近世代數期末考試題庫-2022年整理

1、26/26近世代數模擬試題一一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設ABR(實數集)，如果A到B的映射：xx2，xR，則是從A到B的（ ）A、滿射而非單射B、單射而非滿射C、一一映射D、既非單射也非滿射2、設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合AB中含有（ ）個元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b， a,bG都有解，這個解是（ ）乘法來說A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(兩方程解一樣)

2、4、當G為有限群，子群H所含元的個數與任一左陪集aH所含元的個數（ ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（ ）A、倍數 B、次數 C、約數 D、指數二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、設集合；，則有。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的。3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個。4、偶數環(huán)是的子環(huán)。5、一個集合A的若干個-變換的乘法作成的群叫做A的一個。6、每一個有限群都有與一個置換群。7、全體不等于0的有理數對于普通乘法來說作成一個群，

3、則這個群的單位元是，元a的逆元是。8、設和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。9、一個除環(huán)的中心是一個。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設置換和分別為：，判斷和的奇偶性，并把和寫成對換的乘積。證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。3、設集合，定義中運算“”為ab=(a+b)(modm),則（，）是不是群，為什么？證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）設是群。證明：如果對任意的，有，則是交換群。2、假定R是一個有兩個以上的元的環(huán)，F是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。近世代數模擬試題二單項選擇題1、設G 有6個元

4、素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代數系統(tǒng)（G，*）中，（ ）不是群 A、G為整數集合，*為加法 B、G為偶數集合，*為加法 C、G為有理數集合，*為加法 D、G為有理數集合，*為乘法 3、在自然數集N上，下列哪種運算是可結合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、設、是三個置換，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），則=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一個具有2個或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交換群二、填

5、空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一個子群都同一個同構。2、一個有單位元的無零因子稱為整環(huán)。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于。4、a的階若是一個有限整數n，那么G與同構。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為。7、叫做域的一個代數元，如果存在的使得。8、是代數系統(tǒng)的元素，對任何均成立，則稱為。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是。三、解答題（本大題共3小題，每小

6、題10分，共30分）1、設集合A=1,2,3G是A上的置換群，H是G的子群，H=I,(1 2)，寫出H的所有陪集。設E是所有偶數做成的集合，“”是數的乘法，則“”是E中的運算，（E，）是一個代數系統(tǒng)，問（E，）是不是群，為什么？a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若是群，則對于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、設m是一個正整數，利用m定義整數集Z上的二元關系：ab當且僅當mab。近世代數模擬試題三一、單項選擇題1、6階有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2階B、3 階 C、4 階

7、D、 6 階2、設G是群，G有（ ）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個 B、5個 C、6個 D、7個3、有限布爾代數的元素的個數一定等于（ ）。A、偶數 B、奇數 C、4的倍數 D、2的正整數次冪4、下列哪個偏序集構成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除關系） D、 (P(A),)5、設S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分

8、，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是的，每個元素的逆元素是的。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則。3、區(qū)間1，2上的運算的單位元是。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=。5、環(huán)Z8的零因子有 。6、一個子群H的右、左陪集的個數。7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數稱為R的。9、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？S1，S2是A的子環(huán)，則S1S2也是子環(huán)

9、。S1+S2也是子環(huán)嗎？3、設有置換，。1求和；確定置換和的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數模擬試題四一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合AB中含有（ ）個元素。A.2 B.5 C.7 D.102.設ABR(實數集)，如果A到B的映射：

10、xx2，xR，則是從A到B的（ ）A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射3.設S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ ）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（ ）個。A.2B.4C.6D.85.下列集合關于所給的運算不作成環(huán)的是（ ）A.整系數多項式全體Zx關于多項式的加法與乘法B.有理數域Q上的n級矩陣全體Mn(Q)關于矩陣的加法與乘法C.整數集Z關于數的加法和

11、新給定的乘法“”：m， nZ， mn0D.整數集Z關于數的加法和新給定的乘法“”：m， nZ， mn1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設“”是集合A的一個關系，如果“”滿足_，則稱“”是A的一個等價關系。7.設(G，)是一個群，那么，對于a，bG，則abG也是G中的可逆元，而且(ab)1_。8.設(23)(35)，(1243)(235)S5，那么_(表示成若干個沒有公共數字的循環(huán)置換之積)。9.如果G是一個含有15個元素的群，那么，根據Lagrange定理知，對于aG，則元素a的階只可能是_。10.在3次對稱群S3中，設H

12、(1)，(123)，(132)是S3的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H_。11.設Z60，1，2，3，4，5是以6為模的剩余類環(huán)，則Z6中的所有零因子是_。12.設R是一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數，那么，n是_。13.設Zx是整系數多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)_。14.設高斯整數環(huán)Ziabi|a，bZ，其中i21，則Zi中的所有單位是_。15.有理數域Q上的代數元+在Q上的極小多項式是_。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16.設Z為整數加群，Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個映射，其中：kk，kZ，驗證：是Z到Zm的一個

13、同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Ker。17.求以6為模的剩余類環(huán)Z60，1，2，3，4，5的所有子環(huán)，并說明這些子環(huán)都是Z6的理想。18.試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關系，并舉例說明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設Ga，b，c，G的代數運算“”由右邊的運算表給出，證明：(G，)作成一個群。abcaabcbbcaccab20.設 已知R關于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不是理想。21.設(R，)是一個環(huán)，如果(R，)是一個循環(huán)群，證明：R是一個交換環(huán)。近世代數模擬試題一 參考答案一、

14、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數環(huán)；5、變換群；6、同構;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積： 可知為奇置換，為偶置換。 和可以寫成如下對換的乘積： 2、解：設A是任意方陣，令，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里和分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因為中有兩個不同的單位元

15、素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對于G中任意元x，y，由于，所以（對每個x，從可得）。2、證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個商域 證畢。近世代數模擬試題二 參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模n乘余類加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：H的3個右陪集為：I,(1 2

16、)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3個左陪集為：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E，）不是群，因為（E，）中無單位元。3、解 方法一、輾轉相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明 設e是群的幺元。令xa1*b，則

17、a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，則xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易證明這樣的關系是Z上的一個等價關系，把這樣定義的等價類集合記為Zm，每個整數a所在的等價類記為a=xZ；mxa或者也可記為，稱之為模m剩余類。若mab也記為ab(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：0與1。近世代數模擬試題三 參考答案一、單項選擇題1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯

18、一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解 在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，等等，可得總共8種。2、證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解： 1，；2兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2

19、小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。2、證 必要性：將b代入即可得。充分性：利用結合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a-1。近 世 代 數 試 卷一、判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內打“”，錯的打“”；每小題1分，共10分）1、設與都是非空集合，那么。 （ ）2、設、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算。（ ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ ）4、如

20、果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數加群同構。 （ ）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。 （ ）6、群的子群是不變子群的充要條件為。 （ ）7、如果環(huán)的階，那么的單位元。 （ ）8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。 （ ）9、中滿足條件的多項式叫做元在域上的極小多項式。 （ ）10、若域的特征是無限大，那么含有一個與同構的子域，這里是整數環(huán)，是由素數生成的主理想。 （ ）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）1、設和都是非空集合，而是到的一個映射，那么（ ）集合中兩兩都不

21、相同；的次序不能調換；中不同的元對應的象必不相同；一個元的象可以不唯一。2、指出下列那些運算是二元運算（ ）在整數集上，； 在有理數集上，；在正實數集上，；在集合上，。3、設是整數集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）不適合交換律；不適合結合律；存在單位元；每個元都有逆元。4、設為群，其中是實數集，而乘法，這里為中固定的常數。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）0和； 1和0； 和； 和。5、設和都是群中的元素且，那么（ ）； ； ； 。6、設是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（ ）6； 24； 10； 12。7、設是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（ ）的同

22、態(tài)核是的不變子群； 的不變子群的逆象是的不變子群；的子群的象是的子群； 的不變子群的象是的不變子群。8、設是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯誤的結論為（ ）若是零元，則是零元； 若是單位元，則是單位元；若不是零因子，則不是零因子；若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（ ）歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； 主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； 唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、若是域的有限擴域，是的有限擴域，那么（ ）； ； 。三、填空題（將正確的內容填在各題干預備的橫線上，內容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）1、設集合；，則有 。2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則 。3、設集合有一個

23、分類，其中與是的兩個類，如果，那么 。4、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為 。5、凱萊定理說：任一個子群都同一個 同構。6、給出一個5-循環(huán)置換，那么 。7、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為 。8、若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是 。9、整環(huán)的一個元叫做一個素元，如果 。10、若域的一個擴域叫做的一個代數擴域，如果 。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內容寫在預備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。 2

24、、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。 3、設和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。 4、唯一分解環(huán)的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。 五、計算題（共15分，每小題分標在小題后）1、給出下列四個四元置換組成的群，試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設是模6的剩余類環(huán)，且。如果、，計算、和以及它們的次數。六、證明題（每小題10分，共40分）1、設和是一個群的兩個元且，又設的階，的階，并且，證明：的階。2、設為實數集，令，將的所有

25、這樣的變換構成一個集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個群。3、設和為環(huán)的兩個理想，試證和都是的理想。4、設是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代數試卷參考解答一、判斷題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、單項選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空題1、。 2、。 3、。 4、。 5、變換群。 6、。 7、。 8、一個最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個元都是F上的一個代數元。四、改錯題1、如果一個集合的代數運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結合律與交換律 2

26、、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。消去律成立 3、設和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解環(huán)的兩個元和不一定會有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d。一定有最大公因子；d和d只能差一個單位因子5、叫做域的一個代數元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元測驗題填空題（42分）1、設集合與分別有代數運算與，且，則當 時，也滿足結合律；當 時，也滿足交換律。2、對群中任意元素= ；3、設群G中元素a的階是n，n|m則= ；4、設是任意一個循環(huán)群，若，則與 同構；若，則與 同構；5、設G=為6階循環(huán)群，則G的生成元有 ；子群有 ；6、n次對稱群的階是 ；置換的階是 ；7、設，則 ；8、設，則 ；9、設H是有限群G的一個子群，