北師大七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第四章《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)

1、三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形有關(guān)的概念,掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，能應(yīng)用內(nèi)角和定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算及證明問題.2.理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理；3.了解三角形中三條重要的線段并能正確的作圖.4.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實(shí)際生活中存在的問題.5.掌握常見的尺規(guī)作圖方法，并根據(jù)三角形全等判定定理利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180要

2、點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系要點(diǎn)二、三角形的分類【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段三角形的分類】1.按角分類：等腰三角形等邊三角形三角形銳角三角形斜三角形三角形底邊和腰不相等的等腰三角形直角三角形鈍角三角形要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：不等邊三角形要點(diǎn)詮釋：不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩

3、腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)三、三角形的三邊關(guān)系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍（3）證明線段之間的不等關(guān)系2.三角形的重要線段：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三

4、種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.要點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1“邊邊邊”：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.“全等三角形判定2“角邊角”：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定3“角角邊”：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）全等三角形判定4“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“

5、SAS”）.（要點(diǎn)詮釋：1）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.要點(diǎn)五、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角，并利用全等三角形的知識(shí)作一個(gè)三角形與已知三角形全等；要點(diǎn)詮釋：要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對(duì)于作圖要用正確語言來進(jìn)行表達(dá).【典型例題】類型一、三角形

6、的內(nèi)角和【高清課堂：與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】eqoac(,1.)在ABC中，ABCC，BD是AC邊上的高，ABD30，則C的度數(shù)是多少?【思路點(diǎn)撥】按ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論【答案與解析】解：分兩種情況討論：（eqoac(,1)）當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在ABD中，BD是AC邊上的高(已知)，ADB90(垂直定義)又ABD30(已知)，A180-ADB-ABD180-90-3060又A+ABC+C180(三角形內(nèi)角和定理)，ABC+C120，又ABCC，C60(2)當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示在直角ABD中，ABD30(已知)，所以BAD60BAC12

7、0又BAC+ABC+C180(三角形內(nèi)角和定理)，ABC+C60C30綜上，C的度數(shù)為60或30【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)舉一反三【變式】已知：如圖，在ABC中，ABC345，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于H，則BHC的度數(shù)為.【答案】135.類型二、三角形的三邊關(guān)系及分類2.（2016春故城縣期末）已知：a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|b+ca|+|bca|cab|ab+c|.【思路點(diǎn)

8、撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a+bc，a+cb，b+ca，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可【答案與解析】解：a、b、c為三角形三邊的長(zhǎng)，a+bc，a+cb，b+ca，原式=|（b+c）a|+|b（c+a）|c（a+b）|（a+c）b|=b+ca+a+cbab+c+bac=2c2a【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵舉一反三【變式】（2015朝陽(yáng)）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，若它的第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為【答案】8解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，兩邊長(zhǎng)分別是2和3，32x3+2，即：1x5，第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，x=3，這

9、個(gè)三角形的周長(zhǎng)為2+3+3=8.3.如圖，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB和OC(1)你能說明OB+OCAB+AC的理由嗎?(2)若AB5，AC6，BC7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在ABE中，AB+AEBE；在EOC中，OE+ECOC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+ECBE+OC由圖可知，AE+ECAC，BEOB+OE180=90180=72所以AB+AC+OEOB+OC+OE，即OB+OCAB+AC(2)因?yàn)镺B+OCBC，所以O(shè)B+OC7又因?yàn)镺B+OCAB+AC，所以O(shè)B+OC11，所以7OB+OC1

10、1【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題4.有一個(gè)等腰三角形，它的兩個(gè)角的度數(shù)比是1：2，這個(gè)三角形按角分類可能是什么三角形？【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樵摰妊切蔚膬蓚€(gè)角的度數(shù)比是1：2，則這個(gè)三角形三個(gè)角度數(shù)的比為1：2：2或1：1：2，進(jìn)而根據(jù)按比例分配知識(shí)，分別求出三角形的最大角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角形的分類進(jìn)行判斷即可【答案與解析】解：（1）1+1+2=4，24該三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，25最大角為72度，是銳角，該三角形的三個(gè)角都是銳角，即該三角形是銳角三角形；綜上所述：該三角形是直角三角形或銳角三角形（【總結(jié)升華】解答此題用到的在知識(shí)點(diǎn)：1）三角形的內(nèi)角和180

11、度；2）按比例分配知識(shí)；（3）三角形的分類；舉一反三23【變式】一個(gè)三角形的三個(gè)角的度數(shù)比是1：，這個(gè)三角形中最小的一個(gè)角是度，按角分類，這個(gè)三角形是三角形【答案】30；直角.類型三、三角形的重要線段5.如圖eqoac(,13)，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，求FCD的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由圖可知CDF是eqoac(,Rt)CDF的一個(gè)內(nèi)角，求CDF可先求出FCD，CDB為直角三角形，所以可以求出BCD，而FCD=BCEBCD.【答案與解析】在ABC中，A=40，B=72，由三角形的內(nèi)角和定理得：BCA=180-72-40=68又CE平分ACB，BCE=B

12、CA=34，在中，CDAB于D，B=72BCD=90-72=18FCD=BCEBCD=34-18=16.即FCD=16.【總結(jié)升華】這是三角形內(nèi)角和定理在直角三角形中的應(yīng)用，直角三角形兩個(gè)銳角互余，所以在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的大小，就可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).舉一反三【變式】如圖eqoac(,14)，ABC中，B34，ACB104，AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線，求DAE的度數(shù)【答案】DAE=35類型四、全等三角形的性質(zhì)和判定6.（2015通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，其中BAE=BCE=ACD=90，且BC=CE，求證：ABC與DEC全等【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同角的余

13、角相等可得到3=5，結(jié)合條件可得到1=D，再加上BC=CE，可證得結(jié)論【答案與解析】解：BCE=ACD=90，3+4=4+5，3=5，在ACD中，ACD=90，2+D=90，BAE=1+2=90，1=D，在ABC和DEC中，ABCDEC（AAS）【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACBABC求證：CD2CE【答案】證明：延長(zhǎng)CE至F使EFCE，連接BFEC為中線，在AEC與BEF中，AECBEF,CEEF,在FCB與DCB中，F(xiàn)BCDBC

14、,BCBC,AEBEAEBE,AECBEF（SAS）ACBF，AFBE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BCABCAACAB，DBCFBCABBF又BC為ADC的中線，ABBD即BFBDBFBD,FCBDCB（SAS）CFCD即CD2CE類型五、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用7.為在池塘兩側(cè)的A，B兩處架橋，要想測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，有以下兩種方法：（1）如圖所示，找一處看得見A，B的點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)到D，使PA=PD，連接BP并延長(zhǎng)到C，使PC=PB測(cè)得CD=35m，就確定了AB也是35m，說明其中的理由；使（2）如圖所示，也可先過B點(diǎn)作AB的垂線BF，再在BF上取

15、C，D兩點(diǎn)，BC=CD接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE交AC的延線長(zhǎng)于E，則測(cè)出DE的長(zhǎng)即為A，B的距離你認(rèn)為這種方案是否切實(shí)可行，請(qǐng)說出你的理由作BDAB，EDBF的目的是什么？若滿足ABD=BDE90，此方案是否仍然可行？為什么？（【思路點(diǎn)撥】本題兩種測(cè)量方案實(shí)際上是利用三角形全等的知識(shí)構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，通過測(cè)量這個(gè)三角形中與AB相等的線段的長(zhǎng)，從而得知AB的距離【答案】eqoac(,1)）由APBDPC，所以CD=AB（2）由ACBECD得DE=AB目的是使DEAB，可行【總結(jié)升華】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決類型六、用尺規(guī)作三角形8.已知：線段a，b求作

16、：ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【思路點(diǎn)撥】首先畫線段AC=2a，再以A為圓心，a長(zhǎng)為半徑畫弧，再以C為圓心，b長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，連接AB、BC即可【答案與解析】解：如圖所示：，ABC即為所求【總結(jié)升華】此題主要考查了作圖，關(guān)鍵是掌握作一條線段等于已知線段的方法；利用三角形全等判定定理”邊邊邊”解決本題舉一反三【變式】作圖題（尺規(guī)作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡）如圖，已知，、求作AOB，使AOB=2+【答案】解：只要方法得當(dāng)，有作圖痕跡就給分，無作圖痕跡不給分【鞏固練習(xí)】一.選擇題1（2015北海）三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的（）A內(nèi)

17、心B外心C中心D重心2.如圖,在AOB的兩邊上截取AOBO,CODO,連結(jié)AD、BC交于點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的是()AODBOC；APCBPD；點(diǎn)P在AOB的平分線上A.只有B.只有C.只有D.3.如圖，三角形的角平分線、中線、高的畫法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.34已知如圖，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BCeqoac(,3)，則ADE的面積為（）A.1B.2C.5D.無法確定5.利用尺規(guī)作圖不能唯一作出三角形的是（）A.已知三邊B.已知兩邊及夾角C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角6.如圖，ABBC于B，BEAC于E，12，D為AC上一點(diǎn)，ADAB，則

18、（）A1EFDBFDBCCBFDFCDDBEEC7.如圖，已知ABAC，PBPC，且點(diǎn)A、P、D、E在同一條直線上.下面的結(jié)論：EBEC；ADBC；EA平分BEC；PBCPCB.其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.如圖所示的44正方形網(wǎng)格中，1+2+3+4+5+6+7=（）A330B315C310D320二.填空題9.（2015佛山）各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有個(gè)P10.如圖，已知點(diǎn)C是AOB平分線上的點(diǎn)，點(diǎn)P、分別在OA、OB上，如果要得到OP=OP，需要添加以下條件中的某一個(gè)即可：OCP=OCP；OPC=OPC；PC=PC；PPOC請(qǐng)你寫出所有可能的結(jié)果的序號(hào)

19、：11.如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OEOF的值為eqoac(,12)（2016莘縣一模）如圖，在ABC中，ABC、ACB的平分線BE、CD相交于點(diǎn)F，ABC=42，A=60，則BFC=13.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形的周長(zhǎng)最小值是_14.如圖所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分線，B=36，C=76，則DAE的度數(shù)eqoac(,15)如圖，在ABC中，AD是A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是.

20、16.如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序?yàn)?、3、4、6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整。若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為.三.解答題17.（2016南充）已知ABN和ACM位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求證：BD=CE；（2）求證：M=N18如圖所示，已知D是AB上一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)F，A62，ACD15，ABE20.(1)求BDC的度數(shù)；(2)求BFD的度數(shù)；(3)試說明BFCA.19.如圖所示，ABC中，D，E在BC上，且DEEC，過D作DFBA，交AE于點(diǎn)F，DFAC

21、，求證：AE平分BACeqoac(,20)如圖畫一個(gè)等腰ABC，使底邊長(zhǎng)BC=a，底邊上的高為h（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D2.【答案】D；【解析】可由SAS證，由和AAS證，SSS證.3.【答案】D；【解析】三角形的中線是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)連接的線段；三角形的角平分線是指三角形內(nèi)角的平分線與對(duì)邊交點(diǎn)連接的線段；三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段4.【答案】A；【解析】因?yàn)橹繟D的長(zhǎng)，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出ADE的面積過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于F，構(gòu)造出eq

22、oac(,Rt)EDFeqoac(,Rt)CDG，求出GC的長(zhǎng)，即為EF的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式解答即可5.【答案】D；【解析】A、邊邊邊（SSS）；B、兩邊夾一角（SAS）；C、兩角夾一邊（ASA）都是成立的只有D是錯(cuò)誤的，故選D6.【答案】B；【解析】證ADFABF，則ABFADFACB，所以FDBC.7.【答案】D；8.【答案】B；【解析】由圖中可知：4=90=45，1和7的余角所在的三角形全等1+7=90同理2+6=90，3+5=904=451+2+3+4+5+6+7=390+45=315二.填空題9.【答案】20.【解析】各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為8，三邊長(zhǎng)可以為：1，8，8

23、；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8；故各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有20個(gè)10.【答案】；【解析】OCP=OCP，符合ASA，可得二三角形全等，從而得到OP=OP；OPC=OPC；符合AAS，可得二三角形全等，從而得到OP=OP；PPOC，符合ASA，可得二三角形全等，從而得到OP=OP；中給的條件是邊邊角，全等三角形判定中沒有這個(gè)定理故填11.【答案】1；【解析】連接eqoac(,AO)，

24、ABO的面積ACO的面積ABC的面積，所以O(shè)EOF等邊三角形的高.12【答案】120；【解析】解：ABC=42，A=60，ABC+A+ACB=180ACB=1804260=78又ABC、ACB的平分線分別為BE、CDFBC=，F(xiàn)CB=又FBC+FCB+BFC=180BFC=1802139=120故答案為：12013.【答案】15；【解析】提示：由三角形三邊關(guān)系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周長(zhǎng)最小值為1514.【答案】20；【解析】解：B=36，C=76，BAC=180BC=68，AE是角平分線，EAC=BAC=34AD是高，C=76，DAC=90C=14，DAE=EACDAC=3414=2015【答案】m+nb+c；【解析】在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AC，連接ED，EP，AD是A的外角平分線，CAD=EAD，在ACP和AEP中