初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵八年級(jí)初二之考點(diǎn)各個(gè)擊破第1講有理數(shù)及其運(yùn)算上

1、有理數(shù)及其運(yùn)算 愛護(hù)環(huán)境，從我做起，提倡使用電子講義 有理數(shù)及其運(yùn)算 一、知識(shí)要點(diǎn) （一）有理數(shù)的概念 1、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù). 2、能夠表示成既約分?jǐn)?shù) m (n 0, m, n為互質(zhì)整數(shù)) 的形式的數(shù)，稱為有理數(shù). n（二）有理數(shù)的表示 3、有理數(shù)的性質(zhì)： 1）有序性； 2）封閉性； 3）稠密性. 1、 任何一個(gè)有理數(shù)都是整數(shù)或者分?jǐn)?shù)； 2、 任何一個(gè)有理數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成形如： m (n 0, m, n為互質(zhì)整數(shù)) 的數(shù)； n3、 任何一個(gè)有理數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)； 4、 任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示. 基于第 4 種表示方法，可以得到： （1）|a|表示數(shù) a 在

2、數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離； （2）|ab|表示數(shù)軸上表示數(shù) a，b 的點(diǎn)之間的距離； （3）|xa|+|xb|表示點(diǎn) x 到點(diǎn) a 和點(diǎn) x 到點(diǎn) b 之間的距離和. （三）有理數(shù)的運(yùn)算 1、 有理數(shù)大小的比較 （1）做差法：若 ab 0，則 ab；若 ab =0，則 a=b；若 ab 0，則 a 1，則a b; b （2）做商法：當(dāng)a 0,b 0時(shí), 若 a = 1，則a = b; b 若 a 1，則a b; b 2、公式與方法 （1）等差數(shù)列 an ，首項(xiàng)為 a1 ，公差為 d： 通項(xiàng)公式為： an = a1 + (n 1)d 通項(xiàng)公式描述第 n 項(xiàng) an 與首項(xiàng) a1 、公差 d 、項(xiàng)

3、數(shù) n 之間的關(guān)系. (a1 + an )n 前 n 項(xiàng)和公式為： Sn = a1 + a2 + a3 + . + an = 222 第 1頁 注：既然 an = a1 + (n 1)d ，則 Sn a1 + a1 + (n 1)d n = na1 + n(n 1) d . （2）等比數(shù)列 bn ，首項(xiàng)為 b1 ，公比為 q（其中 q 1） ：通項(xiàng)公式為： bn = a1q n1 前 n 項(xiàng)和公式為： Sn = b1 + b2 + b3 + . + bn = b1 bnq = b1(1 q n ) 1 q 1 q （3）完全平方公式： (a b)2 = a 2 2ab + b2 ；平方差公式：

4、 (a + b)(a b) = a 2 b2 ； 立方和（差）公式： a3 b3 = (a b)(a2 ab + b2 ) ； 完全立方公式： (a b)3 = a3 3a 2b + 3ab2 b3 . （4）| ab |=| a | | b | ， | a | = a ，| a | | b | a + b | a | + | b | . |b| b （5） a n a m = a n+m ， a n a m = a nm ， (a b)n = a n bn ， (a n )m = a nm ， a p = 1. ap （6）對(duì)于有理數(shù)運(yùn)算的技巧與方法主要有： 數(shù)列求和法；湊整法；分組法；拆項(xiàng)

5、相消法；錯(cuò)位相減法；倒序相加法；運(yùn)用公式法. 二、強(qiáng)化訓(xùn)練 1、試證：設(shè) a 為有理數(shù)，b 為大于 a 的有理數(shù)，試證：沒有最小的 b 使 ab. 2、若 a 是最大的負(fù)整數(shù)，b 是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則 a 2007 + b2009 等于_； 2008 3、下列四個(gè)命題： 1）任何有理數(shù)都有相反數(shù)； 2）一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)之間至少還有一個(gè)有 （理數(shù)； 3）任何有理數(shù)都有倒數(shù)； 4）一個(gè)有理數(shù)如果有倒數(shù)，則它們之間至少還有一個(gè)有理數(shù)； 5） （數(shù)軸上點(diǎn)都表示有理數(shù)； 6）任何一個(gè)有理數(shù)的平方必是正數(shù).上述命題中，說法正確的是 （_； 4、若有理數(shù) m, n, p 滿足 | m | + |

6、n | + | p | = 1，則 2mnp = _； mnp| 3mnp | 5、數(shù)軸上的 A，B，C 分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為 0，1，x，C 與 A 的距離大于 C 與 B 的距離，求 x 的取值范 圍為_； 6、若有理數(shù)滿足 a1，0bc1，則下列命題正確的是_. （1）abc0； 4）|a|1bc. （ （ 第 2頁 7、若 ab0c，則判斷下列各式的大小關(guān)系： （1）ab+c_0； 2）abc_0； 3）c+|ab|_0； 4）|ac|_bc； （8、整數(shù) a，b 滿足：ab 0，且 a+b=0，以下判斷正確的是_. Aa，b 之間沒有正分?jǐn)?shù) Ba，b 之間沒有負(fù)分?jǐn)?shù) Ca，b 之間至多有一

7、個(gè)整數(shù) Da，b 之間至少有一個(gè)整數(shù). 9、若|m|=m+1，則 (4m + 1)2009 = _； 18 10、若 a 與 都是正整數(shù)，則 a=_； a + a 1 211、有理數(shù) a，b，c，d 滿足|ab| 9，|cd| 16 和|abc+d|=25，則|ba|dc|=_； 12、若有理數(shù) a，b，c，d，e 滿足|abcde|=abcde，則 S = | a | + | b | + | c | + | d | + | e | =_； abcde13、已知 a，b，c 三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，n 是整數(shù)，若 S=（a+n+1） b+2n+2） c+3n+3） （，則問 s 的奇偶性

8、是_； 14、已知 a 2，b 3，c 5，且 abc10，則 abc 的值等于_； 15、已知 a=1999 則 3a3 2a2 + 4a 1 3a3 3a2 + 3a 2001 _； 16、已知代數(shù)式 ax2 + b ，當(dāng) x=1，0，1 時(shí)的值分別為1，2，2，而且 d 不等于 0，問當(dāng) x=2 時(shí)該 cx + d 代數(shù)式的值是多少？ abc17、有理數(shù) a，b，c 均不為 0，且 a+b+c=0 設(shè) x = +，試求代數(shù)式 x19+99x+2000 之值. b+c c+a a+b 18、一輛公共汽車由起點(diǎn)站到終點(diǎn)站（含起點(diǎn)站與終點(diǎn)站在內(nèi)）共行駛 8 個(gè)車站.已知前 6 個(gè)車站共 上車

9、100 人，除終點(diǎn)站外共下車總計(jì) 80 人，問從前 6 站上車而在終點(diǎn)下車的乘客共有多少人？ 第 3頁 19、如圖，在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng).已知甲于第 10 秒鐘時(shí)追上乙，在第 30 秒時(shí)追上丙，第 60 秒時(shí)甲再次追上乙，并且在第 70 秒時(shí)再次追上丙，問乙追上丙用了多少時(shí)間？ 20、用 min（a，b）表示 a、b 兩數(shù)中較小者，max（a，b）表示 a、b 兩數(shù)中較大者，例如 min（3， 5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5.設(shè) a、b、c、d 是不相等的自然數(shù)，min （a，b）=P，min（c，d）=Q，max（P，Q）=

10、X；max（a，c）=M，max（b，d）=N，min（M，N） =Y，判斷 X，Y 的大小關(guān)系.（試將 a、b、c、d 設(shè)為你喜歡的數(shù)字，并判斷 X，Y 的大小關(guān)系） 一、試試看 1、 1 + 1+ 1 + 1 + + 1 2 2 2 23 2100 2、2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) (3、 1 + 3 + 5 + 7 + + 99 5、 1+1+ +14、 s = 1 2 + 3 4 + 6、3998+2997+1996+195 + 2001 2002 1 2 2 3 10 11 7、 1+ 1 +1+ 1 + 1 + 2 +1+ 2 +

11、1 + 1 + 1 + 3 +1+ 3 + 1 + 1 + 2233 33424 424 +1 + 1 + 3 + + 19 + 1 + 19 + + 1 20 10 20 20 20 20 二、有理數(shù)的運(yùn)算 1、計(jì)算： （1） 2007 2006 2007 (2006 2007)=_； （2） (1) + (1) (1) (1) (1) =_； 1（3） (1)2006 + (1)2007 1 2008 =_； 4） 2 ( )2 + (2) =_； （2 第 4頁 （5） (1)1998 + (1)1999 + + (1)2006 + (1)2007 =_； （6）123456200320

12、042005=_； （7） 2002 (1 + 1) (1 + 1) 23 (1 + 1 ) =_； 2002 （8） 32000 5 31999 + 6 31998 =_； 2、計(jì)算：12 + 22 + 32 + n2 = 1 n(n + 1) (2n + 1) ，按以上式子，那么 22 + 42 + 62 + 650 2 _. 3、a，b，c 都是質(zhì)數(shù)，且滿足 a+b+c+abc=99，則| 1 - 1 |+| 1 - 1 |+| 1 - 1 |=_ ab bc ca 4、用 定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a，b，都有 a b=b2+1.例如，7 3=_；當(dāng) m 為實(shí)數(shù)時(shí)，m （m 2）=_.

13、 5、有理數(shù) a，b，c，d 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則它們從 小到大的順序是_. a + b _； d + c _； c + b _； a d _. 4=42+1=17，那么 5 6、若正數(shù) a 的倒數(shù)等于其本身，負(fù)數(shù) b 的絕對(duì)值等于 3，且 ca，c236， 代數(shù)式 2（a2b2）5c 的值為_. 7、已知 a、b 互為相反數(shù)，c、d 互為倒數(shù)，x 的絕對(duì)值等于 2，則 x2（a+b+cd）x+（a+b）2000+（ cd）2001 的值為_. 8、已知 p = 999 ,Q = 119 , 則 P,Q 的大小關(guān)系為_. 999 990 9、若3x1，化簡：y|x1|x2|x3|=_

14、10、設(shè) 3x3x=1，則 9x412x33x27x2001 的值為_. 11、已知 a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，a99+a100=99，a100+a1=100，那么 a1+a2+a3+a100=_. 12、如果 4 個(gè)不同的正整數(shù) m，n，p，q 滿足（7m） 7n） 7p） 7q）=4，那么 m+n+p+q= （）13、若 a 與（b）是互為相反數(shù)，1898a97ab9b =（ +9 2 19 ）. 214、 x + 1 + x 2 的最小值為_，此時(shí)， x 的取值范圍為_. 15、已知實(shí)數(shù) a, b, c 滿足 1 c 0 a c a , 則 c 1 + a c a

15、b 的值為 _. 第 5頁 16、計(jì)算 2002 1 2001 1 + 2000 1 1999 1 + + 2 1 11 . 22222217、有一種二十四點(diǎn)的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個(gè) 1 至 13 之間的自然數(shù)，將這四個(gè) （每個(gè)數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加減四則運(yùn)算與 4 (1 + 2 + 3) 應(yīng)視作相同方法的運(yùn)算，現(xiàn)有四個(gè)有理 數(shù) 3，4，6，10.運(yùn)用上述規(guī)則寫出兩種不同方法的運(yùn)算，使其結(jié)果等于 24，運(yùn)算式： （1）_; （2）_; 18、黑板上寫有 1，2，3，1997，1998 這 1998 個(gè)自然數(shù)，對(duì)它們進(jìn)行操作，每次操作規(guī)則如下： 擦掉寫在黑板上的三個(gè)數(shù)后，再添寫上所擦

16、掉三個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字，例如：擦掉 5，13 和 1998 后， 添加上 6；若再擦掉 6，6，38，添上 0，等等.如果經(jīng)過 998 次操作后，發(fā)現(xiàn)黑板上剩下兩個(gè)數(shù)，一個(gè) 是 25，求另一個(gè)數(shù). 19、現(xiàn)代社會(huì)對(duì)保密要求越來越高，密碼正在成為人們生活中的一部分，有一種密碼的明文（真實(shí)文） 按計(jì)算機(jī)鍵盤字母排列分列，其中 Q、W、E、N、M 這 26 個(gè)字母依次對(duì)應(yīng) 1、2、3、25、 26 這 26 個(gè)正整數(shù)（見下表） ：QWERTYUIOPASD12345678910 11 12 13 FGHJKLZXCVBNM14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

17、給出一個(gè)變換公式： xx 3 ， x 是正整數(shù)，1 x 26，x 被 3 整除）; （ 第 6頁 x x+2 3 17， x 是正整數(shù)，1 x 26，x 被 3 除余 1）; （x +1 x 3 8， x 是正整數(shù)，1 x 26，x 被 3 除余 2）. （將明文轉(zhuǎn)換成密文，如： 4+2 4 3 1719，即 R 變?yōu)?L； 11 + 1 11 3 812，即 A 變?yōu)?S. 將密文轉(zhuǎn)換成明文，如：213（2117） 210，即 X 變?yōu)?P； 133（138） 114，即 D 變?yōu)?F. 相信你已經(jīng)讀懂了吧，那么請(qǐng)解答下面各題： 按上述方法將明文 NOIC 譯為密文； 按上述方法將明文譯成的密文為 FOR ，請(qǐng)找出它的明文. 20、 1）閱讀下面材料： （點(diǎn) A、B 在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù) a、b，A、B 兩點(diǎn)之間的距離表示為AB.當(dāng) A、B 兩點(diǎn)中有一 點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn) A 在原點(diǎn)，ABOBbab；當(dāng) A、B 兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)