高中數(shù)學(xué)必修二 第七章 7.1 7.1.2

1、7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)一復(fù)平面的相關(guān)概念如圖，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)zabi可用點(diǎn)Z(a，b)表示這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做eq o(,sup4(01)復(fù)平面，x軸叫做eq o(,sup4(02)實(shí)軸，y軸叫做eq o(,sup4(03)虛軸復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)zabieq o(,sup7(一一對(duì)應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的向量表示如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)zabi，連接OZ，顯然向量eq o(OZ,sup6()是由eq o(,sup4(01)點(diǎn)Z唯一確定的；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z也可以由向量eq o(,sup4(02

2、)eq o(OZ,sup6()唯一確定復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)zabieq o(,sup7(一一對(duì)應(yīng))平面向量eq o(OZ,sup6().這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義，并且規(guī)定相等的向量表示eq o(,sup4(03)同一個(gè)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模的定義公式向量eq o(OZ,sup6()的模叫做復(fù)數(shù)zabi的?；蚪^對(duì)值，記作eq o(,sup4(01)|z|或eq o(,sup4(02)|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2)(a，bR)如果b0，那么zabi是一個(gè)實(shí)數(shù)eq o(,sup4(03)a，它的模等于eq o(,s

3、up4(04)|a|(a的eq o(,sup4(05)絕對(duì)值)知識(shí)點(diǎn)四共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為eq o(,sup4(01)共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫eq o(,sup4(02)共軛虛數(shù)1復(fù)數(shù)的向量表示(1)任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)Z(a，b)對(duì)應(yīng)，而任一點(diǎn)Z(a，b)又可以與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z(a，b)為終點(diǎn)的向量eq o(OZ,sup6()對(duì)應(yīng)，這些對(duì)應(yīng)都是一一對(duì)應(yīng)，即(2)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何的橋梁，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題可以用幾何方法解決，而幾何問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的途徑

4、討論復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和應(yīng)用時(shí)，可以在復(fù)平面內(nèi)，用向量方法進(jìn)行2共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即zeq o(z,sup6()zR.利用這個(gè)性質(zhì)，可以證明一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)(3)zeq o(z,sup6()|z|2|eq o(z,sup6()|2R.z與eq o(z,sup6()互為實(shí)數(shù)化因式1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上()(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)()(4)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)

5、若eq o(OZ,sup6()(0，3)，則eq o(OZ,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_(kāi)(2)復(fù)數(shù)z14i位于復(fù)平面上的第_象限(3)復(fù)數(shù)eq r(3)i的模是_(4)復(fù)數(shù)56i的共軛復(fù)數(shù)是_答案(1)3i(2)四(3)eq r(3)(4)56i題型一 復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍解復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實(shí)部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20，解得m2或m1.(2)由題意得eq blcrc (avs4alco1(m2m20，)eq bl

6、crc (avs4alco1(1m2或m1，)1m0，解得m5，所以當(dāng)m5時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方(2)由題意得(m25m6)(m22m15)40，解得m1或meq f(5,2)，所以當(dāng)m1或meq f(5,2)時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy40上.題型二 復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)例2已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,32i，24i，試求：(1)eq o(AO,sup6()表示的復(fù)數(shù)；(2)eq o(CA,sup6()表示的復(fù)數(shù)；(3)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解由題意得O為原點(diǎn)，eq o(OA,sup6()(3,2)，eq o(OC,sup6()(2,4)(1)eq o(A

7、O,sup6()eq o(OA,sup6()(3,2)(3，2)eq o(AO,sup6()表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(3,2)(2,4)(5，2)，eq o(CA,sup6()表示的復(fù)數(shù)為52i.(3)eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(3,2)(2,4)(1,6)，eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為16i，即點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)是復(fù)數(shù)的另一個(gè)幾何意義，利用這個(gè)幾何意義，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決，平面向量問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)

8、方法來(lái)求解(1)復(fù)數(shù)43i與25i分別表示向量eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，則向量eq o(AB,sup6()表示的復(fù)數(shù)是_；(2)在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量eq o(OA,sup6()對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為12i，則點(diǎn)A關(guān)于直線yx對(duì)稱點(diǎn)為B，向量eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為_(kāi)答案(1)68i(2)2i解析(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)43i與25i分別表示向量eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()，所以eq o(OA,sup6()(4,3)，eq o(OB,sup6()(2，5)，又eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,su

9、p6()(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量eq o(AB,sup6()表示的復(fù)數(shù)是68i.(2)點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為B(2,1)，所以eq o(OB,sup6()2i.題型三 復(fù)數(shù)模的綜合應(yīng)用例3設(shè)zC，則滿足條件|z|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？解由|z|34i|得|z|5.這表明向量eq o(OZ,sup6()的長(zhǎng)度等于5，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5.因此滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的圓巧用復(fù)數(shù)的幾何意義解題(1)復(fù)平面內(nèi)|z|的意義我們知道，在實(shí)數(shù)集中，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值，即|a|是表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)O間的距離那么在復(fù)數(shù)集中

10、，類(lèi)似地，有|z|是表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)Z到坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離也就是向量eq o(OZ,sup6()的模，|z|eq o(OZ,sup6()|.(2)復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離設(shè)復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)P，Q所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，則|PQ|z2z1|.運(yùn)用以上性質(zhì)，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)問(wèn)題設(shè)zC，且滿足下列條件，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)1|z|2；(2)|zi|1.解(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，不包括環(huán)的邊界(2)根據(jù)模的幾何意義，|zi|1表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(0,1)的距離為1.滿足|zi|1的點(diǎn)Z的集合為以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的部分(不含圓的邊界)1已知aR，且0a1，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)za(a1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析0a0且a10，故復(fù)數(shù)za(a1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a，a1)位于第四象限故選D2復(fù)數(shù)z(a22a)(a2a2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0答案D解析由點(diǎn)Z在虛軸上可知，點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)和0，a22a0，解得a2或a0.3已知復(fù)數(shù)z12i(i是虛數(shù)單位)，則|z|_.答案eq r(5)解析因?yàn)閦12i，所