線性代數(shù)教案22

1、上節(jié)主要內(nèi)容定義：設(shè) ，若存在不全為零的數(shù)使得則稱向量組 線性相關(guān)；否則稱它們線性無關(guān).定理 向量組 線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.推論 向量組線性無關(guān)的充要條件是向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示.1正是由于有結(jié)論1和結(jié)論2，在討論向量組的線性相關(guān)性的時(shí)候，經(jīng)常討論方程的解的情況：有惟一解時(shí)線性無關(guān)；解不惟一時(shí)線性相關(guān).結(jié)論1：向量組 線性相關(guān)等價(jià)于不止一組解；結(jié)論2：向量組 線性無關(guān)等價(jià)于結(jié)論3：向量組 線性無關(guān)則 線性無關(guān).結(jié)論4：向量組 線性相關(guān)則線性相關(guān).22.3向量組與矩陣的秩2.4齊次線性方程組3本節(jié)主要內(nèi)容1. 矩陣的秩；2. 向量

2、線性相關(guān)性與矩陣的秩的關(guān)系；3. 最大線性無關(guān)組；4. 齊次線性方程組的解與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系；5. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.4矩陣的秩與向量組的線性相關(guān)性定義1：設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣，在A中取k行k列，由這些行、列交叉處的元素按原來的相對(duì)位置構(gòu)成的k階行列式，稱為A的k階子式.定義2：矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩(Rank)，記為R(A).規(guī)定：零矩陣的秩為0.根據(jù)矩陣秩的定義，對(duì)于mn矩陣AR(A)rA有一個(gè)r階子式不為零，且所有r+1階子式都為零;R(A)min(m,n)；對(duì)n階方陣A，若R(A)=n，即|A|0，則稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.小結(jié)5定理

3、：mn矩陣A的m個(gè)行向量線性相關(guān)的充要條件是R(A)n)線性相關(guān)；推論2：m個(gè)n維向量(mn)線性無關(guān)的充要條件是由它們組成的mn矩陣A的秩R(A)=m.推論3：n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充要條件是由它們組成的矩陣行列式不等于零；線性相關(guān)的的充要條件是矩陣行列式等于零.小結(jié)6例題1：求矩陣的秩解答：所以矩陣的秩為2.7可以證明：矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩定理 將矩陣經(jīng)過初等行變換化為行階梯型矩陣，最后剩下的非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.小結(jié)所以矩陣的秩為2.8定義：設(shè)有向量組T，如果(1)在T中有r個(gè)向量 線性無關(guān)；(2)T中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān).則稱 是向量組T的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組，簡(jiǎn)

4、稱最大無關(guān)組，數(shù)r稱為向量組T的秩.注意：向量組的最大無關(guān)組可能不止一個(gè).向量組的秩定理：矩陣A的秩等于r的充要條件是A中有r個(gè)行向量線性無關(guān)，且任意r+1個(gè)行向量線性相關(guān).定理 矩陣的秩等于它的行（列）向量組的秩.9例題2 求下列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其它向量用最大無關(guān)組線性表示解答：因此一個(gè)最大無關(guān)組為10引理：設(shè)向量組 可以由 向量組 線性表示.如果sr，則 線性相關(guān).兩個(gè)等價(jià)的向量組秩相等.定理：設(shè)有向量組T，如果(1)在T中有r個(gè)向量 線性無關(guān)；(2)T中任意一個(gè)向量 都可以由向量組 線性表示，則 是向量組T的一個(gè)最大無關(guān)組.本定理給出了判斷最大無關(guān)組的方法.小結(jié)定義：如果向量

5、組 中的每一個(gè)向量都可以由向量組 線性表示，則稱向量組 可以由向量組 線性表示.定義：如果向量組 與 可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).11齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題：1.齊次線性方程組何時(shí)有惟一零解？2.如果解的個(gè)數(shù)多于一個(gè)，這些解之間有什么關(guān)系？定理：齊次線性方程組當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩R(A)n時(shí)(矩陣的秩與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等)，只有惟一的零解；當(dāng)R(A)n時(shí)(矩陣的秩小于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí))，有無窮多個(gè)解.小結(jié)12例題3：對(duì)于齊次方程組當(dāng)a取何值時(shí)，上述方程組(1)有惟一的零解；(2)有無窮多個(gè)解，并求出這些解.齊次方程組有惟一解系數(shù)矩陣的秩未知數(shù)的個(gè)數(shù)3系數(shù)行列式不等于013解答：系數(shù)矩陣的行

6、列式因此 或（1）齊次方程組有惟一零解因此 且（2）齊次方程組有無窮多解14t取任意數(shù)s，t取任意數(shù)當(dāng) 時(shí)，方程組成為當(dāng) 時(shí)，方程組成為15齊次線性方程組的一個(gè)解構(gòu)成一個(gè)n維列向量，稱為解向量.解向量的性質(zhì)：1. 若 都是齊次線性方程組的解向量，k為常數(shù)，則 也都是齊次線性方程組的解向量；齊次線性方程組的全部解構(gòu)成的集合稱為解空間.2. 齊次線性方程組的全部解向量構(gòu)成的向量組有最大無關(guān)組；3. 設(shè) 是齊次線性方程組的解向量組的一個(gè)最大無關(guān)組.則 的任意線性組合都是齊次線性方程組的解向量；同時(shí)，齊次線性方程組的任意解向量都可以表示成向量組 的線性組合.定義：設(shè) 是齊次線性方程組的r個(gè)解向量，如果

7、(1) 線性無關(guān)；(2)齊次線性方程組的任意一個(gè)解向量都可以由 線性表示，則稱 是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系實(shí)際上就是解空間的一個(gè)最大無關(guān)組.16齊次線性方程組的通解對(duì)于齊次線性方程組當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=r=n時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=rn時(shí)，方程組有無窮多組解.定理 若n個(gè)未知量的齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為r，則基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量.設(shè) 是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則所有解都可以寫成這種形式的所有解稱為齊次線性方程組的通解.17例題4 求下列齊次線性方程組的通解(1)確定為齊次線性方程組；(2)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，得系數(shù)矩陣的秩r；(3)由行最簡(jiǎn)形矩陣寫出方程組的一般解；(4)用一般解構(gòu)造基礎(chǔ)解系，從而得到通解.小結(jié)18課后練習(xí)P63習(xí)題二2.3(1)2.92.12（3）（4）2.13（2）（6）19小結(jié)1.矩陣的秩，矩陣秩的求法；2.向量線性相關(guān)性與矩陣秩的關(guān)系；3.向量組中最大無關(guān)組的判定；4.齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)判定；5.齊次線性方程組有無窮多解時(shí)解的結(jié)構(gòu).20作業(yè)P63習(xí)題二2.2(3)2.3(2)(3)21K階子式問題：mn的矩陣A有多少個(gè)k階子式(km,kn)？答：返回22行階梯形矩陣定義 設(shè)A為m行n列矩陣，滿足三個(gè)條件（1