2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題三-第2講-數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第2講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012大綱全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,anan1)的前100項(xiàng)和為A.eq f(100,101) B.eq f(99,101) C.eq f(99,100) D.eq f(101,100)解析利用裂項(xiàng)相消法求和設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，S515，eq blcrc (avs4alco1(a14d5，,5a1f(55

2、1,2)d15，)，eq blcrc (avs4alco1(a11,d1，)ana1(n1)dn.eq f(1,anan1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，數(shù)列eq f(1,anan1)的前100項(xiàng)和為1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,100)eq f(1,101)1eq f(1,101)eq f(100,101).答案A2(2012浙江)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n2n，nN，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)由Sn2n2n，得當(dāng)n1時(shí)，a1S

3、13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n1.所以an4n1，nN.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN.考題分析數(shù)列的求和是高考的必考內(nèi)容，可單獨(dú)命題，也可與函數(shù)、不等式等綜合命題，求解的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，解答此類題目需重點(diǎn)掌握幾類重要的求和方法，并加以靈活應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】(2012門頭溝一模)數(shù)

4、列an的前n項(xiàng)和Snn21.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bneq f(1,anan1)(nN)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)運(yùn)用公式aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，)求an，注意n1時(shí)通項(xiàng)公式an；(2)裂項(xiàng)法求和規(guī)范解答(1)由已知，當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,2n1， n2.)(2)由(1)知，bneq blcrc (avs4alco1(f(1,6)，n1，,f(1,2n12n1)f(1,2)blc(rc)(avs4alco1

5、(f(1,2n1)f(1,2n1)， n2，)當(dāng)n1時(shí)，T1b1eq f(1,6)，當(dāng)n2時(shí)，Tnb1b2bneq f(1,6)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)f(1,5)f(1,7)f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,3)eq f(1,4n2)，bn的前n項(xiàng)和Tneq f(1,3)eq f(1,4n2).【規(guī)律總結(jié)】常用的裂項(xiàng)技巧和方法用裂項(xiàng)相消法求和是最難把握的求和問題之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧，如：(1)eq f(1,nnk)eq f(1,k)eq blc

6、(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,nk)；(2)eq f(1,r(nk)r(n)eq f(1,k)(eq r(nk)eq r(n)；(3)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)；(4)nn！(n1)！n！等易錯(cuò)提示利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過程中易忽視常數(shù)，如eq f(1,nn2)容易誤裂為eq f(1,n)eq f(1,n2)，漏掉前面的系數(shù)eq f(1,2)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤【變式訓(xùn)練】1(2012大連模擬)已知函數(shù)f(x)eq f(x,x3)

7、，數(shù)列an滿足a11，an1f(an)(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若數(shù)列bn滿足bneq f(1,2)anan13n，Snb1b2bn，求Sn.解析(1)由已知，an1eq f(an,an3)，eq f(1,an1)eq f(3,an)1.eq f(1,an1)eq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,2)，并且eq f(1,a1)eq f(1,2)eq f(3,2)，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)f(1,2)為以eq f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，eq f(1,an)eq f(1,2)eq f(3

8、,2)3n1，aneq f(2,3n1).(2)bneq f(23n,3n13n11)eq f(1,3n1)eq f(1,3n11)，Snb1b2bneq f(1,31)eq f(1,321)eq f(1,3n1)eq f(1,3n11)eq f(1,2)eq f(1,3n11).考點(diǎn)二：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例2】(2012濱州模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知an12Sn2(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)在an與an1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,dn)的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)利用遞推

9、式消去Sn可求an；(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,dn)的前n項(xiàng)和規(guī)范解答(1)由an12Sn2(nN)，得an2Sn12(nN，n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(nN，n2)，又a22a12，an是等比數(shù)列，所以a23a1，則2a123a1，a12，an23n1.(2)由(1)知an123n，an23n1.an1an(n1)dn，dneq f(43n1,n1)，令Tneq f(1,d1)eq f(1,d2)eq f(1,d3)eq f(1,dn)，則Tneq f(2,430)eq f(3,431)eq f(4,432)eq f(n1

10、,43n1)eq f(1,3)Tneq f(2,431)eq f(3,432)eq f(n,43n1)eq f(n1,43n)得eq f(2,3)Tneq f(2,430)eq f(1,431)eq f(1,432)eq f(1,43n1)eq f(n1,43n)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3n1),1f(1,3)eq f(n1,43n)eq f(5,8)eq f(2n5,83n).【規(guī)律總結(jié)】錯(cuò)位相減法的應(yīng)用技巧(1)設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)

11、需注意：(2)給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不一定為n.【變式訓(xùn)練】2已知等差數(shù)列an滿足：an1an(nN)，a11，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1、1、3后順次成為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tneq f(a1,b1)eq f(a2,b2)eq f(an,bn)(nN)，若Tneq f(2n3,2n)eq f(1,n)c(cZ)恒成立，求c的最小值解析(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列an的公差、數(shù)列bn的公比由題意知，a11，a21d，a312d，分別加上1、1、3得2、2d、42d，(2d)22(42

12、d)，d2.an1an，d0，d2，an2n1(nN)，由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN)(2)Tneq f(a1,b1)eq f(a2,b2)eq f(an,bn)eq f(1,2)eq f(3,22)eq f(5,23)eq f(2n1,2n)，eq f(1,2)Tneq f(1,22)eq f(3,23)eq f(5,24)eq f(2n1,2n1).由得eq f(1,2)Tneq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,23)eq f(1,2n1)eq f(2n1,2n1).Tn1eq f(1f(1,2n1),1f(1,2)eq f(2n1,2n)3

13、eq f(1,2n2)eq f(2n1,2n)3eq f(2n3,2n)，Tneq f(2n3,2n)eq f(1,n)3eq f(1,n)3.使Tneq f(2n3,2n)eq f(1,n)c(cZ)恒成立的c的最小值為3.考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的綜合問題【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sna(Snan1)(a為常數(shù)，且a0，a1)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnaeq oal(2,n)Snan，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值；(3)在滿足條件(2)的情形下，設(shè)cneq f(1,an1)eq f(1,an11)，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn2neq f(1,2).審題導(dǎo)引第

14、(1)問先利用anSnSn1(n2)把Sn與an的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an與an1之間的關(guān)系，判斷數(shù)列的性質(zhì)，求其通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)第(1)問，求出數(shù)列bn的前三項(xiàng)，利用bb1b3列出方程即可求得a的值；(3)先求出數(shù)列cn的通項(xiàng)公式，根據(jù)所求證問題將其放縮，然后利用數(shù)列求和公式證明規(guī)范解答(1)當(dāng)n1時(shí)，S1a(S1a11)，得a1a.當(dāng)n2時(shí)，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，兩式相減得anaan1，得eq f(an,an1)a.即an是等比數(shù)列所以anaan1an.(2)由(1)知bn(an)2eq f(aan1,a1)an，bneq f(2a1a2naan,a1)，若bn為等

15、比數(shù)列，則有beq oal(2,2)b1b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2a4(2a2a1)，解得aeq f(1,2)，再將aeq f(1,2)代入bn，得bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，結(jié)論成立，所以aeq f(1,2).(3)證明由(2)，知aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，所以cneq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n11)eq f(2n,2n1)eq f(2n1,2n11)2eq f

16、(1,2n1)eq f(1,2n11).所以cn2eq f(1,2n)eq f(1,2n1).Tnc1c2cneq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)f(1,22)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,22)f(1,23)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2n)f(1,2n1)2neq f(1,2)eq f(1,2n1)2neq f(1,2).結(jié)論成立【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列與不等式綜合問題的解題方法(1)在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時(shí)，需注意應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等(2)在數(shù)列的恒成立問題中，有時(shí)需先求和，為了證明的需要，需合理

17、變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：eq f(1,k2)eq f(1,k21)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k1)f(1,k1)；eq f(1,k)eq f(1,k1)eq f(1,k2)eq f(1,k1)eq f(1,k1)；2(eq r(n1)eq r(n)eq f(1,r(n)2(eq r(n)eq r(n1)；利用(1x)n的展開式進(jìn)行放縮【變式訓(xùn)練】3已知數(shù)列bn滿足：bn1eq f(1,2)bneq f(1,4)，且b1eq f(7,2)，Tn為bn的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(bnf(1,2)是等比數(shù)列，

18、并求bn的通項(xiàng)公式；(2)如果對(duì)任意nN，不等式eq f(12k,12n2Tn)2n7恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析(1)證明對(duì)任意nN，都有bn1eq f(1,2)bneq f(1,4)，所以bn1eq f(1,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(bnf(1,2)，則eq blcrc(avs4alco1(bnf(1,2)是等比數(shù)列，首項(xiàng)為b1eq f(1,2)3，公比為eq f(1,2)，所以bneq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1，即bn3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq f(1,2).(2

19、)因?yàn)閎n3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq f(1,2)，所以Tn3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,22)f(1,2n1)eq f(n,2)eq f(3blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(n,2)6eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)eq f(n,2).因?yàn)椴坏仁絜q f(12k,12n2Tn)2n7，化簡(jiǎn)，得keq f(2n7,2n)，對(duì)任意nN恒成立，設(shè)cneq f(2n7,2n)，則cn1cneq f(2n17,2n1)eq f(2n7,2n)eq f(92n,

20、2n1)，當(dāng)n5時(shí)，cn1cn，數(shù)列cn為單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)1n5時(shí)，cn1cn，數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列而eq f(1,16)c4c5eq f(3,32)，所以n5時(shí)，cn取得最大值eq f(3,32).所以要使keq f(2n7,2n)對(duì)任意nN恒成立，keq f(3,32).名師押題高考【押題1】在數(shù)列an中，aneq f(1,n1)eq f(2,n1)eq f(n,n1)，又bneq f(2,anan1)，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn_.解析aneq f(1,n1)(123n)eq f(n,2)，bneq f(2,f(n,2)f(n1,2)8eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n

21、)f(1,n1)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn8eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)8eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(8n,n1).答案eq f(8n,n1)押題依據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和都是高考的熱點(diǎn)本題綜合考查了以上兩點(diǎn)及等差數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列知識(shí)全面，綜合性較強(qiáng)，故押此題【押題2】已知數(shù)列an是首項(xiàng)a11的等比數(shù)列，且an0，bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，又a5b321，a3b513.(1)求