巧妙應(yīng)用空間平行關(guān)系的傳遞性解題

1、巧妙應(yīng)用空間平行關(guān)系的傳遞性解題平行于同一條直線的兩條直線互相平行是判斷兩條直線平行的重要方法，在空間中證明 兩直線a,b平行，由于受空間幾何體的阻隔，很難看出它們是否平行，但如牧/c,b/c容 易看出，這樣運(yùn)用公理4便可證得a/b。因此，公理4是立體幾何中平性關(guān)系過(guò)渡的重要 原理，即尋找第三條直線分別與前兩條平行，并且這種平行關(guān)系的傳遞不受直線條數(shù)的限制。 下面我們作簡(jiǎn)單的探究，以供同學(xué)們參考。例1：在平面幾何中，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行，那么，這個(gè) 結(jié)論在空間中是否成立。分析：本題從正面證明比較困難，可采用反證法進(jìn)行證明。解：在空間中這個(gè)結(jié)論也成立。下面用反證法證明：假

2、設(shè)結(jié)論在空間中不成立，那么，過(guò)直線a外一點(diǎn)P，有兩條直線b,c與a平行，即有ab,a/c，由公理4知，b/c，這與b,c共點(diǎn)P矛盾。故假設(shè)不成立。所以，該結(jié)論在空間中仍然成立。評(píng)注：一般情況下，要把平面圖形中的結(jié)論推廣到立體圖形，需要經(jīng)過(guò)證明才能使用，千萬(wàn) 不要盲目套用。例2：已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,H分別是邊的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是CF CG 2旦一是一個(gè)梯形。CB,CD上的點(diǎn)，且；號(hào)，求證：四邊形EFGHCB CD 3分析：本題證明四邊形EFGH是梯形，需證明一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不相等。首先利 用平面幾何的有關(guān)知識(shí)，得到EH /BD和FG/BD，以及EH = 1BD，F(xiàn)G =

3、2 BD，再利用平行線的傳遞性得到EH/FG，最終得到結(jié)論。證明：如圖，連結(jié)BD，因?yàn)镋H是口 ABD的中位線，所以 EH/BD，EH 2BD。又在中，竺竺2,CB CD 3所以 FG/BD,FG = -BD。3根據(jù)平行線的傳遞性，EH/FG。又 FG EH，所以四邊形EFGH是一個(gè)梯形。評(píng)注：要證明四邊形EFGH是一個(gè)梯形，需證明一組對(duì)邊平行且不相等，這既是梯形的定 義，也暗含著EFGH是平面圖形。在證明線線平行時(shí)常用到公理4的轉(zhuǎn)化。例3：如圖，A是平面BCD外的一點(diǎn)，G,H分別是AABC, AACD的重心，求證：GH / BD .分析：本題首先作出輔助面，通過(guò)輔助面找出線線平行，即可證得。

4、證明：連結(jié)AG, AH分別交BC, CD于M, N，連結(jié)MN，BC. G, H分別是AABC, AACD的重心，.M, N分別是BC, CD的中點(diǎn)，AH _ 2AN 3AG:.MN / BD，又.AM. GH / MN，由平行線的傳遞性知GH / BD .評(píng)注：輔助線面是解決有關(guān)線面問(wèn)題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮輔助線、面在化空間問(wèn)題為平面問(wèn) 題中的轉(zhuǎn)化作用。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中具有舉足輕重的作用，其主要途徑是把立體幾何問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。例4：如圖所示，在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊形邊上的點(diǎn)，且AM CN AQ CP , 滿(mǎn)足 =k。MB NB QD PD求證：M、N、P

5、、Q四點(diǎn)共面且M N PQ為平行四邊形。分析：要證明M、N、P、Q四點(diǎn)共面，只需證明直線MQ與直線NP平行即可，這也 是四邊形M N PQ為平行四邊形的前提條件，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用直線的傳遞性，尋找第三條直線分別與所求兩條直線平行。證明：= AQ = k MB QDMQ / BD 且AMAM + MBkk+1 TOC o 1-5 h z 即 MQ = LbD。又竺=CP = k , :. PN / BD 且一=,k +1NB PDCN + NB k +1NP CN kk:.=，即NP =BD。.MQ / NP且MQ = NP。BD CB k +1 1k +1:.M、N、P、Q四點(diǎn)共面且M N PQ為平行四邊形。評(píng)注：立體幾何問(wèn)題的解決要充分利用化歸的思想將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化 為已知，轉(zhuǎn)化的思想是解決立體幾何的最重要方法