工程力學(xué)下第20章6

1、120.6 動(dòng)量矩定理 (theorem of moment of momentum)20.6.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) D 對(duì)固定點(diǎn) O 的矢徑為 ，作用于其上的合力為 ，(20.41) 表明，質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的合力對(duì)同一點(diǎn)的矩，稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。220.6.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn) Di 的質(zhì)量為 m ，為作用于質(zhì)點(diǎn)系上的內(nèi)力合力，為作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力合力，( i = 1, 2, , n )(20.42)3(20.43) 表明，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上

2、的外力系對(duì)同一點(diǎn)的主矩，稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的投影形式 將式 (20.43) 向某一過(guò)點(diǎn) O ，且固連于慣性參考空間的直角坐標(biāo)軸投影（如向 z 軸投影）(20.44)即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的外力系對(duì)同一軸的矩。例題20.542. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理不要求 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩和相對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系式 則5(20.45) 又因?yàn)椋ㄔO(shè)點(diǎn) O 為慣性空間中某一固定點(diǎn)）6(20.46)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式7(20.47)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式注意： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的

3、動(dòng)量矩定理的形式是不同的，即對(duì)于動(dòng)點(diǎn) A 來(lái)說(shuō)，式那種簡(jiǎn)單形式的動(dòng)量矩定理一般不成立。但有 4 種情形例外。8(1) 動(dòng)點(diǎn) A 取為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心 C ：(20.48) 即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)其質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用其上外力系對(duì)質(zhì)心的主矩，稱為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，其形式與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同。(2) 動(dòng)點(diǎn) A 的加速度為 ： 動(dòng)系 Axyz 為平移坐標(biāo)系(20.50)(20.49)平移坐標(biāo)系 Axyz 為慣性參考系9 即：如果在這一慣性參考系中來(lái)研究該質(zhì)點(diǎn)系，則點(diǎn) A 就變成為定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn) A 的動(dòng)量矩即為 ，對(duì)時(shí)間的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)就變成了相對(duì)導(dǎo)數(shù)。的物理本質(zhì)： 與質(zhì)點(diǎn)系在慣

4、性參考系 Oxyz 中研究時(shí)，對(duì)定點(diǎn) O 的動(dòng)量矩定理相同，是完全符合邏輯的。這樣對(duì)慣性參考系就有了進(jìn)一步的理解了。(3) 動(dòng)點(diǎn) A 的加速度 與 恒保持平行：(20.51)除了此時(shí)的動(dòng)量矩為相對(duì)動(dòng)量矩外，其形式與對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理相同。10(4) 動(dòng)點(diǎn) A 的速度 與質(zhì)心 C 的速度 恒保持平行： 動(dòng)點(diǎn) A 與質(zhì)心 C 的距離恒保持不變(20.52)其形式與對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同。113. 具有質(zhì)量對(duì)稱面的一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理的表達(dá)式 若質(zhì)點(diǎn)系組成的剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面。 剛體在平面力系或其等效力系作用下（平面力系或其等效力系的作用面與質(zhì)量對(duì)稱面重合），其質(zhì)量對(duì)稱面沿自身所在的平面

5、運(yùn)動(dòng)。 設(shè) A 為剛體質(zhì)量對(duì)稱面或其延拓部分上的某一確定點(diǎn)， 則(20.53) 剛體對(duì)過(guò)點(diǎn) A 且垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體運(yùn)動(dòng)的角速度。剛體運(yùn)動(dòng)的角加速度12(20.54)對(duì)于上式討論 4 種特殊情況：(1) 點(diǎn) A 為固定不動(dòng)的點(diǎn)： 將點(diǎn) A 為記為點(diǎn) O ，則剛體繞 O 軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。(20.55)(2) 點(diǎn) A 取為剛體的質(zhì)心 C ：(20.56)(3) 在某一瞬時(shí)，點(diǎn) A 變?yōu)樵撈矫孢\(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心 P ：(20.57)一般情況，13b從某個(gè)側(cè)面反映了瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的差別。 假設(shè)在不同瞬時(shí)平面運(yùn)動(dòng)剛體滿足 （特殊情形），如圖所示PC(20.58)沿 的方向投影：(

6、20.59)則(20.60)14剛體繞 O 軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：點(diǎn) A 取為剛體的質(zhì)心 C ：不同瞬時(shí)平面運(yùn)動(dòng)剛體滿足 ： 比較上述各式可知： (a) 當(dāng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心 P 與剛體質(zhì)心 C 的距離保持不變時(shí)，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理才具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩或?qū)|(zhì)心的動(dòng)量矩定理那種簡(jiǎn)單的形式。 (b) 均質(zhì)圓盤(pán)沿水平地面或固定不動(dòng)曲面作平面純滾動(dòng)；均質(zhì)直桿的兩端分別沿在同一平面內(nèi)相互垂直的兩條固定直線運(yùn)動(dòng)是剛體的速度瞬心與其質(zhì)心的距離保持不變的最常見(jiàn)例子。15(4) 在某一瞬時(shí)，點(diǎn) A 變?yōu)樵撈矫孢\(yùn)動(dòng)剛體的加速度瞬心 P* ：(20.61)16說(shuō)明：(1) 在運(yùn)動(dòng)學(xué)（第三章）中在動(dòng)力學(xué)

7、中，一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的基點(diǎn)選取為質(zhì)心剛體的一般平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)的平移繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 基點(diǎn)的選擇是任意的，只要對(duì)描述剛體的運(yùn)動(dòng)方便即可。(2) 在動(dòng)力學(xué)中，必須將剛體的運(yùn)動(dòng)和剛體的受力聯(lián)系起來(lái)。(3)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可將剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和外力系的主矢聯(lián)系起來(lái)；相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可將剛體相對(duì)于質(zhì)心平移坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)和外力系對(duì)質(zhì)心的主矩聯(lián)系起來(lái)。(4)因此，在動(dòng)力學(xué)中，將一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的基點(diǎn)選在質(zhì)心上是最方便的，因?yàn)榇藭r(shí)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理所建立的平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程不僅形式最簡(jiǎn)單，而且也最不容易出錯(cuò)。(5)由于動(dòng)量矩定理，可用來(lái)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的變化情況，因此，在一些文獻(xiàn)中將動(dòng)量矩稱為

8、角動(dòng)量 (angular momentum)。例題20.6174. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性空間中某一固定點(diǎn) O 的動(dòng)量矩定理(20.43) 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)其質(zhì)心 C 的動(dòng)量矩定理(20.48)形式相同(1) 若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)點(diǎn) O 的主矩 ：若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)慣性空間中某一固定直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，如 z 軸的矩 ：(2)18若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)點(diǎn) C 的主矩 ：(3)若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)質(zhì)心平移直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，如 z 軸的矩 ：(4)以上結(jié)論統(tǒng)稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定律。19 體操運(yùn)動(dòng)員在做自由體操的空翻動(dòng)作時(shí)，先要助跑，然后蹬板，助跑是使其質(zhì)心獲得速度，蹬板是使身體獲得初角速度。運(yùn)動(dòng)員離地后，若不計(jì)空氣阻力，只受重力作用，而重力通過(guò)質(zhì)心鉛垂向下，這樣，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在水平方向上的投影守恒，而且對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩也守恒，若運(yùn)動(dòng)員在空中身體團(tuán)