大學物理授課教案第七章真空中的靜電場

1、第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第三篇電磁學第七章真空中的靜電場本章只討論真空中的電場，下一章再討論介質中靜電場。靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產生的電場。7-1電荷庫侖定律一、電荷1、電荷I種類正電荷負電荷作用同性相斥-異性相吸（一般地說：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電子）2、電荷守恒定律電荷從物體的一部分轉移到另一部分，這稱為電荷守恒定律。它是物理學的基本定律之一。3、電荷量子化在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷e的整數倍。這也是自然界中的一條基本規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現在還沒有足夠的實驗來否定這個規(guī)律。二、庫侖定律點電荷：帶電體本身線度比它到其他

2、帶電體間的距離小得多時，帶電體的大小和形狀可忽略不計，這個帶電體稱為點電荷。（如同質點一樣，是假想模型）庫侖定律：真空中兩點電荷之間的相互作用力大小與他們電量乘積成正比，與他們之間距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性相吸。這叫做庫侖定律。它構成全部靜電學的基礎。數學表達式：q受q的作用力：2101Fkqiq20斥力（同號）O12r212,0吸引（異號）采用國際單位制，其中的比例常數k=9109N-m2/c2。Fkq1q212r212r12r丿12丿jqq=k12rr31212-o圖7-14e0s8.85x10-12c2/Nm201qqF12r124sr312012是q對q是作用力，12

3、q對q的作用力為：2111qqF12r214sr321021說明：F12亠1亠2r是由q指到q的矢量。1212qq()16r)=F40l2ql如圖所取坐標IEBx=21g1By（E與p同向）A22cos+Ecos)=-2EcosglBx*分立電荷產生場強的疊加問題。例7-2:設電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上，計算在環(huán)的軸線上與環(huán)心相距點的場強。解：如圖所取坐標,軸在圓環(huán)軸線上，把圓環(huán)分成一系列點電荷，d1部分在p點產生的電場為:dE二d1d14K8第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）0000第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）

4、第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）0000=電荷線密度第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）20002000第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）20002000dE=dEcos0=/4802九xdlE=j-/004s02,R224S.0根據對爾性可知，E=0丄qxE=E廠0XxdlC2,R2)(X-2R)x2,R224s0:E沿x軸正向:E沿x軸負向480qx”2（均勻帶電圓環(huán)結果）xrdr2,r2)40咯環(huán)在P點產生場強方向均相同,整個圓盤在p點產生場強為:e=jdE=n

5、oxrdr/020oxjRrdr200ox1jRd(x22J/+r2)十2)ox2ox1M7-11第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）1-2f00：背離圓盤0：指向圓盤討論：RT時，變成無限大帶電薄平板,E/_a，方向與帶電平板垂直。2f0求距它為r處p點場強。即E與盤面垂直（E關于盤面對稱）例7-4:有一均勻帶電直線，長為l，電量為q,解：如圖所取坐標，把帶電體分成一系列點電荷，dy段在p處產生場強為:dE_dq_處（q）4兀fr24兀f（y2+r2）/00第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭

6、連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）由圖知:代中有:第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）rsin0rdy=rcsc20d0，r=cosp第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）九rcsc20d0.dEx4兀fr20sin20E_dE_0f入血滋0 xx4兀fr010dE_-dEsinP_dEcos0yE_dE_0f入cOs0d0_yy4兀fr00討論：無限長均勻帶電直線(cos0-cos0)ri2九 HYPERLINK

7、l bookmark814兀fr20_0,0_兀,九2 HYPERLINK l bookmark87,E_0.2kfry0即無限均勻帶電直線，電場垂直直線，直線。例7-5:有一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為(sin0-sin0)一1九”0，E背向直線；九0，E指向，求在平面附近任一點場強。第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）解：如圖所取坐標，X軸垂直帶電平面，把帶電平面分成一系列平行于Z軸的無限長窄條，陰影部分在P點產生場強為（無限長均勻帶電直線結果）dy-1）dE=2mr2mrdE=dEcos0=JdE=J+Xdy2m+=JdExdy

8、=0（由對稱性可知）2m結論：無限大均勻帶電平面產生均勻場,+0背離平面0時，不能說S內只有正電荷0時，不能說S內只有負電荷=0時，不能說S內無電荷注意：這些都是S內電荷代數和的結果和表現。高斯定理說明，JEdS，1q與S內電荷有關而與S外電荷無關，這并不eS0S內是說E只與S內電荷有關而與S外電荷無關。實際上，E是由S內、外所有電荷產生的結果。高斯面可由我們任選。二、高斯定理應用舉例下面介紹應用高斯定理計算幾種簡單而又有對稱性的場強方法?？梢钥吹?，應用高斯定理求場強比前面介紹的方法更為簡單。例7-6：一均勻帶電球面，半徑為R，電荷為+q，求：球面內外任一點場強。解：由題意知，電荷分布是球對稱

9、的，產生的電場是球對稱的，場強方向沿半徑向外，以O為球心任意球面上的各點E值相等。球面內任一點P的場強12+4爲以O為圓心，通過P點做半徑為r的球面S為高斯面，高斯定理為:J*E-dS，1q1豐與dS同向，內且S上E值不變JE-dS=JE-dS，EJdS，E-4兀r2si1si圖7-19i乙q，0、0S1內nE-4兀r2，01E，0即均勻帶電球面內任一點P場強為零。1注意：1）不是每個面元上電荷在球面內產生的場強為零，而是所有面元上電荷在球面內產生場強的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在球面內任一點產生的場強不可能都為零。（在個別點有可能為零）球面外任一點的場強以O為圓心，通過P點以半徑r做一球

10、面S作為高斯面，由高斯定理有：2221E-4兀r2，q20E，q4兀r20方向：沿OP方向（若q0，則沿PO方向）盼2結論：均勻帶電球面外任一點的場強，如圖電荷全部集中在球心處的點電荷在該點產生的場強一樣。E，f0（rR）R）4kr20例7-7:有均勻帶電的球體，半徑為R，電量為+q，求球內外場強（8-13）。解：由題意知，電荷分布具有球對稱性，電場也具有對稱性，場強方向由球心向外輻射，在以O為圓心的任意球面上各點的E相同。（1）球內任一點P的E，?1以O為球心，過P點做半徑為r的高斯球面S，高斯定理為：fii1JE-dS，1EqS.0Si內E與dS同向，且S上各點E值相等，JE-dS，JE-

11、dS，EJdS，E-4兀r21sis14q兀r3，r331R310s1yqTOC o 1-5 h zq=4 HYPERLINK l bookmark16740s.,兀R3 HYPERLINK l bookmark1771內o3qr3R310E，qr4ksR31E沿OP方向。結論：E工ri注意：不要認為0（若q0,則E沿PO方向）S外任一電荷兀在P處產生的場強為0，而是S外所有電荷兀在1111P點產生的場強的疊加為0。1（2）球外任一點P的E，?2以O為球心，過P點做半徑為r的球形高斯面S,高斯定理為:222第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權(教授)第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權(教

12、授)S2E-dS，1q0S2內由此有:1E-4r2，q20nE，q4亦r202E沿op方向2結論：均勻帶電球體外任一點的場強，如同電荷全部集中在球心處的點電荷產生的場強一樣。qr(rR)i4亦r20E-r曲線如左圖。圖7-22例7-8:一無限長均勻帶電直線，設電荷線密度為X，求直線外任一點場強。解：由題意知，這里的電場是關于直線軸對稱的，E的方向垂直直線。在以直線為軸的任一圓柱面上的各點場強大小是等值的。以直線為軸線，過考察點P做半徑為r高為h的圓柱高斯面，上底為S、下底為S，側面為S。TOC o 1-5 h z123高斯定理為：JE-dS，1q HYPERLINK l bookmark197

13、0$內在此，有:E-dSJE-dSJE-dSssis2s3在S、S上各面元dS丄E，前二項積分=012致，且E二常數，EdS，EJdS，E-2rh又在S上E與dS方JE-dS，JE-dS，S3ss1qJXh；80%01nE-2rh，Xh0XE，2kr0E由帶電直線指向考察點。(若X0，求柱面內外任一點場強。第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權(教授)第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32解：由題意知，柱面產生的電場具有軸對稱性，場強方向由柱面軸線向外輻射，并且任意以柱面軸線為軸的圓柱面上各點E值相等。1）帶電圓柱面內任一點P的E?1T

14、OC o 1-5 h z以OO為軸，過P點做以r為半徑高為h的圓柱高斯面，上底為S,下底為S,ii側面為S。高斯定理為：E-dS1工q在此,有：0$內ffR弓I._一.E-dS+JE-dS+JE-dSssss123在S、S上各面兀dS丄E，:上式前二項積分二0,121EdSE,dSE-2兀rh1S3S31工q00訂nE-2兀rh=0iE0結論：無限長均勻帶電圓筒內任一點場強=0又在S3上dS與E同向，且E二常數，圖7-24,E-dS2）帶電柱面外任一點場強E?以OO為軸，過P點做半徑為r高為h的圓柱形高斯面,上底為S下底為S，2212側面為S。由高斯定理有：31E-2兀rh2兀Rh10廠Q2兀

15、RnE2kr.p2kRq（2kR1=單位長柱面的電荷（電荷線密度）二九九E，E由軸線指向P。Q0,u內方法二用電勢疊加原理解內球面在二球面上產生電勢分別為:4KER外球面在二球面上產生電勢分另U為:4KER4KERn二球面電勢分別為:4ke2-14KER01注意電勢計算方法。7-6等勢面場強與電勢的關系一、等勢面1、等勢面：電勢相等的點連接起來構成的曲面稱為等勢面。如：在距點電荷距離相等的點處電勢是相等的，這些點構成的曲面是以點電荷為球心的球面?？梢婞c電荷電場中的等勢面是一系列同心的球面，如左圖所示。2、場中等勢面性質1）等勢面上移動電荷時電場力不作功設：設點電荷q沿等勢面從a點運動到b點電場

16、力作功為:0/、W=EE=qSuJu=u0圖T35第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）322）任何靜電場中電力線與等勢面正交證：如下圖所示，設點電荷q自a沿等勢0面發(fā)生以位移dl，電場力作功為：dW=qE，dl=qEdlcos00在等勢面上運動，AdW二0nqEdlcos=0*.*q0,E0,dl0Acos二0,即=2故電力線與等勢面正交，E

17、垂直于等勢面。說明：在相鄰等勢面電勢差為常數時，等勢面密集地方場強較強。、場強與電勢關系E是描述電場性質的物理量，他們應有一定的關系,u前面已學過E、u之間有一種積分關系u=卜E，dl（無限遠處u=0）aa8那么，E、u之間是否還存在著微分關系呢？這正是下面要研究的問題。如圖所示，設a、b為無限接近的二點，相應所在等勢面分別為u、u+du。單位正電荷從aTb過程中，電場力作功二電勢能增量負值，即E，dl=-Ku+n一du=E-du)-udl=Ei+Ej+Ek)Gxi+dyj+dzkxyz=Edx+Edy+Edzxyztdududu HYPERLINK l bookmark377又du=dx+d

18、y+dzdxdydz(7-17)代（7-17）中，有:dutdx-dxdudzdz=Edx+Edy+Edzxyz第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32x即(7-18)(7-19)dy、dz是任意的，：上式若成立必有兩邊dx、dy、dz相應系數相等,dudx第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32dudz(7-20)第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場

19、沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32（矢量式）(721)Qududu-i+j-kdxdydz丿第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）-0，第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學郭連權（教授）32以上是場強E與電勢u的微分關系。du+du+du斤叫做u的梯度，dxdydzdududugradu-U-i+j+kdxdydznE-gradu=-u結論：電場中任一點場強等于電勢梯度在該點的負值。例7-15:用場強與電勢關系求點電荷q產生的場強解：如圖所取坐標，數學上,記作:d-d-d-(其中算符符.+dyj+dzk)(7-22)E=-X二q4nsx0dupdxE二E二0yzq”0，E沿x軸正向，q0，E沿x軸負向。例7T6:均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為。試求:圖7-391