線性代數(shù)線性方程組 3.5 齊次線性方程組解得結(jié)構(gòu)(30P)

1、主要內(nèi)容一. 齊次線性方程組解的性質(zhì)二. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)、計(jì)算方法都是線性方程組的理論基礎(chǔ)，它們?cè)趯?shí)際應(yīng)用與研究上都十分重要，我們必須熟練掌握.3.5 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)三. 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)四. 齊次線性方程組解的計(jì)算方法1一. 齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有齊次線性方程組（3.12）若記2則上述方程組（ ）可寫成矩陣方程證也是它的解.性質(zhì)1 若是齊次線性方程組（ 3.12 ）的解，則因?yàn)?是方程組（ 3.12 ）的解，故的常數(shù) k，性質(zhì)2 若是齊次線性方程組（ 3.12 ）的解，則對(duì)任意也是它的解.3它的線性組合推論 若是方程組（ 3.12 ）

2、的s個(gè)解向量，則是任意的常數(shù).仍是它的解.其中二. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系定義3.13 設(shè)為齊次線性方程組（ 3.12 ）的一組解向量，若（1） 線性無(wú)關(guān)；（2）齊次方程組（ ）的任意一個(gè)解向量都可以由線性表示.4則稱 是齊次線性方程組（3.12）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理3.10 設(shè)A是矩陣若則方程組（3.12）存在一個(gè)由 n - r個(gè)解向量構(gòu)成的基礎(chǔ)解系,且表示了方程組（）的全部解，5 由高斯消元法，對(duì)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形階梯矩陣先證方程組（3.12）存在n - r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量證6則方程組（）的同解方程組為7現(xiàn)對(duì) 取下列 組數(shù)：8依次得從而求得原方程組的 個(gè)解：9依

3、次得(3.15)的截?cái)嘞蛄拷M組線性無(wú)關(guān),從而向量組 線性無(wú)關(guān). 下面證明齊次線性方程組(3.12)的任意一個(gè)解向量都可以由解向量組 線性表示設(shè)是線性方程組(3.12)的任意一個(gè)解向量10由齊次線性方程組解性質(zhì)之推論知 亦是方程組（）的一個(gè)解向量，所以仍是方程組（）的一個(gè)解向量，將它代入同解方程組11）中，得到從而， 即 可見(jiàn)齊次線性方程組(3.12)的任意一個(gè)解向量都可以由解向量組 線性表示,故 是齊次線性方程組(3.12)的基礎(chǔ)解系.注2 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是不唯一的，但不同的基礎(chǔ)解系彼此是等價(jià)，所表達(dá)的解集是相同的.的解稱為線性方程組(3.12)的通解（或稱一般解）.注1 通常將形如

4、12由定理可得求解齊次線性方程組通解的步驟 （1）對(duì)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形階梯矩陣； （2）將其行最簡(jiǎn)形階梯矩陣轉(zhuǎn)化為同解的階梯形方程組； （3）由同解的階梯形方程組寫出方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ；13 （4）寫出方程組的通解表達(dá)式例1 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)階梯矩陣，有141516例2 解線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換17即方程組有無(wú)窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.將階梯矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行行初等變換，得行最簡(jiǎn)形階梯矩陣18是B的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且有19是A的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且有比較原方程

5、組的向量形式得原方程組的基礎(chǔ)解系20或原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為21例3設(shè)矩陣A、 B分別是矩陣，且試證明證當(dāng)B = O時(shí)結(jié)論顯然成立，現(xiàn)證中至少有一個(gè)是非零向量. 由得將 B 按列分塊為，則22而 B的列向量都可以 由線性表示, 所以即故 B 的每個(gè)列向量都是齊次方程組 的解向量這說(shuō)明齊次方程組 有非零解，從而有基礎(chǔ)解系23例4證24已知三階矩陣B0且B的每一個(gè)列向量都是方程組的解。（1）求 的值；（2）證明。思考題1思考題1解答25因?yàn)锽的列向量是方程組的解，所以 （2）因?yàn)閞 =2，所以方程組的基礎(chǔ)解系只有1個(gè)解向量，3個(gè)解必線性相關(guān)，而B的列向量都是方程組的解，所以B的

6、列向量線性相關(guān)。即系數(shù)矩陣的秩 r = 2故B= 0.26已知齊次線性方程組 思考題2【分析】顯然方程組（II）的未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，故方程組方程組（II）有無(wú)窮多解. 因?yàn)榉匠探M（I）與（II）同解，于是方程組（I）也有無(wú)窮多解，所以方程組（I）的系數(shù)矩陣的秩小于3, 從而可確定a，這樣先求出（I）的通解，再代入方程組（II）確定 b, c 即可.同解，求a , b, c 的值.27對(duì)方程組（I ）的系數(shù)矩陣施以初等行變換思考題2解答 從而 a = 2. 此時(shí)，方程組（I ）的系數(shù)矩陣可化為 ，28故是方程組（I ）的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 將代入方程組（II ）可得 ，當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組（II）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有顯然此時(shí)方程組（I）與（II）