理論力學ch7動力學基礎(chǔ)

1、 第三篇 動力學學習任務(wù)：分析運動與力之間的關(guān)系學習內(nèi)容：動力學基礎(chǔ) 動能定理 動量定理 達朗伯原理 虛位移原理 動力學普遍方程和拉格朗日方程基本問題：已知運動求力-動力學第一類問題 已知力求運動-動力學第二類問題矢量（牛頓）力學分析力學1 第七章 動力學基礎(chǔ) 7.1 慣性參照系中的質(zhì)點動力學質(zhì)點m在合力F作用下的加速度為a,則由牛頓第二定律，有由運動學知：采用直角坐標系：直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程2采用自然坐標系：自然軸系形式的質(zhì)點運動微分方程注意（1）投影式方程兩邊的正方向相同。（2）坐標與坐標導數(shù)的正方向一致。3例一圖示質(zhì)量m=2kg的物塊M放在水平轉(zhuǎn)臺上，物塊至鉛直轉(zhuǎn)動軸的距離r=

2、1m。現(xiàn)轉(zhuǎn)臺從靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，角加速度=0.5rad/s2，如物塊與轉(zhuǎn)臺間的滑動摩擦系數(shù)f=1/3，求：（1）物塊在轉(zhuǎn)臺上開始滑動的時間。（2）t=2s時，物塊所受的摩擦力為多大？OMr解：（1）分析運動質(zhì)點微分方程（2）受力分析47.2 非慣性參照系中的質(zhì)點動力學MOzxyO1z1x1y1運動學中加速度合成定理r1F牛頓第二定律牽連慣性力科氏慣性力質(zhì)點相對運動的動力學基本方程5注意（1）只要在力中增加牽連慣性力和科氏慣性力，非慣性參考系中的運動仍服從牛頓第二定律。（2）牽連慣性力和科氏慣性力無施力物體，也無反作用力。（3）兩慣性力均與非慣性系的絕對運動有關(guān)，科氏慣性力還與質(zhì)點相對于非慣性

3、系的相對速度有關(guān)。6M例二 小車的側(cè)面鉛直，質(zhì)量M的物塊與小車間的靜滑動摩擦系數(shù)為f。若使物塊不致下落，則小車的加速度應(yīng)滿足什么條件？解：設(shè)小車為參照系，M相對小車靜止a設(shè)小車加速度為a,則MgFIeFfFNFIc=071質(zhì)點系的質(zhì)量中心-平動的動力學特性2質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量-轉(zhuǎn)動的動力學特性 7.3 質(zhì)點系質(zhì)量分布的特征量質(zhì)點系的動力學特性與質(zhì)點系質(zhì)量分布密切相關(guān).質(zhì)點系質(zhì)量分布有兩個特征量87.3.1質(zhì)點系的質(zhì)量和質(zhì)量中心 定義： 設(shè)一質(zhì)點系有n個質(zhì)點組成,其中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi,相對于某確定定點o的矢徑為ri,將質(zhì)點系的質(zhì)量總和,定義為質(zhì)點系的質(zhì)量用M表示,即由下式確定的矢徑 所對應(yīng)的

4、點稱為質(zhì)點系的質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心:9注意 (1)質(zhì)點系的質(zhì)心不一定與質(zhì)點系中的某個質(zhì)點重合,它有可能在質(zhì)點系外!其中 為質(zhì)點的直角坐標。在以O(shè)點為基點建立的直角坐標系 中,質(zhì)心的直角坐標公式為 102)當質(zhì)點系中的各質(zhì)點位置發(fā)生變化時,其質(zhì)心的位置一般也要發(fā)生變化!例如: 圓環(huán)的質(zhì)心不在其環(huán)上，而在圓環(huán)中心O117.3.2剛體的轉(zhuǎn)動慣量 式中 分別為第 個質(zhì)點的質(zhì)量和到該軸的距離J=1.轉(zhuǎn)動慣量 定義:將剛體體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到某一確定軸的距離平方的乘積之和定義為剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量. 用J表示,即12注意若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,就可以引入積分形式表示: 式中 為質(zhì)量為 的微元到該軸的

5、距離 M 表示積分范圍遍及剛體全部質(zhì)量. 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個與其運動狀態(tài)無關(guān)的而僅與其質(zhì)量分布有關(guān)的特征量13 若在某一個剛體上或其延拓部分的O點建立一與剛體固接的直角坐標系Oxyz,設(shè)質(zhì)量為 的微元的坐標為 ( ),該剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為 M: 剛體的總質(zhì)量 : 剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣量半徑如剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量表示為 它可視為將剛體的全部質(zhì)量都集中于距z軸距離為 的某一點對z軸的轉(zhuǎn)動慣量.14說明 在解決實際問題中一般規(guī)則幾何形狀的勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量可以直接算出另外的一些轉(zhuǎn)動慣量可以通過查詢工程手冊得到15 例7.1 一直均質(zhì)的細長桿的質(zhì)量為M ，長為L，求桿對通過其質(zhì)心，且垂直于桿的

6、z軸的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。 x yCx(1)建立坐標系，如圖所示，沿桿向取微段 ，其坐標為（x,0,0），其質(zhì)量為 解：=16(2)上述質(zhì)量微元離z軸的距離為 ， 桿對z 軸轉(zhuǎn)動慣量為：(3) 桿對z軸的回轉(zhuǎn)半徑為17例7. 2 已知厚度相等的均質(zhì)薄圓盤的半徑為R，質(zhì)量為M，求圓盤對過其中心，且垂直于圓盤平面的z軸的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑 x yCr解：1取半徑為r,寬度為dr的圓環(huán)，其質(zhì)量是:183圓盤對z軸的回轉(zhuǎn)半徑為2上述圓環(huán)的各質(zhì)點到z軸的距離都為r,于是圓盤對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為:19說明 由轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理和轉(zhuǎn)動慣量疊加定理，可以快捷的求出由幾個簡單圖形組合而成的剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量

7、。有空心剛體=無空心整體-空心部分 (轉(zhuǎn)動慣量） 剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積 記為2.轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理20 例7.3均質(zhì)細長直桿長為L,質(zhì)量為m,桿的一端與以質(zhì)量為M的,外徑為2R的,內(nèi)徑為2r的均質(zhì)圓環(huán)相固連,求該剛體對過桿的另一端O且垂直于剛體所在平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量o (1) 設(shè) , 分別為桿,圓環(huán)的質(zhì)心, 解:21剛體可看成是由這三部分組成的: #2半徑為r,中心在 處的均質(zhì)圓盤1,質(zhì)量為#3半徑為R,中心也在 處的均質(zhì)圓盤2#1桿,質(zhì)量為m22于是233.剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量公式AL建立任一以A為原點與剛體

8、固連的直角坐標系矢量式中 , , , 分別為L,x,y,z軸正向的單位則空間任一L軸的 三個方向余弦為24設(shè)微元 相對于A的矢徑為r,它在 中的坐標為 ,該微元到L軸的距離的平方為式中得25引入稱其為慣性積表示剛體內(nèi)各質(zhì)量微元的質(zhì)量與其兩個直角坐標的乘積之和再將慣性積代入26寫成矩陣形式轉(zhuǎn)動慣量慣性積27對確定的剛體,各元素都為常數(shù),與剛體的運動無關(guān)注意特征慣量:慣量張量矩陣:矩陣J剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)軸公式:284.主轉(zhuǎn)動慣量如果與某一軸相關(guān)的兩個慣性積都為零,那么這軸為剛體對原點的一根慣量主軸或慣性主軸如在直角坐標系 中,與z軸相關(guān)的兩個慣性積 為零,則稱z軸為剛體對A點的慣量主軸或慣

9、性主軸若在A點再建立一個與剛體相固連的直角坐標系 ,設(shè) 為三軸正向的單位矢量29這兩個坐標系的單位正交基之間是一個正交變換記為Q于是30式中 為質(zhì)量為 的同一微元在 中坐標,若記則有或存在正交變換矩陣Q,使 為對角矩陣此時 ,說明軸都為剛體A的慣量主軸,這樣的坐標系稱為慣量主軸坐標系31說明主轉(zhuǎn)動慣量:剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量中心轉(zhuǎn)動慣量:過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量中心主轉(zhuǎn)動慣量:過質(zhì)心慣量主軸所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量 J的三個特征值為主轉(zhuǎn)動慣量 三個特征值對應(yīng)的特征向量方向為 慣量主軸方向32當剛體質(zhì)量分布具有對稱性時,定理一:如果剛體有質(zhì)量對稱軸,則該軸是剛體對軸上任一點的一根慣量主軸,同時也是剛體的一根中

10、心慣量主軸D(x,y,z)zyx證明設(shè)z軸為剛體的質(zhì)量對稱軸在z軸上選一點A,以A為原點建立任意與剛體固連的直角坐標系A(chǔ)xyz.33根據(jù)對稱性,若在坐標為(x,y,z)的D處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,則在坐標為(-x,-y,z)的處也有一質(zhì)量也為m的另一質(zhì)點 ,則整個剛體的故Az軸是剛體對A點的一根慣性主軸,又A點是剛體質(zhì)量對稱軸上的任選的一點證明:剛體的質(zhì)量對稱軸必是剛體對軸上任一點的一根慣量主軸34剛體的質(zhì)心必在其質(zhì)量對稱軸上,故Az軸必過剛體的質(zhì)心也證明了剛體的質(zhì)量對稱軸必是剛體的一根中心慣量主軸如果剛體具有質(zhì)量對稱面,則垂直于該對稱面的任一軸必為剛體對該軸與對稱面交點的一根慣量主軸定理二:35D(