數(shù)學(xué)分析第12章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、 / 19第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)目的與要求：1。使學(xué)生掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定狡和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，掌握等比級(jí) 數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性；2.掌握判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，包括比較判別法，比 式判別法，根式判別法和積分判別法.重點(diǎn)與難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定爻，基本性質(zhì)和判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 的各種方法；難點(diǎn)則是應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性.第一節(jié) 級(jí)數(shù)的收斂性一級(jí)數(shù)的概念在初等數(shù)學(xué)中，我們知道：任意有限個(gè)實(shí)數(shù),“2,心相加，其結(jié)果仍是一個(gè)實(shí)數(shù)，在 本章將討論無限多個(gè)實(shí)數(shù)相加所可能出現(xiàn)的情形及特征。如11 1 1- + + + - + + 22222n從直觀上可知，其和為1.又如，l + (-

2、l) + l + (-l) + .其和無意義；若將其改寫為：(1-1) + (1-1) + (1-1) +則其和為：0;若寫為：1 + (1) + 1 + (1) + 1 +則和為：1.（其結(jié)果完全不同）。問題：無限多個(gè)實(shí)數(shù)相加是否存在和；如呆存在，和等于什么。級(jí)數(shù)的概念定狡1給定一個(gè)數(shù)列ull,將它的各項(xiàng)依次用加號(hào)“ + ”連接起來的表達(dá)式Wl +w2 +M3 + + Wzr + 稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無窮級(jí)數(shù)（簡稱級(jí)數(shù)），其中心稱為級(jí)數(shù)（1）的通項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）簡記為：力“，或工X。-!級(jí)數(shù)的部分和Sll =ZHk =IIl +U2 + + Hn稱之為級(jí)數(shù)工的第個(gè)部分和，簡稱部分和/!-1級(jí)數(shù)的收斂性

3、定狡2 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列S,r收斂于S （即腫盧” =S）,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)-lth收斂，稱S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，記作-lr-lS = UiI =Ml +M2 +w3 + + Un + n-1若部分和數(shù)列S發(fā)散，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散. -i例1試討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）Y aqZ = a + aq + aq2 + + ，(a 0)n-l的收斂性.解：見P2.例2 討論級(jí)數(shù)1+Z(Z + 1)1 1+1F1-22-33-4 的收斂性.解：見P2。二收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)級(jí)數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系由于級(jí)數(shù) IlII的斂散性是由它的部分和數(shù)列S”來確定的，因而也可以認(rèn)為數(shù)項(xiàng)級(jí)-!數(shù)是數(shù)列s“的另一表現(xiàn)形式。反之，對(duì)于任意的

4、數(shù)列仏,總可視其為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)-lXTJIln =aI +（。2 -5）+（。3 -心 +“一勺J +n-1的部分和數(shù)列，此吋數(shù)列仏與級(jí)數(shù) +（“2-5）+ （3-2）+ +（。-1）+有相同的 斂散性，因此，有級(jí)數(shù)收斂的準(zhǔn)則定理1 （級(jí)數(shù)收斂的Ca UCh y準(zhǔn)則）級(jí)數(shù)（1）收斂的充要條件是：任給正數(shù)g ,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)In N以及對(duì)任意的正整數(shù)卩，都有Um 1 Itnl 2 * Ilm p 0,對(duì)任何正整數(shù)N,總存在正整數(shù)WO （ TV）, P0,有ItnlO+l + Un2 + + 勺 o級(jí)數(shù)收斂的必要條件推論（必要條件）若級(jí)數(shù)（1）收斂，則Iim u =Oonx注：此條件只是必要的

5、,并非充分的，如下面的例3。例3 討論調(diào)和級(jí)數(shù)lil-23的斂散性.解：顯然，有Iim Un =Iirn 丄=0,但當(dāng)令 *nP = In時(shí)，有IWnJ1 w,n+2 +t+3 + + “2,”| =1 1 1+In +1 m + 2 In + 3 2m、1 Il11 + + + + =- 2n 2m 2m2n 2因此，?。ǎ?丄，對(duì)任何正整數(shù)N,只要7 N和P = Ill就有2%+%+2 + + %故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。例4 應(yīng)用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)Y丄收斂.證明：由于IIm 1 + Ilm +2 + + +p1 1 1=7 +T + +T(In +1)(？ + 2)-(m + Py1 1+

6、1 1 1 1- + - += 0,取N =丄,使當(dāng)加 N及對(duì)任何正整數(shù)p,都有1Um 1 + Um +2 + + % ” N都有Itn 叫，證明：由定義及定理5即可得X 1例1考第施解：由于當(dāng)n2時(shí),有nn -1)1X 1 X 1因正項(xiàng)級(jí)數(shù)技孑叫故若E城比較判別法的極限形式推論(比較判別法的極限形式)設(shè)工“和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 -in-1Iinl = I9n V則(1 )當(dāng)0 /V0 ,有 Nt),有 1 ,則級(jí)數(shù)工知發(fā)散.證明：(1)不妨設(shè)對(duì)一切，有仏g成立，于是，有 -qt 1(可為+ )時(shí)，級(jí)數(shù)工冷發(fā)散；當(dāng) = 1時(shí)，級(jí)數(shù)“可能收斂，也可能發(fā)散如：Y-, yoH Ir 證明：由比式判別

7、法和極限定SC即可得。例4討論級(jí)數(shù)2 25 25825 8 2 + 3( 一1)111-P1 15 159159 -1 + 4(h-1)的收斂性.例5 討論級(jí)數(shù) XnX,x 0)的收斂性.3根式判別法定理8 (柯西判別法，或稱根式判別法) 設(shè)工血為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)Nu及 正常數(shù)/,(1)若對(duì)B2N(),有訴7 NO ,有師1,則級(jí)數(shù)工叫發(fā)散。證明：由比較判別法即可得.根式判別法的極限形式推論(根式判別法的極限形式)設(shè)”為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則(1)當(dāng)vl時(shí)，級(jí)數(shù)工X收斂;(2)當(dāng)/1 (可為+ )時(shí)，級(jí)數(shù)Xx發(fā)散;當(dāng)0 = 1時(shí)，級(jí)數(shù)工“”可能收斂，也可能發(fā)散。如：一例6討論級(jí)數(shù)工弓工的斂散

8、性.解：由上推論即得 說明：因 Iim匕竺=gn Iim訴；=q 這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級(jí)數(shù)， 也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比式判別法更有效.但反之不能，如例6.三 積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。定理9設(shè)/(x)為1,+S)上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)Xf(n)與反常積分ix(-同 時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.證明:由假設(shè)f(x)為1,+s)上非負(fù)減函數(shù)，則對(duì)任何正數(shù)A, f(x)在1, A上可積，從而有f(n) f(x)dx f(n -1) , = 2,3,J“一l依次相加，得OO1 Jx)dx f(n -I)

9、 = X/00-2/-2r-l若反常積分收斂，則對(duì)Pm,有Sm = fn) / +f(x)dx 1),有f(x)dx Sz = yjf (H) X/(n) = S O-l又因f() 1,+S)上非負(fù)減函數(shù)，故對(duì)任何Al,有O f(x)dx Sn 0./1 = 12 )(1)的斂散性.作業(yè) P 1 61,2,3, 4,5,6, 7, 8, 9.P -M- 笫二T交錯(cuò)級(jí)數(shù)1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定狡若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間，即l1 -W2 +w3 _“4 + + (_1) J仏 + 則稱(1)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).2交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的判別定理11 （萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（1）滿足下述兩個(gè)條件:1o數(shù)列仏單調(diào)遞減；2

10、 o Iinl Un = 0nx則級(jí)數(shù)（1）收斂。證 （證明部分和數(shù)列$的兩個(gè)子列$,”和s2m_收斂于同一極限。）考察交錯(cuò)級(jí)數(shù)（1 ）的部分和數(shù)列szl的偶子列02”和奇子列s2m,is2in- = Ml _ （w2 _ “3）一一（”2,n-2 _ U2m-），S2,”+ （W3-H4）+ （M2,n-l -ItlJ 由條件1 . 上述兩式中各個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)都是非負(fù)的，從而數(shù)列s2.1是遞減的,而數(shù)列S是遞增的。又由條件2知道 V Slm_x - Slm = Ulm 0（m S）,從而52i,S2w.1是一個(gè)區(qū)間套.由區(qū)間套定理，存在唯一的一個(gè)數(shù)S,使得迥 S2” Ll= 52w1-x=SQ

11、所以數(shù)列僅收斂，即交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1 )收斂.推論 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，則收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的余和心的符號(hào)與余和的首項(xiàng)相同，并有| 1+1 o例1判別級(jí)數(shù)g(-l)(x0)的斂散性。 TOC o 1-5 h z XVM解 OVXS 1時(shí)，由萊布尼茨判別法知，Y(-l)n-收斂；rnXr,tX 1時(shí)，通項(xiàng)(-If 0,所以Y(-l)n 發(fā)散n鋁U二 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)1 絕對(duì)收斂和條件收斂OCOOOO若級(jí)數(shù)各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱原級(jí)數(shù)心為絕對(duì)收口】-l/1-1斂.OCOCOO若級(jí)數(shù)匕收斂，但各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)乞帆不收斂，則稱原級(jí)數(shù)你W-I-l/I-!為條件收斂.以級(jí)數(shù)（-o

12、H-為例，先說明 收斂 # 絕對(duì)收斂。2絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系定理12絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。證 （用柯西收斂準(zhǔn)則）o一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂時(shí)， 先應(yīng)判其是否絕對(duì)收斂。例2判斷級(jí)數(shù)E各是絕對(duì)收斂還是條件收斂.3絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)1o 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性我們把正整數(shù)列1, 2,到它自身的映射f : nkn稱為正整數(shù)列的 重排，相應(yīng)的對(duì)于數(shù)列叫按映射F : Un Ukin）所得到的數(shù)列仏的稱為原數(shù)列w 的08重排，相應(yīng)于此，我們也稱級(jí)數(shù)工）是級(jí)數(shù)工“的重排.-l-i定理13X設(shè)級(jí)數(shù)工心絕對(duì)收斂，且其和等于S,則任意重排后所得到的級(jí)數(shù)/1-1工你加也絕對(duì)收斂亦有相同的和數(shù)。/7-12 級(jí)數(shù)的乘積X則它們的乘

13、積為心工叫 /1-1-I TOC o 1-5 h z XIX設(shè)有收斂級(jí)數(shù)工知=A與收斂級(jí)數(shù)工 =B9 -l-l按正方形排列順序有:XX工 工叫=WlVl +wiv2 +w2v2 +m2v! +wiv3 +2V3 +V3+M3V2 + 心人 + -l/1-1按對(duì)角線排列順序有:OCX知 Vn = MlVl +M1V2 +u2 +H1V3 +W2v2 +Z3v +Uv4 +M2V3 + H3IS +M4V +八 -i-l定理14若級(jí)數(shù)=A與級(jí)數(shù)=3都絕對(duì)收斂，則按任意順序排列所得 -iW-I TOC o 1-5 h z XX到的級(jí)數(shù)乘積工5 工乙也絕對(duì)收斂，且其和等于A3。-!/!1例3 等比級(jí)數(shù)

14、J = 1 + r + r2 + + r, + ,Irl 1是絕對(duì)收斂的，將 rn 按對(duì)角線順序排列，則得到0,存在正數(shù)N,使當(dāng)nN時(shí)，對(duì)任一正 /1-1整數(shù)/兒都有又由于數(shù)列單調(diào)有界，所以存在M0,使III M ,應(yīng)用阿貝爾引理可得到“十“3M =t+l由柯西收斂準(zhǔn)則知級(jí)數(shù) YJanbn收斂.H-I狄利克雷判別法定理16 （狄利克雷判別法）若數(shù)列qr單調(diào)遞減，且Iim心=0,又級(jí)數(shù)化的部-!分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù)XanbH收斂.H-I注1 取數(shù)列仏單調(diào)遞減，且Iimcj=O- TOC o 1-5 h z Xbn =(-1)h+,由狄利克雷判別 r-i-l法， 得交錯(cuò)級(jí)數(shù)（-1）h+,6收斂. 可見萊布尼茨判別法是狄利克雷判別法的特例. W-I2o 由狄利克雷判別法可導(dǎo)出阿貝爾判別法.事實(shí)上由數(shù)列%單調(diào)有界,可知“收斂，設(shè) Ci （n CO）O考慮級(jí)數(shù)工（冷一）乞+abn , an - a單調(diào)趨 W-IH-IXXqX，于零,因化收斂,從而化的部分和有界,故級(jí)數(shù)Ya-嚨r收斂，又級(jí)數(shù)CJbn-