2022年高考數(shù)學(xué)考前必刷卷二理科(全國(guó)甲卷)(解析版)

1、B絕密啟用前2022 年高考數(shù)學(xué)考前必刷卷二(理) 全國(guó)卷地區(qū)專(zhuān)用本卷滿(mǎn)分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合A =x | 0 卜 ， B = x | -1 共 x 共 3，則 ( RA) B = ( )A x | 3 共 x 5 B x |1 共 x HYPERLINK l _bookmark1 5C x | -1 共 x 0 亭 x 5 ，所以 R A = x 1 共 x 共 5 ，故選： D2若復(fù)數(shù)z = i202 | 3+ 4i | ，則 z 的虛部為( )3 - HY

2、PERLINK l _bookmark3 4i4A - 5【答案】 A【分析】452C - i52D i5根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)z ，求出 z ，即可得出 z 的虛部.【詳解】3 - 4i 3 - 4i (3 - 4i)(3 + 4i) 5 5因?yàn)閦 = i2022 + | 3+ 4i | = (i)2020 (i)2 + 5 = - 1 + 5(3 + 4i) = - 1+ 3 + 4 i= - + i . 5 52 4所以z = - - i，故 z 的虛部為- . 2 4 45 5 5故選： A31707 年Euler 發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系： 當(dāng)a 0 ，a 豐 1 時(shí)，ax = N 等

3、價(jià)于x = log N . a若ex = 12.5 ，lg 2 如 0.3010 ，lge 如 0.4343 ，則 x 的值約為( )A 3.2190 B 2.3256 C 2.5259 D 2.7316【答案】 C【分析】利用指對(duì)互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由ex = 12.5 得： x = ln12.5 = lg12.5lge = lg1080lge = lg100 - 3lg 2lge 如 2 - 3根 0.301004343 如 2.5259 .故選： C.4關(guān)于落實(shí)主體責(zé)任強(qiáng)化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見(jiàn)指出： 非寄宿制中小學(xué)、幼兒園 原則上不得在校內(nèi)設(shè)置食品小賣(mài)部、 超市，

4、 已經(jīng)設(shè)置的要逐步退出 為了了解學(xué)生對(duì)校內(nèi)開(kāi) 設(shè)食品小賣(mài)部的意見(jiàn)，某校對(duì)100 名在校生30 天內(nèi)在該校食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)，將所得數(shù)據(jù)按照0,5)、5,10) 、10,15)、15,20) 、20,25)、25,30分成6 組，制成如圖所示的頻率分布直方圖根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是( )A該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)不低于20 的學(xué)生比率估計(jì)為20%B該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)低于10 的學(xué)生比率估計(jì)為32%C估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)的平均值不低于15D估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)的中位數(shù)介于10 至15 之間【答案】

5、C【分析】利用頻率、 頻數(shù)與樣本容量之間的關(guān)系可判斷AB 選項(xiàng)； 利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)可 判斷 C 選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷D 選項(xiàng).【詳解】由圖可得，該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)在20,30內(nèi)的占比為(0.024+ 0.016) 5 = 0.2 ，A 正確；該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)在0,10) 內(nèi)的占比為(0.024+ 0.040)5 = 0.32 ，B正確；估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)的平均值為2.5 0.12 + 7.5 0.2 +12.5 0.38 +17.5 0.1 + 22.5 0.12 + 27.5 0.08 = 13.2 ，C 錯(cuò)；該

6、校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)在0,10) 內(nèi)的占比為0.32 ，該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)在0,15) 的占比為(0.024+ 0.040+ 0.076) 5 = 0.7 ，所以該校學(xué)生每月在食品小賣(mài)部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)的中位數(shù)介于10 至15 之間， D 正確；故選： C.5 如圖，在一個(gè)正方體中， E，G 分別是棱AB ，CC 的中點(diǎn)， F 為棱CD 靠近 C 的四等分 點(diǎn).平面EFG 截正方體后，其中一個(gè)多面體的三視圖中，相應(yīng)的正視圖是( )A B C D【答案】 D【分析】根據(jù)條件可得平面EFG 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B ，然后可得答案.【詳解】連接EB，GB因?yàn)?E，G 分別是棱AB ，C

7、C 的中點(diǎn)， F 為棱CD 靠近 C 的四等分點(diǎn)所以EB/FG ，所以平面 EFG 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B所以多面體ADDA EFGCB 的正視圖為故選： D6如圖，圭表是中國(guó)古代通過(guò)測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)令的儀器，也是作為指導(dǎo)漢族勞動(dòng)人 民農(nóng)事活動(dòng)的重要依據(jù)， 它由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成， 圭是南北方向水平放置測(cè)定表影長(zhǎng) 度的刻板， 表是與圭垂直的桿， 正午時(shí)太陽(yáng)照在表上， 通過(guò)測(cè)量此時(shí)表在圭上的影長(zhǎng)來(lái)確定 節(jié)令. 已知冬至和夏至正午時(shí)，太陽(yáng)光線與圭所在平面所成角分別為a ， b ，測(cè)得表影長(zhǎng)之差為l ，那么表高為( )l tana tan b l (tan b tana) l tan b tana l

8、 (tana tan b)A B C Dtana tan b tan b tana tan b tana tana tan b【答案】 C【分析】由題意畫(huà)出圖形，找出線面角，設(shè)AB = x ，然后求解三角形得答案.【詳解】如圖，設(shè)表高AB = x ，在ACD中， 三CAD = b 一 a ，由正弦定理有 s = sin AD = sin( 一 a ) ，l . sina所以AC = sin(b 一 a ) ，AB在直角三角形ABC 中， = sin b ，AC即x = AC . sin b si一 l s一l= = 1 1一l tan b tanatan b 一 tana .tana tan

9、b故選： C7已知雙曲線x2 一 y2 = 1(a 0,b 0) 的右焦點(diǎn)為 F，過(guò)F 的直線l 與雙曲線的右支、漸近線分 a2 b2別交于點(diǎn)A，B，且AF OB (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，BF = 2AF ，則雙曲線的離心率e = ( )A 2 B 5 C 6 D 4【答案】 A【分析】b a不妨取kOB= a ，由 AF OB 得到kl = 一 b ，進(jìn)而得到l 的方程，與漸近線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)B 的坐標(biāo)，再根據(jù)BF = 2AF ，得到 A 的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c(c 0) .不妨取k = b ，則k = 一 a ，OB a l b因?yàn)镕 (c,0) ，所以

10、l 的方程為y = 一 a (x 一 c) ，b( b ( a2聯(lián)立 a一 ,(x 一 c), 得 , 即B (|( , )| .因?yàn)锽F = 2AF ，所以A 為BF的中點(diǎn)，( a2 + c2 ab )所以A |( 2c , 2c)| ，代入雙曲線方程，得|( 2c )| 一 (| 2c )| = 1 ，整理得c2 = 2a2 ，( a2 + c2 )2 ( ab )2a2 b2所以e = c = 2 .a故選： A8在無(wú)窮等差數(shù)列a 中，公差為 d，則“存在 m N* ，使得 a + a + a = a ”是“a = kdn 1 2 3 m 1( k N*) ”的( )A充分而不必要條件

11、B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】 B【分析】用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】充分性：若a = 0 ，d 0 ，此時(shí) a + a + a = 3a + 3d = 3d ，而 a = a + 3d = 3d ，滿(mǎn)足1 1 2 3 1 4 11 1 2 3 2k +4a + a + a = a ，即存在 m N* ，使得 a + a + a = a ，但是a = kd 不成立.故充分性不成立； 要 ：3若a 4 = kd ，則 a + a + a =kd + k + )d (k 2)d = (3k1+ 3)d = a ，此時(shí)m = 2k+ 4 .故必要性滿(mǎn)足.故選： B9已

12、知cos 0 ，且3sin2 4cos2 = 4 ，則 tan = ( )4 3 43 4 3A 2 B C D 士【答案】 B【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再將弦化切，解關(guān)于tan 的方程即可.【詳解】因?yàn)?sin2 4cos2 = 4 ，由二倍角公式可知，6sin cos 8cos2 + 4 = 4，即3sin cos = 4cos2 ，因?yàn)閏os 0 ，等式兩邊同時(shí)除以cos2 得， 3tan = 4，即tan = ，43故選： B.10因演出需要，身高互不相等的9 名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從 最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第七個(gè)依次遞減，第七、八、九

13、個(gè)依次遞 增，則不同的排列方式有( )種A 379 B 360 C 243 D 217【答案】 A【分析】依題意，重點(diǎn)要先排好 7 號(hào)位和 3 號(hào)位，余下的按部就班即可.【詳解】依題意作圖如下：上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3 號(hào)位必須比 124567 要高， 1 ，7 兩處是排列里最低的， 3 ，9 兩處是最高點(diǎn)，設(shè) 9 個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為 1，2，3 ，4，5 ，6，7，8，9，則 3 號(hào)位最少是 7，最大是 9，下面分類(lèi)討論：第 3 個(gè)位置選 7 號(hào)：先從 1，2 ，3 ，4，5，6 號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的 4 個(gè)號(hào)中最小的放入 7 號(hào)位

14、置，剩下的三個(gè)放入中間三個(gè)位置，8 ，9 號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即C2 C3 = 15 ；6 3第 3 個(gè)位置選 8 號(hào)：先從 1，2 ，3 ，4，5，6 ，7 號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的 5 個(gè)號(hào)中最小的放入 7 號(hào)位置，剩下 4 個(gè)選 3 個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的號(hào)和 9 號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即C2 C3 = 84 ；7 4第 3 個(gè)位置選 9 號(hào)：先從 1，2 ，3 ，4，5，6 ，7 ，8 號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的 6 個(gè)號(hào)中最小的放入 7 號(hào)位置，剩下 5 個(gè)選 3 個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的 2 個(gè)號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即C 2 C 3 = 280 ；8 5由分類(lèi)計(jì)數(shù)原

15、理可得共有15 + 84 + 280 = 379 種排列方式；故選： A.幾 2幾11在三棱錐S 一 ABC 中，三SAC = 三SBC = ，三ACB = ，AC = BC = 1 .若三棱錐S 一 ABC 2 3的體積為 1，則該三棱錐外接球的表面積為( )37幾A 13幾 B C 49幾 D 52幾 3【答案】 D【分析】由條件可知 ASC 和 BSC 為以SC 為斜邊的直角三角形，則SC 的中點(diǎn)O 為外接球的球心. 過(guò)S做SH 平面ABC ，垂足為 H ，由三棱錐的體積可求出高SH = 4 3 ，根據(jù)三角形全等 可證明H 在三ABC 的角平分線上，即三HCA = 60 ，由線面垂直的定

16、理可知AC HA ，從而 可計(jì)算CH = 2 ，勾股可知 SC 的長(zhǎng)，從而計(jì)算外接球的半徑和表面積.【詳解】幾解： 因?yàn)槿齋AC = 三SBC = ，所以 ASC 和 BSC 為以SC 為斜邊的直角三角形， 則SC 的中 2點(diǎn)O 到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，則O 為外接球的球心.即SC 為直徑.過(guò)S做SH 平面ABC ，垂足為 H ，連結(jié) HB ，HA ，則V = 人 SH 人 人1人1人 = 1，解得： SH = 4 3 .1 1 3S 一ABC 3 2 2幾AC = BC = 1 ， 三SAC = 三SBC = ， SC = SC ， ： SAC 二 SBC ，則 SA = SB2AH , B

17、H 分別為SA, SB 在平面ABC 內(nèi)的射影，所以有AH = BH ，又AC = BC ，HC 為公共邊，所以 AHC 二 BHC ，則三HCA = 三HCB ，所以 H 在三ABC 的 角平分線上， 三HCA = 60 ，AC SA ，AC SH ，SA SH = S ，所以有 AC 平面SHA ，AH 仁 平面SHA ，則有AC HA ，因?yàn)锳C =1 ，三HCA = 60 ，所以CH = 2 ，則 SC = SH2 + CH2 = 2 13 ，則R = 13故外接球的表面積為S = 4幾 R2 = 52幾 .故選： D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三棱錐的外接球的球心位置，若三棱錐所有頂點(diǎn)都在

18、某一邊為斜邊的三角形上， 則斜邊的中點(diǎn)為球心，計(jì)算斜邊的長(zhǎng)度即可求出半徑.12已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足： f(x)+ f(2 一 x)= 0 ； f(x)一 f (一2 一 x)= 0 ； 在 一1,1上的表達(dá)式為f (x )= 仁仁一1(0,，則函數(shù) f (x)與函數(shù)g (x )=(| 的圖象在區(qū)間一3,3上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )|l A 3 B 4 C 5 D 6【答案】 D【分析】先根據(jù) 知函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸，再分別畫(huà)出f(x)和g(x)的部分圖象，由圖象觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)閒 (x)+ f (2 一 x)= 0 ， f (x)一 f (一2 一 x)= 0 ，：f

19、(x) 圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(1,0) ， f (x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x = 一1 ，由 y = 1一 x2 ，x 仁 一1,0)，得 x2 + y2 = 1,一 1 共 x 想 0, y 0 ，為單位圓的 ，結(jié)合 畫(huà)出f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，據(jù)此可知f(x)與g(x)的圖象在一3,3上有6個(gè)交點(diǎn)二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13已知向量a , b 滿(mǎn)足 a 5 ， b 6，a .b 6，則 cosa ，a +b ( )【答案】 1935【分析】由數(shù)量積的夾角公式計(jì)算【詳解】由題意a . (a + b) = a2+ a .b = 25 一 6 = 19

20、，a + b = (a + b)2 = a2 + 2a . b + b2 = 25 + 2根 (一6) + 36 = 7 ，所以 cos a ， a +b a . (a + b) 19 19= = = a a + b 5 人 7 3514函數(shù) f(x)= x ln(一x)，則曲線y = f (x)在x = 一e 處的切線方程為_(kāi). 【答案】 2x 一 y + e = 0【分析】先求導(dǎo)，代入x = 一e 可得k = f ,(一e)，利用直線方程的點(diǎn)斜式即得解【詳解】由題意， f ,(x)= ln(一x)+ x 一1 = ln(一x) +1故k = f ,(一e)= lne +1 = 2,f (一

21、e)= 一e ，一x則曲線y = f (x)在x = 一e 處的切線方程為： y + e = 2 (x + e)一 2x 一 y + e = 0故答案為： 2x 一 y + e = 015已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1和F2，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為e1 ，e2 ，P為( 2 3 兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且 一 PF2 = 2 PO (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))若e1 仁 |( 2 , 2 | ，則e2 的取值范圍是_【答案】 , +w)62【分析】設(shè)出半焦距 c，用 c, e , e 表示出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，由 PF 一 PF = 2 PO1 2 1 2可得PF F 為直角三角形，由

22、此建立關(guān)系即可計(jì)算作答,1 2【詳解】c ce e設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a ，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,，它們的半焦距為 c，于是得a = ，a, = ，1 2由橢圓及雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，不妨令焦點(diǎn)F1和F2在 x 軸上，點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得： ，解得| |= a + a, ，| PF2 |= a 一 a, ，因 PF 一 PF = 2 PO ，即 F F = 2 PO ，而 O 是線段F F 的中點(diǎn)，因此有三F PF = 90 ，1 2 1 2 1 2 1 2則有| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，即(a + a,)2 + (a 一 a,)2 = 4c2

23、，整理得： a2 + a,2 = 2c2 ，1 2 1 2從而有( )2 + ( )2 = 2c2 ，即有 = 2 一 ，又 22 e1 共 23 ，則有0 ，1 2 2 1 2解得e 6 ，2 26所以e 的取值范圍是 , +w) .2 2故答案為： , +w)62【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法： 定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得a, c 值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e； 齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a, c 的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e 的一元二次方程 求解；特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率. 316已知直線y m 與函數(shù)f (x) sin x

24、4 2 ( 0) 的圖象相交，若自左至右的三個(gè)相鄰交點(diǎn)A ，B ， C 滿(mǎn)足2 AB BC ，則實(shí)數(shù)m _.【答案】 1或2 # 2 或1【分析】根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為直線y m 3 與函數(shù)y sin x 的圖象相交，由三角函數(shù)的周2 4 期性結(jié)合已知得出 AB 的長(zhǎng)并用A 和B 的橫坐標(biāo)之差表示，再結(jié)合A 和B 的中點(diǎn)函數(shù)值取最值即可求解.【詳解】 3解：由題知，直線與y m 與函數(shù) f (x) sin x ( 0) 的圖象相交 4 2等價(jià)于直線 y m 與函數(shù)y sin x 的圖象相交3 2 4 設(shè)A x , m ，B x , m ，C x , m 3 3 3 1 2 2 2 3 2 2所以

25、 AC ，1 2又由2 AB BC 得： AB AC 3 3即x x 22 1 3化簡(jiǎn)得： x x 2 2 1 3由題知點(diǎn)A 和點(diǎn)B的中點(diǎn)坐標(biāo)為： 1 2 , m x x 3 2 2 3 當(dāng)直線 y m 與函數(shù)y sin x 的交點(diǎn)在x 軸上方，則2 4 sin 1 2 1 x x 2 4 即 1 2 2k ，k Zx x 2 4 2化簡(jiǎn)得： x x 4k 1 2 2由聯(lián)立得： x 2k ，k Z1 4 6所以sin x sin 2k 1 1 4 6 2即m 3 12 2解得： m 23 當(dāng)直線 y m 與函數(shù)y sin x 的交點(diǎn)在x 軸下方，則2 4 sin 1 2 1 x x 2 4 即

26、 x1 x2 3 2k ，k Z2 4 2認(rèn)知情況化簡(jiǎn)得： x x 5 4k 1 2 2由聯(lián)立得： x 7 2k ， k Z1 4 6所以sin x1 4 sin 6 2k 2即m 3 12 2解得： m 1所以m 1或m 2故答案為： 1 或2 .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)坐標(biāo)之后列方程求出 x 或者x 的整體，進(jìn)而求出m ， 7 11 4 2 4并且要討論交點(diǎn)在正弦型函數(shù)的下半部分和上半部分的情況.三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第 22 、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60 分

27、。17(12 分) 在 2021 年的全國(guó)兩會(huì)上， “碳達(dá)峰”“碳中和”被首次寫(xiě)入國(guó)務(wù)院政府工作報(bào)告為 了減少自身消費(fèi)的碳排放， “綠色消費(fèi)”等綠色生活方式漸成風(fēng)尚.為獲得不同年齡段的人對(duì) “綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況，某地研究機(jī)構(gòu)將“90 后與 00 后”作為A 組，將“70 后與 80 后” 作為 B 組，并從A，B 兩組中各隨機(jī)選取了 100 人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián) 表：?jiǎn)挝唬喝四挲g段合計(jì)知曉不知曉A 組(90 后與 00 后)7525100B 組(70 后與 80 后)4555100合計(jì)12080200(1)若從樣本內(nèi)知曉“綠色消費(fèi)”意義的 120 人中用分層隨機(jī)抽樣的方

28、法隨機(jī)抽取16 人，問(wèn)應(yīng) 在A 組、 B 組各抽取多少人？(2)能否依據(jù)小概率值 0.005 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有 關(guān)？【答案】 (1)10，6(2)可以認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有關(guān).【分析】(1)依據(jù)分層抽樣的方法直接求解即可；(2)根據(jù)列出列聯(lián)表，然后計(jì)算卡方，從而可判斷對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡是 否有關(guān).(1)由題意知，抽樣的比例為 16 2 ，故在 A 組中抽取的人數(shù)為75 2 10 在 B 組中抽取120 15 15的人數(shù)為45 2 6 15(2)200根(75根55 一 25根 45)2由題意，得 X 2 = = 18.75

29、 7.879 = x ，120根80根100根100 0.005故依據(jù)小概率值a = 0.005 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有 關(guān).18從條件n+b ，n + 1 ， 4 中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并n bn log2 bn . log2 bn+1給出解答，已知數(shù)列an 滿(mǎn)足2an +1 = an + 1，a1 = ，bn = an 一 1(1)求證：數(shù)列b 是等比數(shù)列； n(2)求數(shù)列_的前 n 項(xiàng)和Tn.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】 (1)證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析. 【分析】(1)由題可得2a 一 2 = a 一 1 ， 2b

30、 = b ，即證；n+1 n n +1 n(2)選利用分組求和法即得；選利用錯(cuò)位相減法即得；選利用裂項(xiàng)相消法即求.(1)因?yàn)?a = a + 1 ，n +1 n所以2a 一 2 = a 一 1，n+1 n因?yàn)閎 = a 一 1，n nb 1所以2b ，n1因?yàn)閎 = a 一 1 = ，1 1 4所以數(shù)列b 是以 1 為首項(xiàng)， 1 為公比的等比數(shù)列；n 4 2(2)由上可得bn = (|()|n+1 ，選：因?yàn)閎n = (|()|n+1 ，所以n + bn = n + (|( )|n+1 ，2 1 2 2 2 2n+1則Tn = (|(1+ )| + (|(2 + )| + (|(3 + 1)|

31、 + + (|(n + 2 +1 )|= (1+ 2 + 3 + + n)+ (|( + + 1 + + 2 +1 )|= 1 n (n + 1)+ (|(1一 21n )| = n2 + n + 1 一 1 ，1一2故T = + + 一 ；n2 n 1 1n 2 2 2 2n+1選：因?yàn)閎n = (|()|n+1 ，所以則Tnn + 1 = (n + 1). 2n+1bn= 2人 22 + 3人 23 +2T = 2人 23 + 3人 24 +nT = -2人 22 - 23 - 24 -+(n + 1)人 2n+1，+(n + 1)人 2n+2 ，- 2n+1 +(n + 1)人 2n+2

32、nn 1 2n 2故T = n . 2n+2 ；n23 112n 12 22 n 1 2n 2 8 2n 2 8 n 2n 2 ，2選：因?yàn)閎n = (|()|n+1 ，所以 log2bn . log2bn+1 ，4 ( 1 1 )則Tn = 4 (|( - )|+ (|( - )| + + (|( - n 1)| + (|( n 1 - n 2)|( 1 1 ) 2n = n + 2 ，故T = 2nn n + 2 .19(12 分)如圖， 在 ABC 中，AB = 1，BC = 2 使面 ABP 面 ABC ，D 是BC 的中點(diǎn).2 ，B = ，將 ABC 繞邊AB 翻轉(zhuǎn)至 ABP ，4(

33、1)求二面角P - BC - A 的平面角的余弦值；(2)設(shè)Q 是線段PA 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC 與DQ 所成角取得最小值時(shí)，求線段AQ 的長(zhǎng)度.【答案】 (1) 33(2) 2 5 5【分析】(1)延長(zhǎng) BA ，過(guò)點(diǎn) P作PE BA ,垂足為E ，過(guò)點(diǎn) E 作EF BC ,垂足為F ,連接PF ,則 三PFE 是二面角P - BC - A 的平面角，再解三角形即得解；(2)連接EC , 以 E 為原點(diǎn)，由題得EC EB , 以EB 為x 軸， EC 為y 軸， EP 為z 軸，建立空2間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)入 = 時(shí)， PC 與DQ 所成的角最小，即得解.5(1)解：由題得AC2 = 1

34、 + 8 一 212 2 cos 45 = 5,：AC = 5 .所以cos三BAC = 1+ 5 一 8 = 一 5 想 0 ，所以 三BAC 是鈍角.21 5 5延長(zhǎng)BA ，過(guò)點(diǎn) P作PE BA ,垂足為E ，過(guò)點(diǎn) E 作EF BC ,垂足為F ,連接PF ,則三PFE 是二面角P 一 BC 一 A 的平面角.由題得PE = 2 2 cos 45 = 2 = BE ，所以EF = 2cos 45 = 2 ，所以tan 三PFE = 2 = 2 , cos 三PFE = 3 .2 3所以二面角P 一 BC 一 A 的平面角的余弦值為 3 .3(2)解：連接EC , 以E 為原點(diǎn)，由題得EC

35、EB , 以EB 為x 軸， EC 為y 軸， EP 為z 軸，建立空 間直角坐標(biāo)系，由題得B(2,0,0), A(1,0,0), E(0,0,0), C(0,2,0), 設(shè)Q(x, y, z),A)Q = 入 A)P = 入(一1,0,2), 入 =0,1,即(x 一 1,y, z) = (一入,0,2 入),：Q(1一 入,0,2 入) ,因?yàn)镈(1,1,0),D)Q = (一入, 一1,2入),P)C = (0,2, 一2),所以cos DQ, PC = 一2 一 4入 = 1 (1+ 2入)2 ,5入2 +12 2 2 5入2 +1令 f (入) = (1+ 2入)2 , 入 =0,1

36、,：f ,(入) = 2(1+ 2入)(2-5入) ，5入2 +1 (5入2 +1)2令f ,(入) = 0,入 =0,1,：入 = .25入 =0,2) 時(shí)， f ,(入 ) 0, 函數(shù)單調(diào)遞增， 入 =(2 ,1) 時(shí)， f ,(入 ) 想 0 ，函數(shù)單調(diào)遞減. 5 5所以當(dāng)入 = 2 時(shí)， f (入 ) 取最大值，此時(shí)PC 與DQ 所成的角最小，5|AQ |= 2 | AP |= 2 5 .5 5|l 4 + m2 = 2 320 (12 分)已知點(diǎn) F 為拋物線E：y22px (p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn) A (2 ，m)在拋物線 E 上， 且到原點(diǎn)的距離為 2 3 .(1)求拋物線 E 的方程

37、；(2)已知點(diǎn) G (1，0)，延長(zhǎng)AF 交拋物線于點(diǎn) B，證明：以點(diǎn)F 為圓心且與直線 GA 相切的 圓必與直線 GB 相切【答案】 (1)y24x(2)證明見(jiàn)解析 【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，及點(diǎn)到原點(diǎn)的距離列出方程組，求出： p2，得到拋物線方程； (2)求出直線 AF，聯(lián)立拋物線方程后得到 B 點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線 GB 和 GA，利用點(diǎn) F 到兩 直線距離相等證明出結(jié)論.(1)由題意可得: ，解得： p2，(|m2 = 4p所以拋物線 E 的方程為： y24x.(2)設(shè)以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切的圓的半徑為r.土由4取A(2, 2 2 )由A(2, 2 2 )，F(xiàn) (1 ，

38、0)可得直線 AF 的方程為： y = 2 2 (x - 1)，(|y = 2 2 (x - 1)聯(lián)立|ly2 = 4x ，得： 2x25x20，解得： x2 或 x ，從而B(niǎo)(|( , - 2 )| .所以直線 GB 的方程為2 2x +3y + 2 2 = 0 ，易知直線 GA 的方程為2 2x - 3y + 2 2 = 0 ，從而r 因?yàn)辄c(diǎn) F 到直線 GB 的距離d 2 2 2 2 4 2 r ，所以以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切8 9 17的圓必與直線 GB 相切21 (12 分)已知函數(shù)f x x a ln x .(1)求函數(shù)f x 的極值點(diǎn)；(2)若函數(shù)f x 的圖象與g

39、x 1 的圖象有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)，試求a 的取值范圍. x【答案】 (1)極小值點(diǎn)x a ，無(wú)極大值點(diǎn)(2) 2, 【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分a 0 和a 0 討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h x f x g x x 1 a ln x 有 3 個(gè)不相等的零點(diǎn)， 然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， x分a 0 ，0 a 2 和a 2 三種情況，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可求出a 的范圍(1)f x 的定義域是0, ，求導(dǎo)得 f x 1 a x ax x當(dāng)a 0 時(shí)， f x 0 ，函數(shù) f x 沒(méi)有極值點(diǎn)當(dāng)a 0 時(shí)，令f x 0

40、得x a ，在 0,a 上f x 0 ，f x 單調(diào)遞減，在 a, 上， f x 0 ， f x 單調(diào)遞增.所以函數(shù)f x 有極小值點(diǎn)x a ，無(wú)極大值點(diǎn)，綜上，當(dāng)a 0 時(shí)， f x 沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a 0 時(shí)， f x 有極小值點(diǎn)x a ，無(wú)極大值點(diǎn)，(2)問(wèn)題等價(jià)于h x f x g x x 1 a ln x 有 3 個(gè)不相等的零點(diǎn)，x函數(shù)的定義域是0, ，求導(dǎo)得h x 1 1 a x2 ax 1 ， x2 x x2記 p x x2 ax 1，當(dāng)a 0 時(shí)，在0, 上 p x 0 ，h x 0 ，hx 單調(diào)遞增，不可能有 3 個(gè)零點(diǎn)當(dāng)0 a 2 a2 4 0 ，同樣可得 p x 0 ，h

41、x 0 . hx 在0, 上單調(diào)遞增，不可能有 3 個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a 2 時(shí)，令p x x2 ax 1 0 ，得x a a2 4 ， x a a2 4 ，1 2 2 2由韋達(dá)定理x x 1 ， x x a 2 ，所以 0 x 1 x在0,x 上 p x 0 ，h x 0 ，hx 單調(diào)遞增，11 2 1 2 1 2在 x , p x 0 ，h x 0 ，hx 單調(diào)遞增，2在 x , x 上 p x 0 ， h x 0 ，hx 單調(diào)遞減，1 2因?yàn)? x , x ， h1 0 ，1 2所以h x h1 0 h x 在區(qū)間 , 考察ha22的取值.2因?yàn)閔 a2 a2 1 a ln a2 a 2 ，記q

42、 a a2 1 a ln a2 a 2a2 a2求導(dǎo)得q,(a p= 2a + 2 _ 2 (ln a + 1p= 2 (a _ ln a _ 1p+ 2 2 0這里證明一下，當(dāng) 2 時(shí)， s (ap= a _ ln a _ 1 因?yàn)閟,(a p= 1_ 1 0 ，s (ap s(1p= 0 ，所以q(ap在(2,p上單調(diào)遞增，q (a p q (2p = 4 _ 1 = 4ln 2 0 ，即h(a2p 0 ，在h(xp單調(diào)遞增 區(qū)間(x , +wp上， h (x p 0 ，所以存在唯一的x =(x , a p使得h(x p= ，0 2 0注意到h(x0 p+ h(|( 1x0 )| = x0 _ 1x0 _ a ln x0 + 1x0 _ x0 _ a ln 1x0 = 0 ，所以h(|( 1x0 )| = 0 ，由x x 亭 1 1 = x ，所以在單調(diào)遞增的區(qū)間(0,x p上有唯一的零點(diǎn) 1 ，0 2 00 2 x x 1 1 x綜上所述，函數(shù)f(xp的圖像與g(xp= 1 的圖像有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(2,+wp. x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： 此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用， 考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)， 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為