珠算教程（第六版）5第五單元珠算除法

1、珠算教程（第6版）08Options03Options05Options01Options第一單元珠算概述第六單元簡易心算與開方及珠心算簡介第三單元珠算加減法第二單元珠算基礎(chǔ)知識(shí)第七單元點(diǎn)鈔基本方法第四單元珠算乘法第五單元珠算除法CHAPTER05第五單元珠算除法【技能目標(biāo)】【知識(shí)目標(biāo)】0102掌握商除法的運(yùn)算方法，掌握商的定位方法，掌握珠心算除法的運(yùn)算過程。了解除法的基本概念，理解商的定位意義，理解珠心算除法的含義?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】第一節(jié)CHAPTER ONE珠算除法簡介點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本古書孫子算經(jīng)曾記述，以實(shí)數(shù)放在第二行，法數(shù)放在第三行，商數(shù)放在第一行是三重張算

2、（籌算）。我國古代把除數(shù)稱為法數(shù)，把被除數(shù)稱為實(shí)數(shù)，由被除數(shù)（實(shí)數(shù)）與除數(shù)（法數(shù)）估計(jì)出某位一個(gè)商數(shù)的過程叫作估商。估商后，要從被除數(shù)里減去除數(shù)與估商的乘積，這計(jì)算稱為減積。珠算除法源于古代籌算除法。商除法：我國古代籌算應(yīng)用商除法，著錄此法的代表作有古代的孫子算經(jīng)、明代吳敬的九章詳注比類算法大全以及程大位的算法統(tǒng)宗等。歸除法：古代籌算初用商除法，以后逐漸使用歸除法（即以口訣試商）。明清兩代以歸除法為主。剝皮（倍數(shù)）法：這是以加減法代替乘除法的一種方法，古時(shí)和商除法、歸除法交替使用。第二節(jié)CHAPTER TWO珠算除法定位點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本珠算除法計(jì)算結(jié)果，如不進(jìn)行

3、定位是無法確定商的數(shù)值的。乘除定位始見于南宋楊輝的算法通變本末，方法較復(fù)雜。元明以后，人們不斷借鑒創(chuàng)新，形成今天的一些定位方法。除法定位方法包括很多，現(xiàn)著重介紹幾種：點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本公式定位法一公式定位法是用公式來確定商的位數(shù)的定位方法，此法最早見于元代安止齋和何平子所著的詳明算法，是一種廣泛應(yīng)用于各種計(jì)算方法的定位方法，因而又被稱為統(tǒng)一定位法或通用定位法。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本公式定位法一（一）基本方法除法定位和乘法定位的基本原理是一致的。乘法定位是以乘數(shù)和被乘數(shù)的位數(shù)為依據(jù)，除法定位則以除數(shù)和被除數(shù)的位數(shù)為依據(jù)，只是加減號(hào)不同而已。

4、除法可以在計(jì)算前定位。第一，當(dāng)被除數(shù)小于相同位數(shù)的除數(shù)時(shí)（即不夠除），商的位數(shù)=被除數(shù)位數(shù)-除數(shù)位數(shù)；第二，當(dāng)被除數(shù)大于或等于相同位數(shù)的除數(shù)時(shí)（即夠除），商的位數(shù)=被除數(shù)位數(shù)-除數(shù)位數(shù)+1。以上兩條可概括為：“位數(shù)相減，夠除加1?！庇肕表示被除數(shù)位數(shù)，N表示除數(shù)位數(shù)，則：M-N（用于不夠除時(shí)）（5-1）M-N+1（用于夠除時(shí)）（5-2）點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本公式定位法一（二）盤上公式法除法公式定位法也可以直接應(yīng)用于算盤上。如用隔位除法時(shí)，在算盤左起第三檔起撥，用“位數(shù)相減，進(jìn)二檔加1（進(jìn)一檔不加1）”（或“位數(shù)相減，滿檔加1”）的口訣來確定，即在算盤左起第三檔被除數(shù)的

5、首位檔往左邊進(jìn)了兩檔，即左起第一檔有數(shù)時(shí)，用“位數(shù)相減，進(jìn)二檔加1”的口訣定位，如果左起第一檔沒數(shù)時(shí)（即被除數(shù)首位檔只進(jìn)了一檔），則位數(shù)相減后不用加1。若用不隔位除法時(shí)，進(jìn)一檔就加1，不進(jìn)檔不加1。因?yàn)椴桓粑怀ㄔ谧蠖n起撥被除數(shù)。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本固定個(gè)位檔定位法二它是一種算前定位法，又叫“固定點(diǎn)定位法”。此法最早見于南宋楊輝著的乘除通變算寶。該法的具體方法為：第一選算盤上適當(dāng)?shù)臋n位作為固定檔位，既是商數(shù)的個(gè)位，又是撥置被除數(shù)的個(gè)位檔；第二改變被除數(shù)的落盤位數(shù)，即被除數(shù)位數(shù)與除數(shù)位數(shù)相減（M-N）所得的位數(shù)（如果用隔位除法時(shí)，M-N-1作為被除數(shù)的新位數(shù)撥入盤內(nèi)

6、）；第三運(yùn)算完畢，固定個(gè)位即為商的個(gè)位。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本移檔定位法三移檔定位法又叫數(shù)檔定位法，是以被除數(shù)的個(gè)位檔為基準(zhǔn)檔，根據(jù)除數(shù)的位數(shù)向左或向右數(shù)來確定商數(shù)個(gè)位檔的定位方法，可概括為“等檔同向，零位不變”。此法最早見于南宋楊輝著的乘除通變算寶。移檔定位法的具體方法是：當(dāng)除數(shù)的位數(shù)是正幾位時(shí)，商數(shù)的個(gè)位檔就在基準(zhǔn)檔（被除數(shù)的個(gè)位檔）的左第幾檔上；PART 1第一當(dāng)除數(shù)的位數(shù)是負(fù)幾位時(shí)，商數(shù)的個(gè)位檔就在基準(zhǔn)檔的右第幾檔上；PART 2第二當(dāng)除數(shù)的位數(shù)是零位時(shí)，商數(shù)的個(gè)位檔就是基準(zhǔn)檔。PART 3第三點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本幾種除法定位法的對(duì)

7、比及評(píng)價(jià)四評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)仍應(yīng)根據(jù)其準(zhǔn)確度、速度、易學(xué)易用性、科學(xué)性等方面綜合確定。A（一）公式定位法B（二）固定個(gè)位檔（點(diǎn)）定位法其優(yōu)點(diǎn)是：（1）算前算后均可定位，方便易行；（2）盤上盤下都能定位，尤其盤上公式法，速度快；（3）定位方便準(zhǔn)確；（4）適用于各種算具、算法，適用范圍廣，為通用定位法。其缺點(diǎn)是：（1）因要掌握加減規(guī)則，對(duì)文化水平較低者有一定難度；（2）容易忘記夠除加1；（3）比較實(shí)數(shù)、法數(shù)兩數(shù)頭位數(shù)時(shí)，若相同，再比較第二位、第三位以此類推，延緩了定位速度。其優(yōu)點(diǎn)是：（1）算前定位，商的個(gè)位可以預(yù)先確定，得數(shù)一目了然，不易出錯(cuò)；（2）只有一個(gè)公式M-N或M-N-1定位，減少麻煩，好學(xué)好記；

8、（3）對(duì)帶小數(shù)較多的算題，可結(jié)合省除法處理，減少撥珠次數(shù)，提高計(jì)算速度。其缺點(diǎn)是：（1）每次運(yùn)算的M-N或M-N-1大小不同，布實(shí)數(shù)、商數(shù)檔位也不同，容易錯(cuò)位；（2）如遇到簡單的計(jì)算，此法反而煩冗。C（三）移檔定位法其優(yōu)點(diǎn)是：（1）傳統(tǒng)的算前定位法，不必掌握加減規(guī)則，程序順理；（2）易學(xué)易用。其缺點(diǎn)是：（1）遇到隔位除法時(shí)，因移檔位置與不隔位除法不同，常易出錯(cuò)；（2）易于忘掉個(gè)位檔位置，準(zhǔn)確度較差。第三節(jié)CHAPTER THREE基本除法點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本商除法一商除法是我國傳統(tǒng)的除法?；I算除法最早在古書孫子算經(jīng)中有著錄，珠算繼承籌算商除法的代表作有明代吳敬九章詳

9、注比類算法大全和程大位的算法統(tǒng)宗等書，方法基本一致。珠算商除法計(jì)算原理和方法與筆算基本一致，都是用大九九口訣進(jìn)行求商，是我國古老的基本除法之一。古人運(yùn)算，總是要經(jīng)過一番“商量”，才能求得商數(shù)，故稱為商除法。由于置商位置不同，又分為隔位商除法和不隔位商除法兩種。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本商除法一（一）隔位商除法1.置商原則2.上商與減積3.估商、補(bǔ)商與退商4.一位數(shù)隔位商除法5.多位數(shù)隔位商除法點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本商除法一（二）不隔位商除法不隔位商除法，夠除時(shí)挨位立商，所以也稱挨位商除法；不夠除時(shí)，被除數(shù)首位數(shù)直接改為商數(shù)，所以又叫改商除法。它和

10、隔位商除法的運(yùn)算步驟、方法基本一致，只是在置商、立商、減積和調(diào)商時(shí)，檔次向左移了一位，因而能減少撥珠次數(shù)，也利于簡便運(yùn)算。1.置商原則2.減積的檔次3.補(bǔ)商與退商4.一位數(shù)不隔位商除法5.多位數(shù)不隔位商除法點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二歸除法是利用口訣求商的一種除法。當(dāng)法數(shù)是一位數(shù)時(shí)稱為“歸法”，也叫“單歸”；當(dāng)法數(shù)是兩位或兩位以上時(shí)稱為“歸除”。一般要求，應(yīng)用本法時(shí)需用七珠（上二下五）算盤，當(dāng)今不太適用，故應(yīng)用者甚少。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（一）歸除口訣1.九歸口訣一位數(shù)除法又稱“單歸”，當(dāng)法數(shù)是1、2、3、4、5、6、7、8、9時(shí)

11、，稱為一歸、二歸、三歸、四歸、五歸、六歸、七歸、八歸、九歸，共九組口訣，稱為九歸法。九歸口訣見表5-1。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（一）歸除口訣1.九歸口訣為了便于計(jì)算，人們又在九歸口訣的基礎(chǔ)上歸納了一套改良口訣，稱為新增九歸口訣。新增九歸口訣見表5-2。上一下四珠新算盤也能運(yùn)算，但應(yīng)用者不多。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（一）歸除口訣2.撞歸口訣撞歸口訣見表5-3。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（一）歸除口訣3.退商口訣退商口訣見表5-4。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（二）歸除方法

12、1.一位數(shù)除法一位數(shù)除法又稱“歸法”，也叫“單歸”，其運(yùn)算步驟如下：置數(shù)01置商、減積02定位、寫商數(shù)03點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（二）歸除方法（1）一歸法（如圖5-74所示）。（3）三歸法（如圖5-76所示）。（2）二歸法（如圖5-75所示）。（4）四歸法（如圖5-77所示）。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（二）歸除方法（6）六歸法（如圖5-79所示）。（8）八歸法（如圖5-81所示）。（5）五歸法（如圖5-78所示）。（7）七歸法（如圖5-80所示）。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（二）歸除方法（9）九歸法

13、（如圖5-82所示）。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本歸除法二（二）歸除方法2.多位數(shù)除法法數(shù)是兩位以上（包括兩位）的除法稱為多位數(shù)除法，亦稱為歸除。歸除應(yīng)將基本口訣和新增加口訣相結(jié)合應(yīng)用。歸除運(yùn)算時(shí)分兩步進(jìn)行：第一步是“歸”，即用九歸口訣求得初商；第二步是“除”，即把求得的初商同法數(shù)首位以外的其他各位相乘，一邊乘一邊從實(shí)數(shù)中減去相乘之積，經(jīng)過這樣的乘減以后，初商才成為正式的商。第二位商數(shù)，按以上步驟求得。歸除可分為：（2）補(bǔ)商歸除（3）退商歸除（4）撞歸歸除（1）基本歸除點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本剝皮除法(湊倍除法)三（一）基本方法剝皮除法也叫累減除法、

14、湊倍除法，是我國古代的一種簡便算法。最早記錄此法的書是明代吳敬的九章詳注比類算法大全。此法原先只有隔位法，后來改進(jìn)有不隔位法，故該法分為隔位剝皮除法和不隔位剝皮除法，且由于各自總結(jié)方式不同，所以形成口訣也不完全相同，現(xiàn)以較為普遍的隔位剝皮除法為例加以介紹。此法可以用幾句簡易口訣求商，其口訣是：大數(shù)空加一（或空加幾），隔位減除數(shù)（或隔位減幾除）；小半隨進(jìn)一（或隨進(jìn)幾），隔位（或不隔位）減除數(shù)（或減幾除）；夠半隨進(jìn)五，不隔位減半除；數(shù)近下加除，加到夠減時(shí)，左位上商數(shù)，不隔位減除數(shù)（一般數(shù)近是商9或商8）。上述口訣每前半句是從被除數(shù)角度講的，后半句是從商數(shù)角度講的。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文

15、本點(diǎn)擊添加文本剝皮除法(湊倍除法)三（一）基本方法口訣的具體應(yīng)用：01020304“大數(shù)空加一（或空加幾），隔位減除數(shù)（或隔位減幾除）”，是用于夠除情況下的口訣。“小半隨進(jìn)一（或隨進(jìn)幾），隔位（或不隔位）減除數(shù)（或減幾除）”，是在不夠除情況下的口訣?！皦虬腚S進(jìn)五，不隔位減半除”，也是在不夠除情況下的口訣。“數(shù)近下加除，加至夠減時(shí)，左位上商數(shù)，不隔位減除數(shù)”，這也是在不夠除情況下的口訣。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本剝皮除法(湊倍除法)三（二）不夠減除時(shí)的計(jì)算在上述應(yīng)用“大數(shù)空加幾，隔位減幾除”“小半隨進(jìn)幾，隔位（或不隔位）減幾除”時(shí)，都是采用一次估商來進(jìn)行的，不是上一個(gè)商、減

16、一次除數(shù)，來一個(gè)一個(gè)地估商處理的，但是要做到一次估商準(zhǔn)確，必須多學(xué)多練，多積累經(jīng)驗(yàn)。如果一次估商時(shí)發(fā)生了商數(shù)偏大現(xiàn)象，可不必清盤重算，用退商還除數(shù)法來糾正。其口訣和商除法相同，就是“退1隔還幾”，即中途發(fā)現(xiàn)不夠減時(shí)（說明商數(shù)偏大），把商數(shù)退1，然后隔一檔還上已經(jīng)減去的幾，便可再繼續(xù)乘減。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本剝皮除法(湊倍除法)三（三）除算中除不盡的處理方法在除法運(yùn)算中，時(shí)常遇到除不盡的數(shù)，這時(shí)不一定要無限地繼續(xù)運(yùn)算下去，只要求一個(gè)比較準(zhǔn)確的近似值就可以了，其余采用四舍五入的辦法進(jìn)行處理。為節(jié)省時(shí)間，提高效率，只要求到事先所確定的準(zhǔn)確值為止，再看余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系，

17、進(jìn)行四舍五入即可。具體做法是：21第一，當(dāng)余數(shù)大于或等于除數(shù)的一半，其商數(shù)大于5或夠5時(shí)，就在已求得的商數(shù)末位上加1，去掉余數(shù)，這叫“五入”。第二，當(dāng)余數(shù)小于除數(shù)的一半，其商在5以下時(shí)，就將余數(shù)舍去不要，按“四舍”處理。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本補(bǔ)數(shù)除法(湊整除法)四補(bǔ)數(shù)除法是將除數(shù)湊成一個(gè)整數(shù)，減去一次湊整的除數(shù)，就得一個(gè)除法的商數(shù)，但必須將除數(shù)中因湊整而虛加的補(bǔ)數(shù)（即跟著湊整除數(shù)而多減被除數(shù)部分）補(bǔ)還給被除數(shù)，加在被除數(shù)的相應(yīng)檔位上，使每一個(gè)商數(shù)在被除數(shù)上減去的仍是除數(shù)的原數(shù)。補(bǔ)數(shù)除法主要是將接近整數(shù)的除數(shù)，以大數(shù)為基礎(chǔ)，補(bǔ)上小數(shù)而成整數(shù)。例如，10095=1余5，就

18、以除數(shù)95為基礎(chǔ)，湊上小數(shù)5成為100，運(yùn)算時(shí)，先以100100=1，然后在被除數(shù)的個(gè)位檔上補(bǔ)上多減除的5，即“余5”。使用補(bǔ)數(shù)除法的基本條件一般是除數(shù)首位是9，而且是接近整數(shù)（如96、988、9 632）的除法，因?yàn)闇愓难a(bǔ)數(shù)越小越便于計(jì)算。在具體運(yùn)算時(shí)，還可以在撥珠方面尋找快速的竅門。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本幾種主要除法的對(duì)比與評(píng)價(jià)五評(píng)價(jià)各種除法的優(yōu)劣應(yīng)當(dāng)觀察其準(zhǔn)確度、速度、易學(xué)易用性以及科學(xué)性等方面，然后綜合而定。商除法1其優(yōu)點(diǎn)是：（1）估商不必用口訣，可以心算估商；（2）易學(xué)易用，與筆算原理一致，無須另搞程序，適用面廣；（3）熟練運(yùn)用不隔位商除法，速度快； （4

19、）適用上一下四珠算盤，無須采用頂珠、底珠等。其缺點(diǎn)是：（1）由于心算估商往往不準(zhǔn)，則需補(bǔ)商、退商，程序復(fù)雜，影響速度；（2）還存在一次全面減積過程，撥珠較多。如能熟練掌握心算估商，則簡便易用。2歸除法其優(yōu)點(diǎn)是：（1）估商按口訣進(jìn)行，無須心算，順手而得；（2）口訣求商一般速度快，尤其一位數(shù)除法。其缺點(diǎn)是：（1）有些計(jì)算撥珠次數(shù)較多，層次復(fù)雜，動(dòng)作慢；（2）當(dāng)今適用的算盤不宜有頂珠、底珠、懸珠的撥珠過程，同時(shí)與籌算原理不同，一般難掌握；（3）口訣繁多，不易記誦，如不能熟練掌握口訣，則無法運(yùn)算，且易出錯(cuò)。3剝皮除法（湊倍除法）其優(yōu)點(diǎn)是：（1）方法簡單，易學(xué)易用；（2）一般不必過多心算，估商易；（3）無須運(yùn)用更多口訣，也不需應(yīng)用頂珠、底珠等。其缺點(diǎn)是：（1）一般要一次次減加，撥珠多，速度慢；（2）特別遇到3、4、6、7、8等更不易掌握。如能掌握加倍、減倍適當(dāng)結(jié)合心算則速度必快。4補(bǔ)數(shù)除法（湊整除法）其優(yōu)點(diǎn)是：將接近整數(shù)的除數(shù)，以大數(shù)為基礎(chǔ)，補(bǔ)上小數(shù)而成整數(shù)，計(jì)算方便、簡捷。其缺點(diǎn)是：除數(shù)能湊成整數(shù)。第