2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和晶系

1、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和晶系晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和晶系旋轉(zhuǎn)反射正交變換如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱操作。 1.對(duì)稱元素（symmetry elements） 標(biāo)志晶體對(duì)稱性的幾何元素，稱為對(duì)稱元素，是在對(duì)稱操作中保持不動(dòng)的軸、面或點(diǎn) 。 對(duì)稱元素包括對(duì)稱面（或鏡面）、對(duì)稱中心（或反演中心）、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸。 與上述對(duì)稱元素相應(yīng)的對(duì)稱操作分別是：* 對(duì)對(duì)稱面的反映；* 晶體各點(diǎn)通過中心的反演；* 繞軸的一次或多次旋轉(zhuǎn)；* 一次或多次旋轉(zhuǎn)之后再經(jīng)過中心的反演。 轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation） 若晶體與直角坐標(biāo)系繞 軸轉(zhuǎn)過角，則晶體中 任一點(diǎn) 變?yōu)榱硪稽c(diǎn) 其變換關(guān)系為 或用

2、矩陣表示為轉(zhuǎn)動(dòng)操作由下面變換矩陣A表示，即中心反演（inversion through a point） 取中心為原點(diǎn)，將晶體中任一點(diǎn) 另一點(diǎn) ,其變換關(guān)系為 其矩陣表示形式為 用變換矩陣A表示中心反演操作，即 對(duì)稱中心和反演操作無論熊夫利符號(hào)，還是國際符號(hào)均用i表示。 鏡面反映（reflection across a plane） 以變成另一點(diǎn) ，這一變換稱為鏡像變換， 其矩陣形式為 作為鏡面，將晶體中任一點(diǎn) 用變換矩陣A表示平面反映操作操作，即 標(biāo)志對(duì)稱面的符號(hào)，熊夫利符號(hào)用，國際符號(hào)用m，平面反映操作也用同樣的符號(hào)表示。 繞面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/2，3/2。3個(gè)立方軸，共9個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中

3、心連線（也稱面對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)，6個(gè)不同的面對(duì)角，共6個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)角連線（也稱體對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)2/3，4/3。4個(gè)不同的體對(duì)角線，共8個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。立方體的幾何中心也是對(duì)稱中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都是對(duì)稱操作。 立方體的對(duì)稱操作-共48個(gè)正六角柱的對(duì)稱操作-24個(gè)繞底面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/3，2/3，4/3， 5/3 。共5個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)，3條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。繞相對(duì)面中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)。三條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。幾何中心也是對(duì)稱中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都

4、是對(duì)稱操作。 由于晶面作有規(guī)則地配置，因此晶體在外型上具有一定的對(duì)稱性質(zhì)。 對(duì)稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。 與一般幾何圖形的對(duì)稱不同，由于晶格周期性的限制，晶體僅具有為數(shù)不多的對(duì)稱類型。 在晶體中，布拉菲格子是按其對(duì)稱性來進(jìn)行分類。 描述晶格的全部對(duì)稱性的對(duì)稱操作的集合，稱為對(duì)稱群（symmetry group） ，或空間群。設(shè)正交變換A和正交變換B都是晶體的對(duì)稱操作，那么經(jīng)過變換A后緊接著進(jìn)行變換B晶體保持不變。這就是說，如果A和B是對(duì)稱操作，則C=AB也是對(duì)稱操作。一般來說，一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作將構(gòu)成一個(gè)閉合的體系，其中任意兩個(gè)對(duì)稱操作相乘結(jié)果仍包含在這個(gè)體系之中。*

5、 這個(gè)性質(zhì)，稱為群的閉合性。 在圖中， 是晶體中某一晶面（紙面）上的一個(gè)晶列，AB是這晶列上相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離。 如果晶格繞通過格點(diǎn) A并垂直于紙面的 u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后，能自身重合，則由于晶格的周期性，通過格點(diǎn) B 也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸 u。 通過A處的u軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過后，使 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 。若B通過u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后， 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后，要使晶格能自身重合，則 點(diǎn)必須 是格點(diǎn)。由于 和AB平行，而且滿足 因此，的值只能取 對(duì)于晶體，當(dāng)n=1，2，3，4，6時(shí)，晶格繞過格點(diǎn)的固定軸轉(zhuǎn)過角度 后，能使晶格能自身重合 。這里，n稱為轉(zhuǎn)軸的次數(shù)或度數(shù)。 顯然，在晶體中只能有1、2、3、4、6度等5個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。分別對(duì)應(yīng)著n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。 與上述相應(yīng)的熊夫利符號(hào)分別是 表中列出了文獻(xiàn)資料中常用的對(duì)稱軸度數(shù)與對(duì)應(yīng)的幾何符號(hào)。表 對(duì)稱軸度數(shù)的符號(hào)表對(duì)稱軸的度數(shù)2346符號(hào) 一般地，幾何符號(hào)標(biāo)記在對(duì)稱軸兩端。 * 晶面間距與倒格矢長度的關(guān)系 ABC是晶面族 由于該晶面的法線可以用 中最靠近原點(diǎn)的晶面，其面間距等于原點(diǎn)到ABC面的距離。 表示，所以有即：倒格矢的長度反比于晶面族的面間距。 若晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn) 2/n以后，再