新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)4不等式的性質(zhì)與基本不等式

1、PAGE PAGE 6課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四)A組全考點(diǎn)鞏固練1下列不等式恒成立的是()Aa2b22abBa2b22abCab2eq r(|ab|)Dab2eq r(|ab|)B解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍2b22ab(ab)20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以a2b22ab，故A錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閍2b22ab(ab)20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以a2b22ab，故B正確對(duì)于選項(xiàng)C，令a1，b2，則ab121,2eq r(|ab|)2eq r(|12|)2eq r(2)因?yàn)?2eq r(2)，所以ab2eq r(|ab|)，故C錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)D，令a1，b0，則ab1，2eq r(|ab|)2e

2、q r(|10|)0因?yàn)?0，所以ab2eq r(|ab|)，故D錯(cuò)誤2若x0，y0，則“x2y2eq r(2xy)”的一個(gè)充分不必要條件是()AxyBx2yCx2且y1Dxy或y1C解析：因?yàn)閤0，y0，所以x2y2eq r(2xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)，等號(hào)成立故“x2且y1”是“x2y2eq r(2xy)”的一個(gè)充分不必要條件3(2022濱州三校高三聯(lián)考)已知a0，b0，若不等式eq f(4,a)eq f(1,b)eq f(m,ab)恒成立，則m的最大值為()A10B12 C16D9D解析：由已知a0，b0，若不等式eq f(4,a)eq f(1,b)eq f(m,ab)恒成立，則meq

3、blc(rc)(avs4alco1(f(4,a)f(1,b)(ab)恒成立，轉(zhuǎn)化成求yeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,a)f(1,b)(ab)的最小值yeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,a)f(1,b)(ab)5eq f(4b,a)eq f(a,b)52eq r(f(4b,a)f(a,b)9，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)，等號(hào)成立，所以m9故選D4(多選題)已知eq f(1,a)eq f(1,b)0，則下列結(jié)論正確的有()AabBab|b|Dabb2BD解析：由eq f(1,a)eq f(1,b)0，得ba0，所以ab0|a|，b2ab因此BD正確，AC不正確5幾何原本中

4、的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明如圖所示，在AB上取一點(diǎn)C，使得ACa，BCb，過點(diǎn)C作CDAB交圓周于點(diǎn)D，連接OD作CEOD交OD于點(diǎn)E，則下列不等式可以表示CDDE的是()Aeq r(ab)eq f(2ab,ab)(a0，b0)Beq f(ab,2)eq r(ab)(a0，b0)Ceq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)(a0，b0)Da2b22ab(a0，b0)A解析：連接DB，因?yàn)锳B是圓O 的直徑，所以ADB90在RtADB中，中線ODeq f(AB,2)eq f

5、(ab,2)由射影定理可得CD2ACBCab所以CDeq r(ab)在RtDCO中，由射影定理可得CD2DEOD，即DEeq f(CD2,OD)eq f(ab,f(ab,2)eq f(2ab,ab)由CDDE得eq r(ab)eq f(2ab,ab) 6(2021棗莊高三統(tǒng)考)函數(shù)f(x)eq f(2x24x5,x1)(x1)的最小值是_2eq r(6)解析：由于x1，故x10，故f(x)2(x1)eq f(3,x1)2eq r(2x1f(3,x1)2eq r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)2(x1)eq f(3,x1)，即x1eq f(r(6),2)時(shí)，函數(shù)取得最小值2eq r(6)7(2021天津卷)若a

6、0，b0，則eq f(1,a)eq f(a,b2)b的最小值為_2eq r(2)解析：因?yàn)閍0，b0，所以eq f(1,a)eq f(a,b2)b2eq r(f(1,a)f(a,b2)beq f(2,b)b2eq r(f(2,b)b)2eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,a)eq f(a,b2)且eq f(2,b)b，即abeq r(2)時(shí)等號(hào)成立，所以eq f(1,a)eq f(a,b2)b的最小值為2eq r(2)8已知正數(shù)x，y滿足x22xy30，則2xy的最小值是_3解析：由x22xy30，得yeq f(3x2,2x)eq f(3,2x)eq f(1,2)x，則2xy2xeq f(3

7、,2x)eq f(1,2)xeq f(3x,2)eq f(3,2x)2eq r(f(3x,2)f(3,2x)3，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，所以2xy的最小值為39(2022唐山模擬)已知a0，b0，c0，d0，a2b2ab1，cd1(1)求證：ab2；(2)判斷等式eq r(ac)eq r(bd)cd能否成立，并說明理由(1)證明：由題意得(ab)23ab13eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立解得(ab)24又a0，b0，所以ab2(2)解：不能成立理由：a0，b0，c0，d0，由基本不等式得eq r(ac)eq r(bd

8、)eq f(ac,2)eq f(bd,2)，當(dāng)且僅當(dāng)ac且bd時(shí)等號(hào)成立因?yàn)閍b2，所以eq r(ac)eq r(bd)1eq f(cd,2)因?yàn)閏0，d0，cd1，所以cdeq f(cd,2)eq f(cd,2)eq f(cd,2)eq r(cd)eq f(cd,2)1eq r(ac)eq r(bd)，故eq r(ac)eq r(bd)cd不能成立10某廠家擬定在2021年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m0)萬元滿足x3eq f(k,m1)(k為常數(shù))如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，

9、每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？解：(1)由題意知，當(dāng)m0時(shí)，x1，所以13kk2，所以x3eq f(2,m1)(m0)又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5eq f(816x,x)，所以2021年的利潤(rùn)y1.5xeq f(816x,x)816xm48xm48eq blc(rc)(avs4alco1(3f(2,m1)meq blcrc(avs4alco1(f(16,m1)m1)2

10、9(m0)(2)因?yàn)閙0時(shí)，eq f(16,m1)(m1)2eq r(16)8，所以y82921，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(16,m1)m1即m3時(shí)，ymax21故該廠家2021年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為21萬元B組新高考培優(yōu)練11已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab3，則eq f(1,1a)eq f(4,4b)的最小值為()A1 Beq f(7,8) Ceq f(9,8) D2C解析：因?yàn)閍b3，所以(1a)(4b)8，所以eq f(1,1a)eq f(4,4b)eq f(1,8)(1a)(4b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1a)f(4,4b)eq f(1,8)eq blc

11、rc(avs4alco1(5f(4b,1a)f(41a,4b)eq f(1,8)(54)eq f(9,8)，當(dāng)且僅當(dāng)4b2(1a)，即2ab2，即aeq f(5,3)，beq f(4,3)時(shí)等號(hào)成立12已知a，b，c滿足abc，且acacB(ab)c0Ca2cb2cDac(ac)bc，且ac0，c0對(duì)A，a(bc)0顯然成立，所以abac，故A正確；對(duì)B，因?yàn)閍b0，c0，所以(ab)c0，故B正確；對(duì)C，因?yàn)閏0，所以a2cb2，若c5，a3，b4，此時(shí)a2b2不成立，若c5，a3，b1，此時(shí)a2b2成立，故C不一定成立；對(duì)D，因?yàn)閍c0，所以ac(ac)0，且xy2，易知ABeq r(3)

12、x，ACeq r(3)y，所以ABACeq r(3)(xy)2eq r(3)由余弦定理，得BC23x23y23xy3(xy)23xy123xy，又xy22eq r(xy)，所以xy1，即BC29,12)，即BC3,2eq r(3)，所以ABACBC32eq r(3)，4eq r(3)16(2021貴陽模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足等式eq f(1,x)eq f(3,y)2(1)求xy的最小值；(2)若3xym2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)2eq f(1,x)eq f(3,y)2eq r(f(3,xy)，即xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x1，y3時(shí)等號(hào)成立，所以xy的最小值為3(2)3xyeq f(1,

13、2)(3xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(3,y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(9x,y)f(y,x)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(62r(f(9x,y)f(y,x)6，當(dāng)且僅當(dāng)x1，y3時(shí)等號(hào)成立，即(3xy)min6，所以m2m6，所以2m317已知某工廠每天固定成本是4萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為a元時(shí)，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的銷售收入是R(x)eq f(1,4)x2500 x(單位：元)，P(x)為每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(平均利潤(rùn)總利潤(rùn)總產(chǎn)量)銷售商從工廠每件a元

14、進(jìn)貨后又以每件b元銷售， ba(ca)，其中c為最高限價(jià)(abc)，為銷售樂觀系數(shù)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，由當(dāng)ba是cb，ca的比例中項(xiàng)時(shí)來確定(1)每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤(rùn)P(x)取得最大值？求P(x)的最大值(2)求樂觀系數(shù)的值(3)若c600，當(dāng)廠家平均利潤(rùn)最大時(shí)，求a與b的值解：(1)依題意，總利潤(rùn)為eq f(1,4)x2500 x100 x40 000eq f(1,4)x2400 x40 000，所以P(x)eq f(f(1,4)x2400 x40 000,x)eq f(1,4)xeq f(40 000,x)400200400200當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,4)xeq f(40 000,x)，即x400時(shí)，等號(hào)成立，故每天生產(chǎn)量為400件時(shí)，平均利潤(rùn)最大，最大值為200元(2)由ba(ca)得eq f(ba,ca)因?yàn)閎a是cb，ca的比例中項(xiàng)，所以(ba)2(cb)(ca)，兩邊除以(ba)2，得1eq f(caba,ba)eq f(ca,ba)eq blc(rc)(av