對多元多維理解分?jǐn)?shù)意義的思考

1、對多元多維理解分?jǐn)?shù)意義的思考分?jǐn)?shù)是一個內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)概念，是人們比較早就認(rèn)識了的數(shù)（次于自然 數(shù)），它在數(shù)學(xué)發(fā)展史中具有重要的地位，又是一個核心概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)中與 其他的概念有著密切的聯(lián)系。一、分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的階段性。在小學(xué)階段，教材中安排了2次關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”的學(xué)習(xí)（教材圖），但就分 數(shù)意義的前期滲透和后續(xù)的延伸，總結(jié)梳理出分?jǐn)?shù)的意義的五個學(xué)習(xí)階段。第一階段：要經(jīng)歷“平均分”的活動，為學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)積累經(jīng)驗。第二階段：在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識教學(xué)中，幫助學(xué)生直觀認(rèn)識部分與整體的關(guān)系，感 受分?jǐn)?shù)意義的豐富性。第三階段：在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，借助直觀操作，從不同的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，完善 對分?jǐn)?shù)意義的理解。第四

2、階段：在分?jǐn)?shù)的運算及解決問題的教學(xué)中，鼓勵學(xué)生綜合運用對于分?jǐn)?shù)意義 理解的多個維度。第五階段：在比的學(xué)習(xí)中，溝通分?jǐn)?shù)、除法和比的關(guān)系。這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了 某一階段就必須或者只能達(dá)成對某維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。這五個階 段在完成對分?jǐn)?shù)意義豐富認(rèn)識方面各有側(cè)重，相互滲透，相互補充，共同幫助學(xué) 生實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。二、本單元主要教學(xué)內(nèi)容最大公因數(shù)對分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的重大飛躍。五年級是繼平均分、倍、除 法以及分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上對分?jǐn)?shù)開展系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)比的意義和 分?jǐn)?shù)運算及解決問題奠定基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)的意義是本單

3、元的核心概念，是本單元教學(xué) 的重點。分?jǐn)?shù)意義的理解和運用對于學(xué)生來說也是一個難點。由于分?jǐn)?shù)意義自身 的豐富性，所以需要學(xué)生從多種維度來體會。本單元的其他概念的學(xué)習(xí)都是在幫 助學(xué)生從不同方面加深對分?jǐn)?shù)意義的理解。三、多元多維認(rèn)識分?jǐn)?shù)意義，豐富對分?jǐn)?shù)意義理解。分?jǐn)?shù)的意義：學(xué)生在三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)后知道可以把一個物體看成一個整體，這是一種 感性的認(rèn)識。到了五年級分?jǐn)?shù)的意義豐富了學(xué)生對單位“1”的認(rèn)識，建立了單 位“ 1”的概念，知道不僅可以把一個物體看成一個整體，一些物體也可以看成 一個整體，這個整體叫單位“ 1”。在完善單位“1”的過程中，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)意 義的理解也有了新的認(rèn)識。學(xué)生在三年級初步認(rèn)

4、識分?jǐn)?shù)后知道把1個圓平均分成4份，每份是4。這個 4，既是分率也是數(shù)量。它既表示1份與整體的關(guān)系是4，也表示每一份的數(shù)量 是4個圓。但五年級學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義時，與三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)不同的是，單位“1” 不再是一個物體，而是把幾個物體看作一個整體，作為一個“單位”。所取的“一 份”也不是一個，可能是“幾個”作為“一份”。如：8個圓平均分成4份，表 示這樣的1份，既可以用4表示，也可以用2個圓表示，4是1份所對應(yīng)的分率， 2個圓是1份的數(shù)量。J是從整體、單位1的角度來看其中的某個部分的，表示 部分是整體的幾分之幾，不是看“個數(shù)”，而是看“份數(shù)”與總份數(shù)之間的倍比 關(guān)系，即分率。1所對應(yīng)的數(shù)量可能是

5、1個也可能是多個。在分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中教師為學(xué)生精心設(shè)計了不同的學(xué)習(xí)活動，從不同的角度 讓學(xué)生深入的認(rèn)識單位“ 1”，平均分誰，誰就是單位“1”，完善單位“ 1”的概 念。例如：請學(xué)生拿走一堆圓的1，再拿走剩下的1，問這兩個2各表示什么， 有什么不同？有三盒小棒，從第一盒拿出一根小棒，這一根小棒是整體的1 ；從第二盒拿出兩根小棒，這兩根小棒是整體的1;從第三盒拿出三根小棒，這三根小棒是整 體的5 ?能說出每個盒子里原來有多少根小棒嗎？這些活動都是在引導(dǎo)學(xué)生體會單位“1”的變化，以及體會單位“1”的變化 帶來的分率所對應(yīng)的數(shù)量的變化。在活動中體會部分與整體的關(guān)系；學(xué)生在對單 位“ 1”的認(rèn)識過程中，

6、也完善對分?jǐn)?shù)意義的理解。史寧中教授說，就整個中小學(xué)數(shù)學(xué)來說，分?jǐn)?shù)主要有兩個作用：一個是作 為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，它能和其他的數(shù)一樣參與運算；另一個是以比的形式出 現(xiàn)的數(shù)。而后者是小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的重點。帶單位名稱的是量，不帶單位名稱的是 率，這只是直觀識別的標(biāo)志，其本質(zhì)在于率表示了關(guān)系，每一份的大小是隨著單 位“ 1”的變化而變化，但是與單位“1”的關(guān)系不變。量表示的是一個具體的數(shù)， 不會隨著單位“1”的變化而變化。學(xué)生在對分率的理解中，逐步體會到分率表示的是2個量之間的倍數(shù)關(guān)系， 有的學(xué)生就聯(lián)想到了以前學(xué)習(xí)求兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，溝通了分率與倍數(shù)之 間的聯(lián)系。建議：示部分與部分的關(guān)系。（1）通

7、過補充不同類型的問題強(qiáng)化對分率的理解和認(rèn)識。P28填空（5）o的個數(shù)占全部圖形個數(shù)的（），考察的是用分率表示部分與整體的關(guān)系。教師可以把此 題的功能拓展，請學(xué)生看圖提出部分與部分關(guān) 系的問題，如o的個數(shù)是A的：）等，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到長的2米，誰用去的多?分率既可以表示部分與整體的關(guān)系，也可以表甲乙兩條繩一樣長，如果甲繩用去全長的2，乙繩用去全先請學(xué)生猜猜誰用去的多，可能會出現(xiàn)一樣長、甲長、乙長等多種情況，那為什 么會有不同的猜測呢，可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖表示一下，當(dāng)繩長1米時，從圖中看出 兩根用去的一樣多。再繼續(xù)演示比1米長、比1米短，從圖中看出甲用去的 長度會隨著繩長的變化而變化，而乙用去的長度是固

8、定不變的。在論述過程中， 也加深了學(xué)生對分率的認(rèn)識，分率表示的是部分與整體之間的倍數(shù)關(guān)系，會隨著 單位“ 1”的變化而變化。（2）引導(dǎo)學(xué)生利用不同的解題策略解決問題，強(qiáng)化對量率的認(rèn)識。P34 5如果每班的圖書總數(shù)是100本，五一班的圖書箱中有20本科技書，五二 班的科技書占總數(shù)的1，哪個班的科技書多？分析：一個是量，一個是率，不能直接比較，可以引導(dǎo)學(xué)生分別從2個方面進(jìn)行 比較，既可以都轉(zhuǎn)化為量也可以都轉(zhuǎn)化為率。在轉(zhuǎn)化過程中也鞏固了對一個數(shù)是 另一個數(shù)的幾分之幾類型題目方法的掌握。（3）引導(dǎo)學(xué)生在對比中體會量率的特點。學(xué)探診P30（5）有15條魚共4千克。平均分給5個小伙伴，平均每個小伙 伴分到

9、幾千克？（用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）我分到這些魚的幾分之幾？是幾條魚？ 先請學(xué)生獨立解答。然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察比較這3個問題，第1、3問的是具 體數(shù)量，而且是同一件事，只不過是同一件事的2個方面，第2問問的是分率。 如果魚的總數(shù)（單位1）發(fā)生變化，那么1、3問的結(jié)果也會隨之變化，但只要 小伙伴的數(shù)量不變，第2問的結(jié)果就不變。通過對比辨析中加深學(xué)生體會量率的特點，即單位“1”的數(shù)量變化，引起 對應(yīng)的分率的數(shù)量也會發(fā)生變化，但部分與整體的關(guān)系（分率）是不變的。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，不僅是分物與測量的需要，也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。在整數(shù) 除法中，兩個數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商，為了使除法運算可以施行，就需

10、要 引進(jìn)新的數(shù)一一分?jǐn)?shù)，充分體現(xiàn)引進(jìn)分?jǐn)?shù)的必要性。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系作為分?jǐn)?shù)教學(xué)的第二級臺階十分重要，在這一板塊中，分 數(shù)被賦予商的意義，從分?jǐn)?shù)就是表示部分與整體的關(guān)系的強(qiáng)烈認(rèn)知到分?jǐn)?shù)還可以 表示某個具體的數(shù)量大小，這是學(xué)生認(rèn)識上的一次飛躍，也是認(rèn)知上的難點，是 對學(xué)生的抽象思維的一種挑戰(zhàn)。教學(xué)側(cè)重點在經(jīng)歷以平均分為連結(jié)點的分物活 動，以平均分為橋梁再次認(rèn)識分?jǐn)?shù)，體會分?jǐn)?shù)與除法間的關(guān)系，學(xué)會用分?jǐn)?shù)表示 商。分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系從除法角度加深對分?jǐn)?shù)意義的理解，體現(xiàn)計算產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，這 是分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)價值。有研究表明，學(xué)生可以從比、度量、運作、商的角度來理解分?jǐn)?shù)，通過分?jǐn)?shù) 一R一 1與除法關(guān)系教學(xué)后，學(xué)生對于藍(lán)

11、 的理解，既可以看成8個正 的累積，也可以理 解為8份與15份的關(guān)系，8 + 15，以及8 + 15的商。真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)意義即分?jǐn)?shù)概念的引申，也是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一次思維跨越。其 重點是理解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)可假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)也是分?jǐn)?shù)。這 種認(rèn)可不僅是外在形式上的，重要的是意義上的理解。在教材的安排中，雖然在多處安排了有關(guān)分?jǐn)?shù)“度量意義”的線索，但是線 索并不明確，教師對此也比較容易忽視。以往對于分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)大多停留在教 學(xué)定義和分辨誰的分?jǐn)?shù)單位是誰上，沒有體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)單位的價值，以及其對于分 數(shù)“度量意義”的作用。同時，分?jǐn)?shù)單位與整數(shù)計數(shù)單位在學(xué)生的認(rèn)識過程中似 乎不同，學(xué)生認(rèn)為整

12、數(shù)是數(shù)出來的，因此整數(shù)計數(shù)單位的重要性不言而喻，而分 數(shù)是分出來的，似乎無法建立分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)單位的聯(lián)系。因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生I 2 I把1個圓作為單位“1 ,（I ）4個尋是幾分之幾？在右圖中涂色表示。（2）分別涂色表示下面各分?jǐn)?shù).并比較每個分 數(shù)中分子和分母的大小。3711345（這些分?jǐn)?shù)比1大還，比1 有、a.數(shù)分?jǐn)?shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步從分?jǐn)?shù)單 位累加的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，同時活動 中促進(jìn)學(xué)生對于分率的理解應(yīng)該 是這節(jié)課的教學(xué)重點。新版教材與舊教材不同的是，提示 學(xué)生“把1個圓作為單位“1”，4個1是幾分之幾，在右圖中涂色表示，借助圖形的直觀幫助學(xué)生表示假分?jǐn)?shù)，學(xué) 4生要想正確的表示出3，必須以分?jǐn)?shù)

13、的意義和分?jǐn)?shù)單位的累加作為基礎(chǔ)。通過分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的累加可以得到任何分?jǐn)?shù)，包括分子比分母大的假分?jǐn)?shù)， 這在邏輯上是沒有問題的，但如果聯(lián)系分?jǐn)?shù)的具體含義，學(xué)生會產(chǎn)生理解上的困 難。在這部分教學(xué)時，以分?jǐn)?shù)單位累加得到新分?jǐn)?shù)作為邏輯基礎(chǔ)，結(jié)合圖示直觀， 并回答具體至關(guān)重要解釋假分?jǐn)?shù)的意義表示，突破學(xué)生理解的困難與障礙，并為 學(xué)生正確理解分?jǐn)?shù)意義打下基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是描述在分?jǐn)?shù)的大小不變的情況下，分子分母的變化規(guī)律。學(xué)習(xí)分 數(shù)的基本性質(zhì)的價值是什么？核心就是找到相等的分?jǐn)?shù)，構(gòu)建分?jǐn)?shù)的等價類。分 數(shù)基本性質(zhì)是對分?jǐn)?shù)意義的支撐。姚健老師和薛克君老師從發(fā)現(xiàn)路線和猜測路線 都曾經(jīng)執(zhí)教過此課，老師們可以在研修網(wǎng)

14、上下載課例進(jìn)行學(xué)習(xí)。四、加強(qiáng)直觀操作教學(xué)，在體驗中建立數(shù)學(xué)概念。1、以直觀操作作為對分?jǐn)?shù)意義理解的主要學(xué)習(xí)方法。在小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)“行為的分?jǐn)?shù)”，往往以學(xué)生熟悉的事物與操作活動為 模型建立分?jǐn)?shù)的概念。學(xué)生在認(rèn)識、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時，常常以分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生入手，既從 “行為”（平均分物體）入手，在平均分物體時得不到整數(shù)，就用新的數(shù)一一分?jǐn)?shù) 表示。從行為的角度看，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、變化是以動態(tài)、活動的方式出現(xiàn)的，借助 大量的操作活動，通過把一個物體、一些物體、一個計量單位、一條線段、一個 面積模型等分一分、畫一畫、涂一涂、折一折，從而認(rèn)識分?jǐn)?shù)。這樣的學(xué)習(xí)方式 符合小學(xué)生的思維規(guī)律與認(rèn)知特點，通過動手操作、具體形象來學(xué)

15、習(xí)抽象的數(shù)學(xué) 概念，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，豐富了學(xué)生認(rèn)知活動體驗，借助生動形象 的物體或圖形表象來認(rèn)識理解抽象的數(shù)學(xué)概念。學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種 “模型”。不僅是分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，本單元其他知識的學(xué)習(xí)都離不開直觀操作，（像分 數(shù)與除法的分餅活動）說明直觀操作是本單元非常重要的一種認(rèn)知方式，教師要 重視通過直觀操作理解概念的活動設(shè)計。2、選擇有針對性的操作材料，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。直觀操作離不開操作的學(xué)具，什么樣的學(xué)具有利于學(xué)生的操作和概念的學(xué)習(xí) 呢。從教材的編排看主要的模型有面積模型、集合模型、數(shù)線模型。每個模型都有各自特點，我們一起來看一下：（1）分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分一

16、整體”（部分和整體的關(guān)系）表示 分?jǐn)?shù)。教材常用的圓形、正方形、長方形、三角形等，這些我們把它們統(tǒng)稱為“面 積模型”，其特點是，用面積的“部分整體表示分?jǐn)?shù)。這是因為兒童最早 接觸分?jǐn)?shù)概念及其術(shù)語可能與“空間”有關(guān)，而且更多的是3維的，如一杯牛奶， 一個蘋果等，而不是二維的。兒童的這些豐富的經(jīng)驗為他們從部分整體的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)打下堅實的 基礎(chǔ)。因此也可以看出我們在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義時，面積模型是操作模型的重要種 類之一。（2）分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集一全集”（子集和全集的關(guān)系）來表 示分?jǐn)?shù)。表示部分整體的另一種形式，就是分?jǐn)?shù)的集合模型，換句話說就是我 們所說的單位“1”不再一個物體，而是把幾個物體

17、看作的一個整體，作為一個 “單位”，所取的“一份”也不是一個，可能是“幾個”作為“一份”學(xué)生理解 上難度更大，需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看做“整體 1”。這一模型的優(yōu)點是有利于用比較抽象的數(shù)值形式表示“比”與“百分比“。（3）分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點表示分?jǐn)?shù)。對這個模型的理解需要學(xué)生更高水平的抽象能力。它脫離開具體的事物，把 分?jǐn)?shù)化歸為抽象的數(shù)，用數(shù)線上的點表示分?jǐn)?shù)。這個模型與前面介紹的面積模型 有著密切的聯(lián)系。一個分?jǐn)?shù)可以表示“單位面積”的一部分（二維），也可以表 示“單位長度”的一部分（線性的，1維）。通過操作可以看到分?jǐn)?shù)是填在自然 數(shù)之間的“新”數(shù)，位置在兩個

18、相鄰自然數(shù)之間，并和分?jǐn)?shù)大小比較、通分、約 分以及運算相呼應(yīng)。應(yīng)該讓學(xué)生知道，真分?jǐn)?shù)是密密麻麻地分布在【0,1】區(qū)間 上的。通過對以上幾種模型的分析后，既可以為我們設(shè)計理解分?jǐn)?shù)意義的操作活動 中選擇什么材料提供理論依據(jù)，也使我們明白學(xué)生使用每種模型的重點和難點在 什么地方，在指導(dǎo)學(xué)生操作中可以做到有的放矢。分?jǐn)?shù)的意義一一面積模型和集合模型真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)一一面積模型和數(shù)線模型 分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系一一面積模型和集合模型 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)一一面積模型或者集合模型 分?jǐn)?shù)比大小一一面積模型和數(shù)線模型（4）巧妙借助“分?jǐn)?shù)墻”，突出變化的本質(zhì)，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。分?jǐn)?shù)墻是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識的好幫手，在很多

19、地方都能發(fā)揮它的神奇作用。如利用分?jǐn)?shù)墻可以直觀比較兩個分?jǐn)?shù)的大小，可以直觀理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可 以學(xué)習(xí)同分母和異分母分?jǐn)?shù)加減法。如在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)一課結(jié)合分?jǐn)?shù)墻，引導(dǎo)學(xué)生觀察出相等的分?jǐn)?shù)并嘗試進(jìn)行 證明。還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察分?jǐn)?shù)單位及分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)分別是怎樣變化的，使學(xué) 生直觀感受，分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化，實際上就是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的個 數(shù)發(fā)生了變化。3、課例介紹。真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)一面積模型和數(shù)線模型介紹真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)課例：教師首先呈現(xiàn)一張長方形小紙條，用1表示，在此基礎(chǔ)上表示2、3，體會 2是2個1,3是3個1。這時教師再出示一個更長的紙條問學(xué)生這是幾，引導(dǎo)學(xué) 生體會用1去計量可以確定它的大小

20、。引導(dǎo)學(xué)生思考，除了整數(shù)以外，還有哪些數(shù)可以這樣表示？在學(xué)生思考的 基礎(chǔ)上，教師呈現(xiàn)更小的紙條（3），問這是幾，學(xué)生通過與“1”比較，認(rèn)識這 2 345. . 、 是四分之一，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識3 , 3，3，3， （可以表示無數(shù)個三分之幾） 體驗這些分?jǐn)?shù)都是通過3來進(jìn)行度量。這一活動幫助學(xué)生感受到了分?jǐn)?shù)單位的作 用，幫助學(xué)生感受分?jǐn)?shù)與整數(shù)相同，可以通過分?jǐn)?shù)單位的累積得到。在認(rèn)識3的 基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識四分之幾、六分之幾。并將表示分?jǐn)?shù)的點標(biāo)到數(shù)軸中，可以 通過數(shù)軸模型看出數(shù)的等價性，從數(shù)軸模型的稠密性（無數(shù)個點的集合）體會數(shù) 的無窮多等。學(xué)生通過活動直觀形象地感受到單位是可以累加的，不同的自然數(shù)是由不同 個“ 1”組成的，分?jǐn)?shù)單位的累加得到一個新的分?jǐn)?shù)，體會單位在數(shù)的建立過程 中所起的重要作用。真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)的教學(xué)就是是幫助學(xué)生從單位的角度認(rèn)識分 數(shù)，把分?jǐn)?shù)看成是單位的累積得到的。五、增加學(xué)生兩個意識和兩個能力。1、養(yǎng)成用分?jǐn)?shù)表示商的意識。用分?jǐn)?shù)表示商歷來是學(xué)生的難點，障礙在于學(xué)生認(rèn)為得到分?jǐn)?shù)“還沒有計算 完”，一直要得到小數(shù)為止。因此在分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系建立后，要通過用分?jǐn)?shù)表 示商和用小數(shù)表示商的比較，一是使學(xué)生認(rèn)可兩種表示商的方法都可以，二是感 受到用分?jǐn)?shù)表示上的便捷性，可以直接寫出商，而不需要再算了。2、訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成