E在的延長(zhǎng)線上，且，則A1B2CD4. 【2020四川省閬中中學(xué)高三二模（理）】在中，若，則的最小值為_5. 【20

32、20六盤山高級(jí)中學(xué)高三其他（理）】已知中，角，所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.6. 【2020廣東省高三二模（理）】中，D為上的點(diǎn)，平分，的面積為.（1）求的長(zhǎng)；（2）求. 7. 【2020四川省瀘縣第四中學(xué)高三二模（理）】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且（1）求角的大小；（2）若,的面積,求的周長(zhǎng)8. 【2019廣東省韶關(guān)市高考模擬】在中，、分別是內(nèi)角、的對(duì)邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的周長(zhǎng)題組一1.A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A2.A【解析】在中，根據(jù)余弦定理：，可得 ，即，由，故.故選：A3. 【解析】，由勾股定理得，同

33、理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案為：.4. ，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而,，所以.5. 見解析【解析】（1）由正弦定理和已知條件得，由余弦定理得，由，得.因?yàn)?，所?（2）由正弦定理及（1）得，從而，.故.又，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值.6. 見解析【解析】（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所?在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因?yàn)?所以為鈍角，而,所以為銳角.故則.因?yàn)?，所以?從而7. 見解析【解析】（）由正弦定理得，故，由題意得.（）由得，由是銳角三角形得.由得.故的取值范圍是.8. 見解析【解析】方案一：選條件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可

34、得由，解得因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)方案二：選條件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得，由，所以因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)方案三：選條件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，與矛盾因此，選條件時(shí)問題中的三角形不存在9. 見解析【解析】（）在中，由余弦定理及，有又因?yàn)?，所以（）在中，由正弦定理及，可得（）由及，可得，進(jìn)而所以，10. 見解析【解析】選擇條件（）（）由正弦定理得：選擇條件（）由正弦定理得：（）題組二1. D【解析】，由正弦定理可得：，即，.故選D2.D【解析】由，得，即，即，則，即，則，故選D3.A【解析】在中，由余弦定理有，易知，又，故，.故

35、選：A4. 【解析】由，結(jié)合，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.5. ；（2）【解析】（1）在中，（2），當(dāng)時(shí)，取最大值.6. （1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，的面積為，平分，在中，由余弦定理，得，.（2）在中，由余弦定理，得，因?yàn)槠椒?，所以?. （1）；（2）【解析】（1）， ， ， ， （2）依題意得：， ，的周長(zhǎng)為8. （1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可得：，即，（2），的面積為，由余弦定理可得：，即，解得：，的周長(zhǎng)為.考點(diǎn)23數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的運(yùn)算【命題解讀】 復(fù)數(shù)是高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一，每年的高考都出關(guān)于復(fù)數(shù)的一個(gè)選擇題，主要是針對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)

36、算，以基礎(chǔ)題目為主，是高考容易得分的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)?！久}預(yù)測(cè)】預(yù)計(jì)2021年的高考復(fù)數(shù)的考察還是以基礎(chǔ)題為主，主要還是集中在復(fù)數(shù)的幾何意義和四則運(yùn)算上，稍加注意得分不難?！緩?fù)習(xí)建議】 1.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和幾何意義；2.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算?？枷蛞粡?fù)數(shù)的有關(guān)概念及幾何意義1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù);若b0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且 b0,則a+bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di a=c且b=d (a,b,c,dR).(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛 a=c且b = -d

37、 (a,b,c,dR).(4)復(fù)數(shù)的模:向量OZ=(a,b)的模r叫作復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)平面向量OZ=(a,b) (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).1. 【2020山東濰坊高三二?！咳魪?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A1B0C1D2【答案】B【解析】又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，得1a1實(shí)數(shù)a的值可以是0故選：B2.【2019山東高考模擬（理）】已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

38、在直線上，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得. 故選D.考向二 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i;減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i;除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i (c+di0).(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3C,有z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).1. 【2020河南省名校聯(lián)盟高三質(zhì)量檢測(cè)】已知復(fù)數(shù)z1(為虛數(shù)單位，aR)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=ABC0D2【答案】B【解析】z為純虛數(shù)，解得a.故選B2. 【2020四川省成都市石室中學(xué)高三下學(xué)期月考】復(fù)數(shù)，則ABC1D【答案】C【解析】，.故選：C3. 【2019山東濱州高三期末】設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）A1BCD2