同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章重積分

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝第九章重積分教學(xué)目的：1. 懂得二重積分、 三重積分的概念, 明白重積分的性質(zhì),知道二重積分的中值定理；2. 把握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）運(yùn)算方法；3. 把握運(yùn)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）運(yùn)算方法；8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）；教學(xué)重點(diǎn)：1、 二重積分的運(yùn)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；2、 三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）運(yùn)算；3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：1、利用極坐標(biāo)運(yùn)算二重積分；二重積分的概念與性質(zhì)2、利用球坐標(biāo)運(yùn)算三重積分；3、物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題；

2、9 1 一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積設(shè)有一立體 它的底是 xOy 面上的閉區(qū)域 D 它的側(cè)面是以 D 的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于 z 軸的柱面 它的頂是曲面 z fx y 這里 fx y 0 且在 D 上連續(xù) 這種立體叫做曲頂柱體 現(xiàn)在我們來(lái)爭(zhēng)論如何運(yùn)算曲頂柱體的體積第一 用一組曲線網(wǎng)把 D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 1 2 n分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線 作母線平行于 z 軸的柱面 這些柱面把原先的曲頂柱體分為 n 個(gè)細(xì)曲頂柱體 在每個(gè) i中任取一點(diǎn) i i 以 f i i為高而底為 i的平頂柱體的體積為f i i i i 1 2 n 這個(gè)平頂柱體體積之和Vinfi,ii1精品文檔

3、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝將分割加密只可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值為求得曲頂柱體體積的精確值需取極限即x y這里xVlim 0infi,ii1其中是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值2平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有xOy 面上的閉區(qū)域D它在點(diǎn) x y處的面密度為y 0 且在 D 上連續(xù)現(xiàn)在要運(yùn)算該薄片的質(zhì)量M用一組曲線網(wǎng)把D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 1 2n把各小塊的質(zhì)量近似地看作勻稱薄片的質(zhì)量iii各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值nM i , i ii 1將分割加細(xì) 取極限 得到平面薄片的質(zhì)量nM lim0 i 1 i , i i其中 是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值定義 設(shè) fx

4、 y是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù) 將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 1 2 n其中 i表示第 i 個(gè)小區(qū)域 也表示它的面積 在每個(gè) i上任取一點(diǎn) i i 作和nf i , i ii 1假如當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時(shí) 這和的極限總存在 就稱此極限為函數(shù)fx y在閉區(qū)域 D 上的二重積分 記作 f x , y d 即D精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝x y 積分變量D 積分區(qū)域積分和fx ,y dlim 0infi,ii1Dfx y被積函數(shù)fx yd 被積表達(dá)式d 面積元素直角坐標(biāo)系中的面積元素假如在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分 D 那么除了包含邊界

5、點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域 設(shè)矩形閉區(qū)域 i的邊長(zhǎng)為 xi 和 yi 就i xi yi 因此在直角坐標(biāo)系中 有時(shí)也把面積元素 d 記作 dxdy 而把二重積分記作f x , y dxdyD其中 dxdy 叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素二重積分的存在性 當(dāng) fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù)時(shí) 積分和的極限是存在的 也就是說(shuō)函數(shù) fx y在 D 上的二重積分必定存在 我們總假定函數(shù) fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù) 所以fx y在 D 上的二重積分都是存在的二重積分的幾何意義 假如 fx y 0 被積函數(shù) fx y可說(shuō)明為曲頂柱體的在點(diǎn) x y處的豎坐標(biāo) 所以二重積分的幾何意義就是柱體的

6、體積 假如 fx y是負(fù)的 柱體就在 xOy面的下方 二重積分的肯定值仍等于柱體的體積 但二重積分的值是負(fù)的二 二重積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) c1、c2為常數(shù) 就 c 1 f x , y c 2 g x , y d c 1 f x , y d c 2 g x , y dD D D性質(zhì) 2 假如閉區(qū)域 D 被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域 就在 D 上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和 例如 D 分為兩個(gè)閉區(qū)域 D1 與 D2 就f x , y d f x , y d f x , y dD D 1 D 2性質(zhì) 3 1 d d 為 D 的面積 D D性質(zhì) 4 假如在 D 上 fx y gx

7、 y 就有不等式f x , y d g x , y dD D特別地有精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝為 D 的面積就有|fx ,y d|fx ,y | dDD性質(zhì) 5 設(shè) M、m 分別是 fx y在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值mfx ,y dMD性質(zhì) 6二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù) fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù)為 D 的面積就在 D上至少存在一點(diǎn)使得fx,ydf,D9 2 二重積分的運(yùn)算法一、利用直角坐標(biāo)運(yùn)算二重積分X型區(qū)域1x y2x a x bDY型區(qū)域1x y2x c y dD混合型區(qū)域設(shè) fx y 0D x y| 1x y2x a x bz fxy為頂以區(qū)域 D 為底的

8、曲頂此時(shí)二重積分fx ,y d在幾何上表示以曲面D 柱體的體積對(duì)于x0ab曲頂柱體在x x0的截面面積為以區(qū)間1x02x0為底、以曲線z fx0 y為曲邊的曲邊梯形所以這截面的面積為A x 02x0fx 0,y dyx 01依據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法得曲頂柱體體積為VbA x dxb a 2 xfx ,y dy dxax1即VDfx ,y db a 2x fx ,y dy dx1 x可記為精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝Dfx,y dbdx2x fx,y dya1 x類似地假如區(qū)域 D 為 Y型區(qū)域D1x y2x c y d就有例 1fx,ydddy2yfx ,y

9、dxc1y D運(yùn)算xy d其中 D 是由直線 y 1、x 2 及 y x 所圍成的閉區(qū)域D注解畫(huà)出區(qū)域 D型區(qū)域 1 x 2 1 y x于是方法一可把 D 看成是 XDxy d2 1 xxydy dx2 1 xy2x 1dx12x3x dx1x4x 2 1 2912212428積分仍可以寫(xiě)成Dxy d2dxxxydy2xdxxydy1111解法 2 也可把 D 看成是 Y型區(qū)域 1 y 2 y x 2 于是Dxy d2 21 yxydx dy2yx22 ydy22yy3dyy2y42 19121288例 2運(yùn)算y1x2y2d其中 D 是由直線 y 1、x1 及 y x 所圍成的閉區(qū)域DDy解畫(huà)

10、出區(qū)域 D可把 D 看成是 X2型區(qū)域1 x 1 x y 1于是11|x| 31 dx1x2y2d1 1 dx1y1x2ydy1 31 1 1x 2y231 xdx2x31也可 D 看成是 Y型區(qū)域：21 x31 dx1 2于是301 y 11 xy精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)yD例 3 運(yùn)算如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝1x 2y2d1ydyy1x 2y2dx11xy d其中 D 是由直線 y x 2 及拋物線 y 2 x 所圍成的閉區(qū)域D解 積分區(qū)域可以表示為D D 1+D2y1x于是2y 5 dy其中D 1:0 x,1xyxD2:1x,42Dxy d1 0 dxxxydy4dxxxxydyx122

11、 1 y y2 積分區(qū)域也可以表示為D1 y 2 y 2 x y 2 于是Dxy d2dyy2xydx2 1 x 2y y22dy1y2y221y44y32y2y62 15524368爭(zhēng)論積分次序的挑選例 4求兩個(gè)底圓半徑都等于的直交圓柱面所圍成的立體的體積V1然后再乘以8 就解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為x 2 y2 2 及 x 2 z 2 2利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性只要算出它在第一卦限部分的體積行了第一卦限部分是以Dx y| 0 yR2x2, 0 x 為底以zR 2x2頂?shù)那斨w于是V 8 R 2 x 2 d 8 0 Rdx 0 R 2 x 2R 2 x 2 dy 8 0 R R 2

12、x 2 y 0 R 2 x 2dxD8 0 R R 2 x 2 dx 163 R 3二 利用極坐標(biāo)運(yùn)算二重積分有些二重積分 積分區(qū)域 D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較便利 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量、表達(dá)比較簡(jiǎn)潔 這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算二重積分精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝fx,y dD按二重積分的定義Dfx ,y dlim 0infi,ii1下面我們來(lái)爭(zhēng)論這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式以從極點(diǎn)O 動(dòng)身的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D 分為 n個(gè)小閉區(qū)域小閉區(qū)域的面積為i1ii 2i12 ii1 2iiii222iiiiiiii2其中i表示相鄰

13、兩圓弧的半徑的平均值在i內(nèi)取點(diǎn)i,i設(shè)其直角坐標(biāo)為ii就有iicosiiisininn于是lim 0i1fi,iilim 0i1ficosi,isiniiii即fx,y dfc o s,s i nddDD如積分區(qū)域 D 可表示為 1 2 sinddd2fcos,sind就fcos,1 D爭(zhēng)論 如何確定積分限. d0fcos,sindfcos,sinddDfcos,sindd2d0fcos,sind0D例 5運(yùn)算ex 2y2dxdy其中 D 是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)D精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝域于是解在極坐標(biāo)系中閉區(qū)域 D 可表示為d d2a1e2 0

14、ad0a 02Dex 2y2dxdyDe2dd2ae200021 21ea22d1e20注此處積分ex2y 2dxdy也常寫(xiě)成ex 2y2dxdyDx2y 2a20ex 2dx利用ex2y 2dxdy1ea2運(yùn)算廣義積分x2y 2a2設(shè) D1 x y|x 2 y 2 R 2 x 0 y 0D2 x y|x 2 y 2 2R 2 x 0 y 0S x y|0 x R 0 y R明顯 D1S D2由于ex2y 20從就在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式由于ey 2dxdyex2y 2dxdyex2y2dxdyx2D 1SD2x2y2dxdyR 0edxRey2dyRex2dx 2ex 200S又

15、應(yīng)用上面已得的結(jié)果有D 1ex 2y2dxdy41eR 2ex 2y2dxdy41e2R2D2于是上面的不等式可寫(xiě)成41eR2Rex2dx 241e2R20令 R上式兩端趨于同一極限4例 6 求球體 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圓柱面從而2 ex dx0 22 2ax 所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體x 2 y的體積解由對(duì)稱性立體體積為第一卦限部分的四倍精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝V44 a2x2y2dxdyD其中 D 為半圓周y2 ax3x 2及 x 軸所圍成的閉區(qū)域a22d2在極坐標(biāo)系中D 可表示為02a cos0d于是V44a22d42d2 acos400D

16、32a221sind32a 22230339 3 三重積分一、三重積分的概念定義 設(shè) fx y z是空間有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù) 將 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域v1 v2 vn其中 vi 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域 也表示它的體積 在每個(gè) vi 上任取一點(diǎn) i i i 作乘積 fni i i vii 1 2 n并作和 f i , i , i v i 假如當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值i 1趨于零時(shí) 這和的極限總存在 就稱此極限為函數(shù) fx y z在閉區(qū)域 上的三重積分 記作 f x , y , z dv 即nf x , y , z dv lim f i , i , i v i0 i 1三重積分中的有關(guān)

17、術(shù)語(yǔ)積分號(hào) fx y z被積函數(shù) fx y zdv被積表達(dá)式 dv 體積元素 x y z積分變量積分區(qū)域在直角坐標(biāo)系中 假如用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分 就 vi xi yi zi 因此也把體積元素記為 dv dxdydz 三重積分記作精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝fi,i,iv i是存在的fx,y ,z dvfx ,y ,z dxdydz當(dāng)函數(shù) f x y z在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)極限lim 0in1因此 fx y z在上的三重積分是存在的以后也總假定fx y z在閉區(qū)域上是連續(xù)的三重積分的性質(zhì)與二重積分類似比如1c 1fx ,y ,z c 2gx ,y ,z dvc 12fx ,

18、y,z dvc 2gx,y,z dvfx,y,z dvfx ,y ,z dvfx ,y,z dv21dvV其中 V 為區(qū)域的體積二、三重積分的運(yùn)算1利用直角坐標(biāo)運(yùn)算三重積分設(shè)空間閉區(qū)域可表為三重積分的運(yùn)算三重積分也可化為三次積分來(lái)運(yùn)算z1x y z z2x y y1x y y2x a x b就fx ,y,z dvDz 2 x,yfx ,y ,z dz dx ,y z 1bdxy 2 x z 2x ,y fx ,y ,z dz dy即fx ,ay 1 x z 1x ,ybdxy 2x dyz 2x ,y fx ,y ,z dzay 1x z 1x ,y y ,z dvb a dxy2x dyz

19、2 x,yfx ,y ,z dzx ,y y 1x z 1 其中 D : y1xy y2x a x b它是閉區(qū)域在 xOy 面上的投影區(qū)域提示設(shè)空間閉區(qū)域 可表為z1x y z z2x y y1x y y2x a x b運(yùn)算fx ,y ,z dv基本思想精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 感謝對(duì)于平面區(qū)域 D y1x y y 2x a x b 內(nèi)任意一點(diǎn) x y 將 fx y z只看作 z 的函數(shù) 在區(qū)間z1x y z2x y上對(duì) z 積分 得到一個(gè)二元函數(shù) Fx yz 2 x , y F x , y z 1 x , y f x , y , z dz然后運(yùn)算 Fx y在閉區(qū)域 D

20、 上的二重積分 這就完成了 fx y z在空間閉區(qū)域 上的三重積分z 2 x , y b y 2 x z 2 x , y F x , y d z 1 x , y f x , y , z dz da dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyD Dz 2 x , y 就 f x , y , z dv f x , y , z dz dz 1 x , y Db y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyb y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y ,

21、z dzb y 2 x z 2 x , y 即 f x , y , z dv a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y , z dz其中 D : y1x y y2x a x b 它是閉區(qū)域 在 xOy 面上的投影區(qū)域例 1 運(yùn)算三重積分 x dxdydz 其中 為三個(gè)坐標(biāo)面及平面 x 2y z 1 所圍成的閉區(qū)域解 作圖 區(qū)域 可表示為 : 0 z 1 x 2y 0 y 1 1 x 0 x 121 1 x 1 x 2 y于是 x dxdydz 0 dx 0 2 dy 0 xdz0 1xdx 0 12 x1 x 2 y dy1 1 x 2 x 2 x 3 dx 14 0 4

22、8爭(zhēng)論 其它類型區(qū)域呢 . 有時(shí) 我們運(yùn)算一個(gè)三重積分也可以化為先運(yùn)算一個(gè)二重積分、再運(yùn)算一個(gè)定積分設(shè)空間閉區(qū)域 x y z|x y D z c1 z c2 其中 D z是豎坐標(biāo)為 z 的平面截空間閉區(qū)域精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站x ,刪除感謝x2y2z21所圍成的空間閉所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域就有y ,z dxdyfx ,y ,z dvc2dzzfc 1D例 2 運(yùn)算三重積分z2dxdydz其中是由橢球面222abc區(qū)域于是解 空間區(qū)域可表為 : cz cdxdyabc1z 2c 2z 2 dz4 15abc 3x2y21z 2c 2a2b2z 2dxdydzcz 2dzccD

23、z練習(xí)1將三重積分If x ,y ,z dxdydz 化為三次積分其中 其1是由曲面 z 1 x2 y 2 z 0 所圍成的閉區(qū)域2是雙曲拋物面xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所圍成的閉區(qū)域3其中是由曲面 z x2 2y2 及 z 2 x 2 所圍成的閉區(qū)域2將三重積分Ifx,y,z dxdydz化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式就這中由曲面 z 1 x 2 y2 z 0 所圍成的閉區(qū)域2利用柱面坐標(biāo)運(yùn)算三重積分設(shè) Mx y z為空間內(nèi)一點(diǎn)并設(shè)點(diǎn) M 在 xOy 面上的投影P 的極坐標(biāo)為P樣的三個(gè)數(shù)、 z 就叫做點(diǎn) M 的柱面坐標(biāo)這里規(guī)定、 z 的變化范疇為0 02z坐標(biāo)面0 0 z z0的意義點(diǎn) M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系xcosxcosysinz zys