六章平穩(wěn)時間序列

1、第六章平穩(wěn)時間序列模型時間序列的分析研究始終是計量經(jīng)濟學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的一個熱點，對于制定精確 定價和預(yù)測決策是至關(guān)重要的，近代計量經(jīng)濟學(xué)和金融市場的許多研究成果和市 場決策理論愈來愈多是建立在時間序列分析的基礎(chǔ)上。Engle和Grange因為他 們的時間序列模型在經(jīng)濟金融中的廣泛應(yīng)用而獲得2003年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎， 就是時間序列分析方法的重要性在世界上被廣泛認可的有力證明.近代計量經(jīng)濟 和金融市場的許多研究成果都建立在時間序列分析的基礎(chǔ)之上。傳統(tǒng)應(yīng)用較廣的 是Box和Jenkins （1970）提出的ARIMA（自回歸求和移動平均）方法；Engle（1982） 提出了 ARCH模型（一階自回歸條

2、件異方差），用以研究非線性金融時間序列模型， 由此開創(chuàng)了金融時序獨樹一幟的研究思路和方法。隨著時間序列分析理論和方法 的發(fā)展，美國學(xué)者Schemas和Lebanon發(fā)現(xiàn)股票日收益序列與周收益序列中存在 混沌現(xiàn)象，米爾斯也指出金融時間序列似乎通常可以用隨機漫步來很好近似，非 線性時間序列模型被廣泛應(yīng)用在金融時間序列分析中。就數(shù)學(xué)方法而言，平穩(wěn)隨 機序列的統(tǒng)計分析，在理論上的發(fā)展比較成熟，從而構(gòu)成時間序列分析的基礎(chǔ)。 因此，本草從基本的平穩(wěn)時間序列講起。第一節(jié)基本概念一、隨機過程在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，隨機變量是分析隨機現(xiàn)象的有力工具。對于一些簡 單的隨機現(xiàn)象，一個隨機變量就足夠了，如候車人數(shù)，某單

3、位一天的總用水量等。 對于一些復(fù)雜的隨機現(xiàn)象，用一個隨機變量來描述就不夠了，而需要用若干個隨 機變量來加以刻畫。例如平面上的隨機點，某企業(yè)一天的工作情況（產(chǎn)量、次品 率、耗電量、出勤人數(shù)等）都需要用多個隨機變量來刻畫。還有些隨機現(xiàn)象，要認識它必須研究其發(fā)展變化過程，這一類隨機現(xiàn)象不能 只用一個或多個隨機變量來描述，而必須考察其動態(tài)變化過程，隨機現(xiàn)象的這種 動態(tài)變化過程就是隨機過程。例如，某一天電話的呼叫次數(shù)，它是一個隨機變 量。若考察它隨時間t變動的情況，則需要考察依賴于時間t的隨機變量9, 9 就是一個隨機過程。又例如，某國某年的GNP總量，是一個隨機變量，但若考 查它隨時間變化的情形，則

4、GNP 就是一個隨機過程。t一般地，若對于每一特定的t （t e T ）, y,為一隨機變量，則稱這一族隨機 變量七為一個隨機過程。隨機過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集T 和yt的取值的特征來分類；（2）以統(tǒng)計特征或概率特征來分類。為了簡便，我們 以參數(shù)集和yt的取值的特征來分類。以參數(shù)集T的性質(zhì)，隨機過程可分為兩大類： T為可數(shù)集合與不可數(shù)集合。以y所取的值的特征，隨機過程也可以分為兩大類：t離散狀態(tài)，即匕所取的值是離散的點；連續(xù)狀態(tài)，即yt所取的值是連續(xù)的。由此 可將隨機過程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機過 程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機過

5、程。二、時間序列離散型時間指標(biāo)集的隨機過程通常稱為隨機型時間序列，簡稱為時間序列。 經(jīng)濟分析中常用的時間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟變量隨機序列的一個實現(xiàn)。時間序列分 析是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計方法，是統(tǒng)計學(xué)的一個分 支。時間序列的特點是：序列中的數(shù)據(jù)依賴于時間順序；序列中每個數(shù)據(jù)的取值 具有一定的隨機性；序列中前后的數(shù)值有一定的相關(guān)性-系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)律；序列 整體上呈現(xiàn)某種趨勢性或周期性。時間序列的統(tǒng)計特征通常用其分布及數(shù)字特征 來刻畫。例如期望E（y，方差Var（y和協(xié)方差Cov（“, y，）。研究時間序列具有重要的現(xiàn)實意義，通過對時間序列的分析和研究，認識系 統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（如趨勢

6、的類型，周期波動的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運 行規(guī)律；進而預(yù)測或控制系統(tǒng)的未來行為，或修正和重新設(shè)計系統(tǒng)（如改變參數(shù)、 周期等）按照新的結(jié)構(gòu)運行。三、時間序列的平穩(wěn)性與滯后算子所謂時間序列的平穩(wěn)性，是指時間序列的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā) 生變化。也就是說，生成變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的特征不隨時間變化而變 化。以平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)作為計量經(jīng)濟模型變量的觀測值時，其估計方法、檢驗 過程才可能采用前面幾章所介紹的方法。直觀上，一個平穩(wěn)的時間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動的曲線。 從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴格平穩(wěn)，另一是弱平穩(wěn)。嚴格平穩(wěn)是指 隨機過程 y, 的聯(lián)合分布函數(shù)

7、與時間的位移無關(guān)。設(shè)y, 為一隨機過程，乃 為任意正整數(shù)，A為任意實數(shù)，若聯(lián)合分布函數(shù)滿足：F(x , ,x )= F(x , ,x ) TOC o 1-5 h z ,1y，1+h,+h 1則稱 y, 為嚴格平穩(wěn)、過程，它的分布結(jié)構(gòu)不隨時間推移而變化。 HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 弱平穩(wěn)是指隨機過程y,的期望、方差和協(xié)方差不隨時間推移而變化。若 y, 滿足以下三條件：E(y ) = r , Var(y ) =a 2, Cov(y , y ) = f (, s)ttt s則稱y 為弱平穩(wěn)隨機過程。在以后的討論中，關(guān)于平穩(wěn)性的概念通常是指弱

8、 t平穩(wěn)，弱平穩(wěn)通常也被稱作寬平穩(wěn)。需要注意的是嚴平穩(wěn)和弱平穩(wěn)之間的關(guān)系：只有具有有限二階矩的嚴平穩(wěn)過 程，才是弱平穩(wěn)過程；弱平穩(wěn)過程只限定一階矩和二階矩，即它并沒有規(guī)定分布 函數(shù)的性質(zhì)，所以弱平穩(wěn)并不一定屬于嚴平穩(wěn)。由于時間序列分析中經(jīng)常用到白噪聲過程，所以有必要對它介紹一下。對于一個隨機過程y , e T,如果 E(y ) = 0 ; Var(y ) =q 2 1)平穩(wěn)的。而一階自相關(guān)系數(shù)_902_ 0P】(1 +0 2 )0 21 +0 2()高階自相關(guān)系數(shù)均為0。此時自相關(guān)函數(shù)在1階處截尾。例 1 y = u + 0.8u ，此時 p = = 蘭 0.511 1+0 21.64x =

9、u +! ut t 0.8 t-101/ 0.8 八此時p =蘭0.51 1 +0 21 + (1/0.8)2這時MA(1)序列七與y,具有相同的相關(guān)系數(shù)，那么選擇哪一個模型更為合適 呢對于MA(1)過程，還有幾點值得注意：(1)正的0值得到正的自相關(guān)系數(shù)， 一個大的y,后面通常是一個比平均值大的y, ； (2)負的正的0值得到負的自相關(guān) 系數(shù)，一個大的y,后面通常是一個比平均值小的y, ； (3)自相關(guān)系數(shù)的取值區(qū) 間P1 e-1,1，并且對于每一個P 1 e(-0.5,0.5)，都有0和1/ 0與之對應(yīng)；(4)某些 金融時間序列可能是零均值，這時就應(yīng)當(dāng)是把這個常數(shù)均值r從模型中移除，使 得

10、MA(1)模型變?yōu)閥廣,+0,1。二.0階移動平均過程MA(q):q階滑動平均過程的表達式為:y =r + u +0 u +0 u +. + 0 utt 1 t12 t2q tq其中u 為白噪聲過程，G,0，,0 )為任何實數(shù)。其均值、方差、自協(xié)方差和 t12 q自相關(guān)函數(shù)分別為：E(y )=rty = Var (y )= E(u +0 u +0 u +.+0 u )()()0/ tt1、t12 t2q tq=V1 +0 2 +0 2 + . +0 2 居 212qy . = cov (y , y .)=E(u +0 u +.+0 u )(u+0 u +. + 0 u/ t 1 t1q tqt

11、j、1 tj 1q tjq(0 +0 0 +0 0 +.+0 0)b2j = 1,2,.,q= jj+1 1j+2 2q qjI0j q即自協(xié)方差函數(shù)在q階處截尾。由(12)式立即可得q階移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)為fo +6 6 +6 6 + + 6 611-1k+2 2q q-kk = 1,2，,qp =J 1 + 62+62 + + 6 2ok q(13)式告訴我們，當(dāng)移動平均過程的階為q時，間隔期大于q的自相關(guān)函數(shù)值為零。這個性質(zhì)稱為MA(q)的自相關(guān)函數(shù)的截尾性，意思是說，自相關(guān)函數(shù)的圖形隨著自變量k到達(q +1)時突然被截去。MA(q)的截尾性給我們一個重要啟示:如果某時間序列是來

12、自一個移動平均過程，則當(dāng)該時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù),從某個間隔期(q +1)開始，其值均為零時，我們就可以推測，原時間序列的階數(shù)為q。例 2 MA（2）過程 y =u +6 u +6 u t t 1 t-12 t - 2容易算得 y =（1+62 +62）（j2 ，y =（6 +66 ）q2，y =6 a2，y = 0，j 2 ；012111 222jP = 61 +6261，p=62，p = 0，11+62 +622 1+62 +62 j例3下式為一個一階移動平均過程y = 1.6 + u + 0.3u其中u是a 2 = 2高斯白噪聲過程，表1是它容量為100的一個樣本。表1 一階自回歸過程

13、y = 1.6 +七+ 0.3ut-1的一個實現(xiàn)tYttYttYttYt126517622752773285378429547953055806315681732578283358839345984103560851136618612376287133863881439648915406590164166911742679218436893194469942045709521467196224772972348739824497499255075100(1)畫出y,的線圖；求yt的總體自相關(guān)函數(shù)；(3)根據(jù)表中樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)。在EViews中輸入命令Plot y,可得該樣本的線圖如下根據(jù)

14、公式(13)式，容易求得y,的總體自相關(guān)函數(shù)為R 0.2752,0,在EViews中雙擊序列y，然后點擊ViewCorrelograms,選擇水平序列可得 Autocorrelation and Partial correlations 函數(shù)圖如下，AutocorrelatianPartial CorrelationACPAC| Ii _110.4040.404I ZHi i20.112-0.061I 二i ZJ30.2570.2SOIi i40.2370.038I i I i50.072 -0.04011i i60.011-0.0491i H70.1220.09311i匚i8-0.001-0

15、.1391【1i i9-0.0300.0621 p 1i p i100.0880.064圖4過程y = 1.6 + , + 0.3_的自相關(guān)與偏相關(guān)柱狀圖從上圖的樣本自相關(guān)函數(shù)值可以看出：滯后2期的自相關(guān)函數(shù)值廣0.112與=0.404相比，大幅度減少，k 2的樣本自相關(guān)函數(shù)值越來越小。三.無限階移動平均過程MA（3）對于一個MA（q）過程，如果讓q *，我們就得到如下的過程:y =日 + *。8 =日 + u +0 u + 0 u +tj tjt 1 t 一1 2 t2J = 0我們稱此過程為MA（3）過程，這里00 = 1。我們可以證明：如果MA（3）過程的系數(shù)是平方可和的，即j j=0那

16、么MA（3）是一個平穩(wěn)的過程。一般地我們用一個更強的絕對可和條件Ek3來代替平方可和條件，絕對可和蘊涵平方可和。系數(shù)是絕對可和的 j=0MA（3）過程的均值和自協(xié)方差分別為+ 0 u )=日T 一+ +02 t2tT TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark94 o Current Document Ey = limE(日 + u +0 u +0 u+tTT3t 1 t-12 t-2Y = E(y - p )2 = limE(u +0.u +0 u=lim(1 + 0 2 +0 2 +0 2)b2 HYPERLINK l bookmark100 o Current

17、Document T“12丁Y . = E (yt -p)(yt .-p)= b2(0 0 +0. 0, +0. 0. + )四、移動平均過程的識別由（13）式可知，MA過程的階等于自相關(guān)函數(shù)值不為零的最大滯后階數(shù)k。我 們怎么能夠由可得之時間序列來判斷MA過程的自相關(guān)函數(shù)在某處（即某間隔長 度）的值為零呢從例3可知，即使是MA過程的自相關(guān)函數(shù)在某處的真值為零，但 由MA過程所產(chǎn)生的一個實現(xiàn)來計算的樣本自相關(guān)函數(shù)在同一處的值卻不等于 零。這表明，我們不能因為樣本自相關(guān)函數(shù)在某處的值不為零來斷定總體自相關(guān) 函數(shù)在同一處的值也不為零。幸而，我們可以知道樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布。這 樣，我們就可以根據(jù)

18、樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布來進行總體相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)值是 否為零的顯著性檢驗。根據(jù)George G. Judge (1982)等所述1,在樣本充分大的條件下，自相關(guān)函數(shù)pk的置信度為95%的置區(qū)間近似為(p -2,p +k vn k以(y - V)(y - y)其中，dk七寧蘭為樣本自相關(guān)函數(shù)，n為樣本容量。于是我們有:z (y - y)2tt=1如果自相關(guān)函數(shù)值pk=0，則在大樣本條件下，相應(yīng)的樣本自相關(guān)函數(shù)值以95%(22 。由此可得顯著性檢驗程序如下:的概率落入?yún)^(qū)間-二,三I dn 睥)第一步：根據(jù)所得隨機時間序列的一個樣本計算樣本自相關(guān)函數(shù)值(5k。第二步：檢驗p.是否落入?yún)^(qū)間卜二,J，或

19、者檢驗k的絕對值是否小于如果p落入?yún)^(qū)間(-蘭,三或其絕對值小于三，則在5%的顯著性水平下, n 板n)、n如果p在區(qū)間(-三,三之外或其絕對值大于 三，則拒絕V vnJn) 0.2887, k = 1k 1故在5%的顯著性水平下，拒絕p 1 = 0,接受p .=0,當(dāng)k 1。這表明表2 的數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個MA(1)過程。五、移動平均過程的參數(shù)估計移動平均過程的參數(shù)據(jù)估計就是在已確定移動平均過程的階以后，根據(jù)它的一個現(xiàn)實或樣本0 , K，,K )，來估計移動平均過程的均值r = E(Y )，諸移動12nt平均系數(shù)(或稱權(quán)數(shù))0，以及被假定為白噪聲過程或高斯白噪聲過程的t的方差a 2。由于不可逆的移

20、動平均過程意義不大，所以我們只研究的可逆的移動平均u過程，因為有限階移動平均過程是平穩(wěn)的，所以其均值為常數(shù)，而這個常數(shù)完全 可以由樣本平均數(shù)來估計。因此，均值的估計也就不成為問題。正因為如此，不 失一般性，我們假定MA(q)的均值r = E(Y ) = 0，以便于對其它參數(shù)的估計(若t不然，只要將移動平均過程的每一項減去其均值，而均值的估計值是可得的)。故可設(shè)Y = u +0 u +0 u H0 ut t 1 t1 2 t2q tq其中匕是一白噪聲過程。 t估計式中的參數(shù)的一個直接方法是將它化成 AR(8)的形式(因為它是可逆的，所以這種轉(zhuǎn)換是可行的)：(1 +門1 L +門 2 L2 +門3

21、 L + )Y = u即y = n y n y n y + ut1 t1 2 t2 3 t3t求使上式所表示的計量經(jīng)濟學(xué)模型的殘差平方和最小的諸n，即求諸n，使s(n ,n ,n ,)=* (y +n y +n y +n y + 川1 2 3t 1 t1 2 t2 3 t3t=1最小。但由于樣本容量是有限值n，所以上式可簡化為S（月，門，門，E）=才（Y+叩Y+叩Y+叩Y+叩Y ）21 2 3nt 1 t-1 2 t-2 3 t3t-1 1t=1即，我們的估計問題首先就是要求求諸門，使S叫,七,七,，氣）最小（氣=1）。當(dāng)我們估計出諸門以后，再根據(jù)諸門與諸0的關(guān)系，求出諸0的估計值，而,的方差

22、H 2則可由下式估計: us2，n3,七)n - q上述過程所用的方法是最小二乘法，但是由于諸門與諸0的關(guān)系十分復(fù)雜, 所以上述估計屬于非線性估計，往往要在一組初始值下進行迭代。有計量經(jīng)濟學(xué) 軟件EViews中有相應(yīng)的程序?qū)A（q）過程進行參數(shù)估計。例如：如要估計MA過程，則估計命令為Ls y c MA(1) MA下圖是某MA（2）序列的EViews估計的輸出結(jié)果需 ETiET - Eautriion: DlfllTLED Torkfilc:虹件 Hl+ZXffnti-.匚石Eile- Edit Q-Bject ew Eroc Q.ULckSJindcv HelpVE” 陽匚|。可事上| P

23、riH Nam匕|Frew匕| EwtFnebs| Ft”匕匚aat 蟲血Dopen do nt Variable: Method Le技 SquaresDate: 06/21/1D Time: 1D:3BSample: 1 100Included abseryations: 100Conyergonce achied alters iwralionsBackcasr -1 AVariableefficientSid. Errort-St artisticPrab.:1 9303060.D6341831.22G332 03C0MA(1)口 23B9DE EB9B7A2.391 9K D1E7M

24、AR)a.ia89B80 I Ci*1.809081I皈咨R-squaredQ .056722Mean dependenl var1.992562Adjusied R-EquanedQ.0d74?9S.D. dependent var0456305S.E. of regression0 4J5416Ahaike info criterion1 召 9936Sum squared res id19.2457Schwarz criterion1.32EO91trig likelihood-59.JEG79F-statistic3.467371Durbin-Wats on stal2.043234P

25、rab(F-Etalistic)0.035118Inverted MA Roais-/12 + 42iDependent /ariableT圖5 MA（2）過程的EViews估計結(jié)果若假設(shè)式中（/ 是一高斯白噪聲過程，則可用最大似然估計來估計模型中的 t參數(shù)。例如對于高斯MA（1）過程（）其中utiid N(0,b 2 )。赤偵0 ,B ）表示要估計的總體參數(shù)。如果Uti已知，則YtUt-1N(日+0u i),c2)（）其概率密度函數(shù)為:tt-1(yt ut-i;0)=-(L-0 u-1 2c 2如果已知u0= 0，則N (四,C2)給定觀察值y，i則u就是確定的（）（）（）代入（），得到f2

26、 Y1，u =0=0; 0)=exp -k土虻J2兀c 22c 2（）因為u1確知，u2可由下式求出:（）通過迭代法由y ,y ,., y 求出u ,u ,.,u 整個序列:12 T12 T（）u = y -.-0ut = 1,2,., T，從e0 = 0開始。則第t個觀測值的條件密度為:(y |y ,y ，y ,u = 0；0),Y 2,.,Y1,u0 =0 t t-1 t-21 01-u2.exp I I 1,過程（）中ut對yt的影響隨著時間累增而不是消失，過程不是 有限方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程。這個過程一般稱為爆炸性過程。當(dāng)4| 1時，過程 為協(xié)方差平穩(wěn)過程，此時利用滯后算子過程變?yōu)椋海?

27、-4 L ） y =c + u（）利用求逆，從而得到此過程的解為MAI）過程：c uy_ 1 -4 L 1 -4l+ G + 4 L + 4 2 L +)u1 -4t-+ u + 4 + 4 2u + ()明顯，當(dāng)H 1時，滿足絕對可加性:1 81一。()j=0j=0此時過程的均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為:E (yt)W = &Y = E (y |L1)2 = E u+ 4u + 4 2u + 4 3u +=G+42 + 44 + 46 +)b2 =-14 2Y . = E(yXy . - =e (u +4 +4 2+ .)Gj +4 j+2 +4 j+4 + .)b 2,+4

28、. +42u + .)4 jb 21 -4 2()p =-h=4 j j Y 0從自相關(guān)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)4| m)不顯著，則自回歸過程的階數(shù)為m。所以當(dāng)自回歸過程的階數(shù)確實為p時，則%.(j p)為零而4 (j p)近似為零。為了進行顯著性檢驗需要知道偏相關(guān)函數(shù)的分布特征。好 j2 .石檢驗產(chǎn)否在我們有如是結(jié)果：cp力.近似地服從均值0，方差為n的正態(tài)分布(n為樣本容量)。因此，可以在顯著性水平5%下，通過考察p jj的絕對值是否大于顯著地不為0。例5由方程y = 2 + 0.7y + 0.2y + u (u為高斯白噪聲)產(chǎn)生一個樣本容量為 tt1t2t t100的時間序列。根據(jù)所產(chǎn)生的時間序

29、列樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)并由此確定其階數(shù)，看一看結(jié)果是否與生成機制相吻合。顯然隨機過程y = 2 + 0.7y + 0.2y + u是平穩(wěn)的AR(2)過程。因為它的特征 tt 1t 2 t多項式的根均在單位園之外。據(jù)此可計算出它的均值為E(y ) = 2 = 20，以均值作為初始值去生成 t1 0.7 0.2時間序列即令(y , y ) = (20,20)根據(jù)生成機制y = 2 + 0.7y + 0.2y + u，由隨機 1 0tt1t2t數(shù)發(fā)生器生成容量為100的時間序列如表3。表3二階自回歸過程y = 2 + 0.7y + 0.2y + u的一個實現(xiàn) tt1t2ttYttYtt

30、YttYt126517622752773285378429547953055806315681732578283358839345984103560851136618612376287133863881439648915406590164166911742679218436893194469942045709521467196224772972348739824497499255075100用計量經(jīng)濟學(xué)軟件EViews可得樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)如表4表4 一個人造時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)kP。kP。kp4kkkkkk11121212223132341424515256162

31、6717278182891929102030從表4可知，樣本自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。由于當(dāng)顯著性水平為5%時，偏自相關(guān)函數(shù)在k = 1處是顯著的(因為0.9731 2)，當(dāng)顯著性水平為16%時,相關(guān)函數(shù)在k = 2時的值才是顯著的，當(dāng)顯著性水平為10%時，偏相關(guān)函數(shù)在k = 3 時的值是顯著的，當(dāng)k 3時即使顯著性水平很低(即代表顯著性水平的a很大)， 偏相關(guān)函數(shù)的值也是不顯著的，這說明自相關(guān)函數(shù)至少在k = 4處斷尾，所以表 3中的序列是來自AR過程，而偏相關(guān)函數(shù)在k = 2和k = 3處的值實際上是處在顯著與不顯著之間，因此，我們可以說表4所表示的時間序列可能來自AR(1)、AR(2)或者AR

32、(3)，如果采用中庸之道，則可以認為它來自AR(2)，這就與它的產(chǎn)生機制相吻合了。表3所代表的時間序列的圖形如圖6所示。242220181614102030405060708090100圖6自回歸過程七=2 + 0.77 1 + 0.2匕2+,產(chǎn)生的典型序列五、有限階自回歸過程的估計1、AR(p)過程的 Yule-Walker 估計AR(p)模型的自回歸系數(shù)e由AR(p)模型的自協(xié)方差函數(shù)Y ,Y，,Y通過由拉沃克方程Yp-i()Yp2確定。白噪聲的方差。2為2 =y -Gy +ey 01 12 2+.+e y)()從樣本觀測值匕七,.,九可以構(gòu)造出樣本自協(xié)方差函數(shù)的估計:()1 N- kYk

33、=N玄 *j=1因此根據(jù)自協(xié)方差函數(shù)的估計，可以聯(lián)合求解除系數(shù)估計量。2、最小二乘估計()在相異根的條件下，自協(xié)方差解:Y = g Xj + g Xj +. + g Xjj 1 12 2p p其中特征根(X ,X，,X )為特征方程Xp -mp-1-項=0的解。12p1p如果特征方程人p _%人p _1頃2人p _ 2 = 0的根氣氣,七)互不相同，那么我們有Y . = gXj + g Xj HF g 人jp-12 X p 2矩陣b 2 I - (F F )-1的第一列的前 p2這里(g , g ,g )是由p個初始值(,Y ,Y)確定的待定系數(shù)。我們能夠證12p01明這p個初始值(Y0,Y,

34、Yp_是p 面p個元。這里eeee12p-1p10000100. .- 0010我們可以利用最小二乘法來估計AR (p)過程中的未知參數(shù)。把觀察值代入方程()中可得y= c + 中 y + 中 y +y= c + 中 y + 中 y +p+21 p+12 pr T-1 2 T2 +把它寫成矩陣的形式為這里y = (+1，yp+2,*)，,七y， =(c,七,)1 yp1 y.，?+iy1y2參數(shù)向量4的最小二乘估計量為= (XfX)-iXy如果服從正態(tài)分布，那么最小二乘法估計量。是相合的和漸近正態(tài)的。第四節(jié) 自回歸移動平均過程ARMA（p,q）如果混合自回歸移動平均過程中自回歸部分的階數(shù)為零，

35、則它就成為一個純 移動平均過程；如果混合自回歸移動平均過程中移動平均部分的階數(shù)為零，則它 就成為一個純自回歸過程。所以AR過程和MA過程均可看成是ARMA過程的特例。 v ARMA（p,q）過程的性質(zhì)()()()ARMAp, q）表達式為：y =c +(|)y +。y +. +。y + u +0 u +. + 0 ut1 t2 2p tpt 1 tlq tQ寫成滯后算子的形式為：G-(|)L-(|)-.-(|) Lp)y = c + G+6 L +. + 6 Lq)u TOC o 1-5 h z 12pt1q兩側(cè)同時除以(l-W-Lp 從而得到 12py = |Ll +W Ct)ti其中z、(

36、1 + 9L + . + 0 L?)甲 L (l _ W、I.Lp)12p|H = C/Cl (|) (|)-0 )12p乙明 q時，結(jié)果方程的形式p階 tj自協(xié)方差形式:Y =8y +y +.+8 yj = q+1,q + 2,.()j 1 j12 j2p jp從而解為Y = h 人j + h 人j +. + h 人j()j 1 12 2p pj q時的自協(xié)方差函數(shù)比較復(fù)雜，并且不具有應(yīng)用意義。不過ARMA(p,q)過程 的自相關(guān)函數(shù)都具有拖尾特征。ARMA( p, q )過程容易出現(xiàn)的兩個問題:首先就是過度參數(shù)化問題。例如一個白噪聲過程yt= ut也可以用 (1-pL)y =(1-pL)u

37、表示。此時無論p取何值，利用(1-pL)y =(1-pL)u都能tttt夠很好的擬合數(shù)據(jù)，因此造成估計的困難。ARMA(p,q)過程的表達式()的滯后多項式進行因式分解得到(1 七L)(1 %L).G 人 L)(y p)=(1氣L)(1叫L).G 門 L)u 假設(shè)自回歸算子(1-8.82L2 .8 Lp)和移動平均算子(1+01L +. + 0 Lq)存在 共同根(公因子)，同時除以公因子，得到的過程ARMA(p 1,q 1)和原來的 ARMA( p, q )過程相同。二、ARMA(p,q)過程的識別ARMA(p,q)過程既有自回歸的某些性質(zhì)又有移動平均的某些性質(zhì)，從其自相 關(guān)函數(shù)來看，它與純

38、自回歸過程一樣是拖尾的；從其偏自相關(guān)函數(shù)來看，它和移 動純正平均過程一樣也是拖尾的。所以判斷一個平衡的線性時間序列過程是否為 混合自回歸移動平均過程的方法是：如果其自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則我們就可以斷定這個線性 時間序列是一個ARMA過程。ARMA模型的階的確定是困難的。我們可直接借用Hannan與Rissanen所提 出的程序來識別2。第一步，用OLS對從AR(1)開始到一個相當(dāng)高階的純AR過程進行估計(因為 一個未知的可逆ARMA過程等價于一個無限的AR過程，所以這樣估計是合理的)。第二步，利用赤池信息準則(Akaike s Information criterion)決定其

39、最 大滯后長度，即求使函數(shù)一 2kAIC(k) = ln in*Watson stat2.160162Prob(F-stati3tic)0.000000根據(jù)ARMA(2,1)擬合的結(jié)果則為:VariableCoefficieniStd. Errort-StatisticProb,C19 711410.83044723.73 S9110 0000AR0.5347560.1291764.1397500.0001ARt2)0,2194580.1277951,7172680.D392MA0.8575970.0705071216336o.oooaR-squared0.827770Meen depende

40、nt vsr19,68422Adjusted R-squared0.822274S.D.dependent var2.5821&1S.E. of regression1.D8BS77Akaike info criterion3.047580Sum squared res id111.3901Schwarz criterion3.1530B9Log likelihood-145.3314F-Mati$tic150.5943Durbin-Watscn $tat2.017941Prob(F-staiiatic)0.000000根據(jù)ARMA(2,2)擬合的結(jié)果為:VariableCosffiician

41、itStd. Errort-StatisticProb.C19.725240.81B44924.1597S0.0000ARD.4421330.3349201 32D2660.1900AR0_2S186S0.2527201.1 1533S0.2676MA(1)0.9568900 3271212.9225040.0044MA(2)0.0905570 2536260.3176210.7S15R squared0.827780Mean dependent var19.68422Adjusted R-squarscI0.820372S.D. clgpsnclent var2.5B21&1S_E. of

42、regression1.0943B4Akaike info critarion3.067934Sum squan&d resid111.3a4DSchwarz criterion3.199320Lag likelihood-145.3288F*statistic1117516Durbin-Watson stat2,020893Prob(F*statistic),000000上述三個結(jié)果中，以ARMA(2,1)擬合的調(diào)整R 2值最大，而且其DW統(tǒng)計量的 值最接近2,而且按施瓦茲準則也是它的SC值最小，故我們應(yīng)以ARMA(2,1)擬合 由表5所代表的時間序列，而這正好與其生成機制相吻合。ARMA模型的估計和MA模