金融工程學(xué)（第三版）第10章互換定價

1、第10章 互換定價10.1利率期限結(jié)構(gòu) 10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率 10.3互換定價10.1利率期限結(jié)構(gòu)10.1.1概述利率期限結(jié)構(gòu)（term structure of interest rates）是指在某一時點上不同期限資金的收益率（yield）與到期期限（maturity）之間的關(guān)系。利率的期限結(jié)構(gòu)反映了不同期限的資金的供求關(guān)系，揭示了市場利率的總體水平和變化方向。10.1利率期限結(jié)構(gòu)10.1.2利率期限結(jié)構(gòu)理論1）預(yù)期理論長期債券的現(xiàn)期利率是短期債券預(yù)期利率的函數(shù)，長期利率與短期利率之間的關(guān)系取決于現(xiàn)期短期利率與未來預(yù)期短期利率之間的關(guān)系。預(yù)期理論的基本觀點如下：（1）期限

2、結(jié)構(gòu)中隱含的遠(yuǎn)期利率是對未來即期利率的無偏差的估計。（2）在特定的期限內(nèi)，不同期限策略產(chǎn)生的預(yù)期收益率相同。10.1利率期限結(jié)構(gòu)2）市場分割理論貸款者和借款者分割的市場行為基本上決定了收益率曲線的形態(tài)。與市場分割理論較為相近的一種變相提法是Franco Modigliani和Richard Sutch（1966年）的優(yōu)先置產(chǎn)理論。10.1利率期限結(jié)構(gòu)圖10-1市場分割理論收益率與到期期限圖10.1利率期限結(jié)構(gòu)3）流動性偏好理論投資者在投資決策時都偏好于流動性比較強的證券，所以長期利率必須含有流動性補償，從而高于短期利率。假設(shè)市場參與者預(yù)期未來短期利率與當(dāng)前利率相同，由于遠(yuǎn)期利率中包含期限溢價，

3、收益曲線就會向上傾斜。根據(jù)流動性偏好理論，與投資于短期債券并在每個到期日重新進(jìn)行短期投資相比，長期債券投資會產(chǎn)生更高的預(yù)期收益。圖10-2為流動性偏好理論收益率與到期期限圖。10.1利率期限結(jié)構(gòu)圖10-2流動性偏好理論收益率與到期期限圖10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率10.2.1零息票利率1）零息票利率與折現(xiàn)因子的關(guān)系VK= （1年以內(nèi)）（10-1）VK= （1年以上期限）（10-2）其中，K為起息日至參考日的時間；VK為發(fā)生于時間K時的折現(xiàn)因子；rK為時間K時的零息票利率。10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率10.2.2遠(yuǎn)期利率1）遠(yuǎn)期利率和零息票利率的關(guān)系V1= （10-4）V2=

4、 （10-5）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率VK+1= （10-6）1+= （10-7） = -1 （10-8）fK= （ -1）m（10-9）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率2）系列遠(yuǎn)期利率與折現(xiàn)因子的關(guān)系VK+1= （10-10）VK=VK+1（1+ ）（10-11）VK= （1+ ）（10-12）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率由VK+1= ，得到VK= ，VK-1= （10-13）所以有VK= = （10-14）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率10.2.3互換利率令iK為互換利率，m為每年付息次數(shù)。iK= （10-15）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率1

5、）原理（1）固定利率債券=附息票債券=面額債券（面額債券的到期收益率等于票面利率）。（2）假設(shè)買入5年期面額債券的現(xiàn)金流如下：10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率（3）以LIBOR借款為購買面額債券融資的現(xiàn)金流如下：（4）結(jié)論：普通的固定利率與浮動利率互換價格即固定利率與面額債券的收益率或息票利率一致。10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率（5）理論上的互換定價等于找到一個恰當(dāng)?shù)墓潭ɡ驶蛳⑵崩适顾鞋F(xiàn)金流現(xiàn)值抵銷為零。（6）P= V1+ V2+ VK+100VK。V1，V2，VK為每次付息日的貼現(xiàn)率；m為每年付息次數(shù)；iK為息票利率。10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率（7）平價債券發(fā)

6、行之初現(xiàn)值等于面值100，P= ，P為利率期限的現(xiàn)值。將P=100代入上式，等式兩邊同除以100，有如下結(jié)論：iK= （10-16）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率2）舉例已知3年期零息票利率10.5%，求理論上的3年期互換利率。解：V3年= =0.7412V2年= = =0.8190V1年= = =0.9090ik3年= 10.48%10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率3）互換利率擴(kuò)展將互換利率公式進(jìn)行變形，可得iK= （10-17） （10-18） （10-19）10.2零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率 （10-20） （10-21） （10-22） （10-23）10.2零息票利率

7、、遠(yuǎn)期利率與互換利率10.2.4零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率的關(guān)系圖10-3零息票利率、遠(yuǎn)期利率與互換利率的關(guān)系圖10.3互換定價10.3.1對互換定價的理解1）從債券交易的角度理解互換2）從一系列遠(yuǎn)期合約的角度理解互換3）從一對期權(quán)合約角度理解互換10.3互換定價10.3.2互換定價概述互換價格并不是由交易人員隨意確定的，而是在所有的互換交易商最終對互換利率的走勢達(dá)成一致意見的基礎(chǔ)上根據(jù)基本的套利理論形成的。10.3互換定價1）LIBOR的遠(yuǎn)期利率曲線如前所述，利率存在著期限結(jié)構(gòu)。借款利率隨著借款期限的不同而不同。對LIBOR來說，同樣存在著利率期限結(jié)構(gòu)，借款利率將視借款者何時借款和借款期

8、限而定。2）初始條件定價在互換初始時，固定利率的利息支付是明確可知的，但無法確定未來支付的浮動利率。最初的利率互換定價來自于市場定價?；Q市場定價即互換價格是根據(jù)浮動利率方現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于固定利率方現(xiàn)金流的現(xiàn)值來確定的。10.3互換定價3）互換報價在每一給定時刻，對互換價格來說都會存在買價和賣價，交易商將互換差價加到相應(yīng)的國庫券收益率上。此增加額對交易商提供互換服務(wù)并承擔(dān)潛在違約風(fēng)險提供了補償。10.3互換定價10.3.3利率互換定價一般而言，K期互換浮動利率一方的支付額現(xiàn)值可用下式計算：PV浮動= （10-24）其中，PV浮動為浮動利率一方的支付額現(xiàn)值；fi-1為從時點i-1至?xí)r點i時的浮動

9、利率；Pi為從時點i-1至?xí)r點i的名義本金；di為從時點i-1至?xí)r點i的天數(shù)；Vi為時點i的貼現(xiàn)因子；B為一年的天數(shù)。10.3互換定價固定利率的支付額現(xiàn)值也可按同樣的方法進(jìn)行計算： （10-25）其中，PV固定為固定利率一方支付額現(xiàn)值；rK為整個互換期的固定利率。10.3互換定價令固定利率一方支付額現(xiàn)值等于浮動利率一方支付額現(xiàn)值，就可求出固定利率。即：rK= （10-26）其中，PV既是浮動利率一方的支付額現(xiàn)值，也可以是固定利率一方支付額現(xiàn)值。在計算PV時，遠(yuǎn)期利率可以通過國庫券收益率曲線并利用零息票利率與預(yù)期利率的關(guān)系得到。10.3互換定價10.3.4貨幣互換定價利率互換定價原理可以擴(kuò)大到貨

10、幣互換定價上。首先考慮同一貨幣的普通互換，互換利率的水平應(yīng)該使互換的定價公平、合理，即凈現(xiàn)值為0。然后用本金的實際交換來取代浮動利息支付流量。這種結(jié)構(gòu)與第二種貨幣的反向利率互換結(jié)構(gòu)結(jié)合起來，形成新的現(xiàn)金流量圖。如果本金的兌換是以市場即期匯率為標(biāo)準(zhǔn)，那么兩次兌換的本金等值。實際上相當(dāng)于一個固定利率對固定利率的交叉貨幣互換。這樣就求出了定價合理、可以以兩種貨幣中任何一種來表示的凈現(xiàn)值為0的普通貨幣互換的定價。因此，在固定利率對固定利率的交叉貨幣互換條件下，以各自貨幣表示的兩種互換利率應(yīng)該與利率互換條件下的利率相同。10.3互換定價10.3.5商品互換的定價原理在商品互換中，A方同意在時間t1，t2

11、，tn為某商品支付X美元，名義本金為NP單位的這種商品；B方同意在時間t1，t2，tn支付給A方商品的即期市場價格。那么A方在時間t1所得的凈收益為：V（t1，t1）=S（t1）-XNP（10-27）10.3互換定價其中，S（t1）是該商品在時間t1的即期價格。將上述凈收益V（t1，t1）貼現(xiàn)到時間0，則有： V（t0，t1）=PV0S（t1）-XB（0，t1）NP（10-28）其中，B（0，t1）表示在時間t1的1美元在時間0的價值。在不考慮持有成本和便利收益的情況下，S（t1）的現(xiàn)值就應(yīng)等于商品在時間0的現(xiàn)價。10.3互換定價考慮一商品的遠(yuǎn)期合約，其到期日為t1，當(dāng)合約到期時，遠(yuǎn)期合約所帶

12、來的現(xiàn)金流為：S（t1）-f（0，t1）其中，f（0，t1）為遠(yuǎn)期價格。那么，該遠(yuǎn)期合約在時間0的價值為：PV0S（t1）-f（0，t1）B（0，t1）由于遠(yuǎn)期合約在時間0的價值為0，因此PV0S（t1）=f（0，t1）B（0，t1）。所以有：V（0，t1）=f（0，t1）-XB（0，t1）NP（10-29）10.3互換定價以此類推，可以分別計算出該商品互換在t1，t2，tn發(fā)生的凈現(xiàn)金流的現(xiàn)值，加總求和后得： （10-30）這個表達(dá)式就是該商品互換在時間0的現(xiàn)值，它是由基礎(chǔ)商品資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約和零息債券的價格所決定的。而上述變量在時間0時都是已知的，因此商品互換的價值可以確定。10.3互換定價

13、10.3.6股權(quán)互換的定價原理在股權(quán)互換中，A方在時間t1，t2，tn支付給B方股票指數(shù)的收益，這種收益在時間t1可表示為：R（t1）= -1（10-31）其中，In（t）為股指在時間t的價值；dn（t1）為股票在t0到t1時段所支付的股票紅利。10.3互換定價相同的定義適用于t2，t3，tn支付給A方的固定利息R。那么，A方在時間tn的凈現(xiàn)金流為： （10-32）此處NP表示名義本金，V（tn，tn）在時間tn-1的現(xiàn)值為： （10-33）其中，B（tn-1，tn）表示時間tn的1美元在時間tn-1的價值。10.3互換定價我們知道，PVtn-1In（tn）+dn（tn）=In（tn-1），即股指及其所支付的股利的現(xiàn)值等于現(xiàn)在的股指價值，因此： PVtn-1R（tn）=PVtn-1-PV=1-