北京市朝陽區(qū)2022-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試質(zhì)量檢測試題含解析

1、 北京市朝陽區(qū)2021-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試卷第一局部（選擇題共50分）一、選擇題:本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項電選出符合題 目要求的一項.不等式x（x-2） 0的解集是（）A. （x|0 x0C. （a|x2D. x|x0或xv2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)一元二次不等式的解法可知不等式v-2）。的解集為a|0al,那么當x+取得最小值時，X的值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根本不等式的取等條件可求得結(jié)果.4I 44【詳解】x+-2Jx- = 4 （

2、當且僅當x =,即x = 2時取等號）X XX4.當x+-取得最小值時，.t = 2X應(yīng)選：B【點睛】此題考查根本不等式取等條件確實定問題，關(guān)鍵是明確可利用根本不等式求解函數(shù) 最值.3 .雙曲線二-=1（0）的一個焦點為（5.0）,那么的值為（）16A. 9B. 6C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線中a2+b2=c2可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】雙曲線焦點為（5,0）.-.a2+ 16 = 25，解得：。=3應(yīng)選：D【點睛】此題考査根據(jù)焦點坐標求解雙曲線方程的問題.關(guān)鍵是明確雙曲線eb,c之冋的關(guān) 系.在平面直角坐標系xQv中，橢圓C的中心在原點，焦點，咒在x軸上，離心率為 豆

3、， TOC o 1-5 h z 2過氏的直線/交橢圓于兩點，且的周長為16,那么橢圓C的方程為（）A. A = 1B.+立=18 416 4c. +r=1d. 3=i8 1616 8【答案】D【解析】【分析】結(jié)合橢圓定義可知的周長為4。，由此求得“：利用離心率可求得c：根據(jù)橢圓b- = a2-c2 4求得爐,進而得到橢岡方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為二+二=1（。60）cr V由橢圓定義知：|M|+|住1=1研|+|位勺=&眾蜓的周長為如 即4。= 16,解得：。=4-e = =/. c = 2/. b2 =a2-c2 = 16-8 = 8a 222橢圓C的方程為+ - = 116 8應(yīng)選：?！军c

4、睛】此題考查橢圓標準方程的求解，涉及到橢圓定義和離心率的應(yīng)用問題. 假設(shè)萬，b -向量不共面，那么以下選項中三個向量不共面的是()A. -c . /? . b+cB. d + h c , + b + cC. d + b a c t cD. 0 d + b d【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量根本定理，結(jié)合向量共面的充要條件，依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.詳解】A中，/J-c = 25-( + c)：.b-c B，5 +己三個向量共面，A錯誤；B中，d + b+c = (d + b)+c：.a + b c . a + b + c個向量共面，8錯誤；C中，不存在實數(shù)人，使得a + b = A(

5、a-c)+pc成立.目+ 5，d-c , &三個向量不共面，C正確；。中，月=：(3一) +何+方):.a-b M, 三個向量共面，。錯誤應(yīng)選：C【點睛】此題考査向量共面的判斷，涉及到空間向量根本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確三個向量d.b.c共面，那么必然滿足 = + z?c(A,/g/?).mJ是兩條不同的直絞，。、戶是兩個不同的平面，那么以下各組條件中能推出川丄/的 所有序號是()川丄a,/丄夕，。丄；mlaj/zfl, allp ；m u a丄們a叩；mua挪A.B.C. D.L A【解析】【分析】 根據(jù)直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷務(wù)個選項即可得到結(jié)果.【詳解】.也丄a, a

6、ip /. limp或mu們又/丄Z? .-.mil,正確:/ m 1 a, allp m 1 p,又/?m 1 /,正確；丄，allp ./丄。，又mua .丄/,正確：在如卜列圖的正方體中：DJ!平面ABCD.平面ADD丄平面ABCD, ADt u平面ADD.此時AQ與不垂直，錯誤.應(yīng)選：A【點萌】此題考査空間中線面關(guān)系、而而關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線 與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理.I 2mn 0. 2m + /! = 1,那么一+-的最小值是（）m nA 4B. 6C. 8D. 16【答案】c【解析】【分析】利用- + - = -+-|（2 + ）*配湊出符合根

7、本不等式的形式，利用根本不等式即可求 m n in n J得結(jié)果.I ?【詳解】 + ni n仁捉）（2心）=4+蘭+仞24 + 2.匹互=4+4 = 8（當且僅當 m n 丿in n m n.即n = 2in時取等號） m n1 2.一+ 的最小值為8tn n 應(yīng)選：c 【點睛】此題考查利用根本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用“1，配 湊出符合根本不等式的形式.8.數(shù)列仇,和但滿足bn=an,那么“數(shù)列%為等比數(shù)列是“數(shù)列也為等比數(shù)列的（A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義可證得甘二 |q|，可知充分性

8、成立：通過反例可確定必要性不成立，從而得到結(jié)果.【詳解】假設(shè)數(shù)列0為等比數(shù)列,公比為q,那么十b為等比數(shù)列，充分性成立設(shè)數(shù)列如的通項公式為如=2為等比數(shù)列，公比0 = 2假設(shè)數(shù)列為為：2,4,8.16、一32、，滿足 =2，但q不是等比數(shù)列 an必要性不成立. “數(shù)列%為等比數(shù)列”是“數(shù)列如為等比數(shù)列”的充分而不必要條件應(yīng)選：A【點睛】此題考査充分條件與必要條件的判定，涉及到等比數(shù)列定義的應(yīng)用：關(guān)鍵是能夠明確數(shù)列成等比數(shù)列需滿足的條件.2021 -臺州一模經(jīng)過雙曲線M :匚-貝=1( O.b 0)的左焦點作傾斜角為60。的a b-直線/，假設(shè)/交雙曲線M的左支于A.B ,那么雙曲線材離心率的取

9、值范圍是()A.(2,+oc)B. (1,2)C. (1,71)D.(E【答案】B【解析】由題意b，得b2=c2-a2 3a2所以，2,即離心率的范圍是(1,2),應(yīng)選B.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)干eg的方程 或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于a.b.c的方程或不等 式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.球。直徑為3, A,B,C,D是球。上四個不同的點，且滿足屈.京=0，AC AD = 0 AD AB = Oi分別用貝，旦，$3表示-ABC gACD, ABD的面積，那么+災(zāi)+&的最大值是() TOC o

10、 1-5 h z 19A. -B. -C. 9D. 1842【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為零可確定AC.AB.AD兩兩互相垂直，從而將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方 體的外接球，根據(jù)長方體外接球直徑為體對角線長可得a- + /r+c:=9,利用根本不等式可 求得ab+bc + ac9t進而求得面積之和的最值.【詳解】-AB AC=0.AC Ab = 0,AD AB = Q:.AC,AB.AD兩兩互相垂直 .三棱錐A-BCD的外接球即為如以卜.列圖所示的長方體的外接球設(shè)AD = a9 AC = b , AB = c二 J/+步+疽=3，即a2 + b2+c2=9 2a2 + 2b2 + 2

11、c2 = 18 2 2汕+2bc+2ac(當且僅當a = b = c時取等號)19二 ab + bc + ac 9 二 St + S2 + S5 -(ab + bc + ac) = - 即 +S2 +53的最大值為;應(yīng)選：B【點睛】此題考查幾何體外接球相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用平面向量數(shù)量枳等于零得 到垂直關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球的問題，涉及到利用根本不等式求解最值：需 明確長方體外接球的半徑為體對角線長度的一半.第二局部（非選擇題共100分）二、填空題:本大題共6小題，每空5分，共30分，答案寫在答題卡上.雙曲線-y2 = l的漸近線方程 .4 .【答案】y=x【解析】【分析】

12、先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近 線方程.2【詳解】雙曲線-/=1的a=2, b=l,焦點在x軸上4而雙曲線M - ； = 1漸近線方程為y=-xcr b-ay-1.雙曲線 j 一 = 1的漸近線方程為y=+-x故答案為斤【點睛】此題考察了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程,解題時要注意先定位，再定量的解題思想拋物線)= 2x的焦點坐標是 ,準線方程是 .【答案】G，OJ, x = -；.【解析】試題分析：由題意得，焦點坐標是0),準線方程是A = -|,故填：(|? 0), x=-l匕匕匕考點：拋物線的標準方程及其性質(zhì)

13、.公比不為1的等比數(shù)列%滿足=2,純+%=4,那么= .【答案】-16【解析】【分析】利用為和g表示出+角=4,從而構(gòu)造方程求得利用等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列%公比為q(qYl)，那么外+昭= qq + qg=2/7 + 2g=4,解 得：0 = -2:.a4 =-16故答案為：-16【點睛】此題考査等比數(shù)列通項公式根本量計算，屬于根底題.某四棱錐的三視圖如下列圖，那么該四棱錐的體枳為 ；面枳最大的側(cè)面的面積為 【答案】 (1). 16(2). 10【解析】 【分析】 由三視圖雙原幾何體得到四棱錐的直觀圖，從而確定幾何體的高和最大側(cè)面；利用棱錐體積 公式和三角形而枳公式求解

14、即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖叮得四校錐直觀圖如以卜冽圖所示:其中四邊形人BCD為矩形，AB=PE = 4, AD = 3, PE丄平面ABCD四棱錐 P - ABCD 的體枳匕_佃3 = hcABCD . = 1x3x4x4 = 16由直觀圖可知側(cè)面中最大的為PAB ,又PAB中AB邊上的高為J16+9 = 5a = 2x4x5 = 1故答案為：16； 10【點睛】此題考査由三視圖塊原幾何體、棱錐體積和側(cè)面面枳的求解問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù) 視圖準確復(fù)原幾何體，從而確定幾何體的高和最大側(cè)面.？萊茵德紙草書?是世界上最占老的數(shù)學(xué)著作之一，其中一道題目的背景是這樣的：把100 片面包分給5個人，使每

15、個人分得的面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三個數(shù)之和的!是較 小的兩個數(shù)之和，假設(shè)將這5個數(shù)從小到大排列成遞增的等差數(shù)列，那么該數(shù)列的公差為【答案】55【解析】【分析】 利用和d表示岀的等量關(guān)系，從而構(gòu)造岀方程組求得結(jié)果.【詳解】設(shè)5個數(shù)從小到大排列所成的等差數(shù)列為,公差為d那么7(%+% + 務(wù))=0 + 缶，5 = 10。x(3q + 9d) = 2q + d7，解得5x45哄亍d = l。. 55故答案為:557【點睛】此題考查等差數(shù)列的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠利用首項和公差表示出的等量關(guān)系.假設(shè)不等式x2-2y2y。的實數(shù)x,恒成立，那么實數(shù)c 的最大值為 .【答案】22-4【解析】、2

16、2(4試題分析：因為xyo,所以由A-2r 1得= 2+U時g(。取最小值271-4,又cg(rU,所以C的最大值為2。！4考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，不等式恒成立三、解答題:本大題共4小題，共70分.解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.數(shù)列%是遞増的等差數(shù)列，外=3,且角，外，角成等比數(shù)列.U)求數(shù)列,的通項公式；設(shè)bn=an+2nf求數(shù)列傳,的前項和S”；假設(shè)c“=,設(shè)數(shù)列弟 前項和為T”,求滿足T-的的最小值.ananl【答案 1 (1) an=2n-l, neN S, = /+2服 一2 ： (3) 13.【解析】【分析】11)利用和d表示出的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出方程組求得劣和d,根

17、據(jù)等差數(shù)列通項公式得到結(jié)果；由1)可得九，采用分組求和的方式，分別對兩組利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公 式，合并得到最終結(jié)果：由(1)可得勺，釆用裂項相消的方法求得T，從而構(gòu)造出關(guān)于的不等式，結(jié)合/?eN, 可求得結(jié)果.q+ = 3Jq =(q + d)=q(q + 4c/)解得.d = 2【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列,的公差為d(d0) Fbh=3 得：角-ata5 :.an =+(/? !)J = 2/? 1(2)由(1)得：2=% + 2=2一1 + 2“那么S“=如+奴+如+如=1+3+5+.+(2”一 1)+2+2：+2，+. + 2=些匕虬空丄5一21-2(3)由(1)得：勺 2+2悶2

18、+ 2_1 2/1 + 111 _ 23 3 52n 24 /曰 c 由 ： 12 2/1 + 1252/-1 2/1+1 2/ + 1 e N* 滿足兀 的的最小值為13 【點睛】此題考查等差數(shù)列通項公式根本量的計算，分組求和法和裂項相消法求解數(shù)列的前 項和的問題，涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用：數(shù)列求和的關(guān)鍵是能夠根 據(jù)通項公式的具體形式，針對性的選擇對應(yīng)的方法.18 .如圖，在四棱錐中，底面ABCD為咽形，平面PAD L平面ABCD. PA = PD = AB , ZAPD = 90.11)證明：人。平面PBC；(2)證明：ABA.PDx3)求二面角A-PB-C的余弦值.【答案

19、】(1)證明見解析：(2)證明見解析：(3) 一吏.3【解析】【分析】根據(jù)AD/BC及線面平行判定定理可證得結(jié)論：由面面垂直性質(zhì)可證得ABL平面PAD,由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論； 取nD.BC的中點為0E,根據(jù)垂直關(guān)系可以。為原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1) 四邊形ABCD為矩形/. AD/BC.BCu 平面 PBC , AD(z 平面 PBC.AD 平面 P8C(2) .平而 PAD 平面 A BCD,平面 PADQ 平面 ABCD = AD , AB u 平面 ABCD,AB1AD:.AB丄平面PADP u 平面 PADAB 丄 PD3)取人。的中點為

20、0,取BC的中點為E ,連接。P,從，那么。E1ADPA = PD :. PO 丄 AD:. PO 丄平面 A BCD以。為坐標原點，分別以所在直線為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系, 如以下列圖所示不妨設(shè)AB = yiPA = PD = AB t ZAPD = 90:.PA = PD = 41 AD = 2, OP = 1二A(L0,0), 8(1,7,0), C(T，Vl0), (O.O.l), D(T、0,0) 那么脇= (1,V,T)，成=(-2,0,0), PD = (-1,O,-1)由(2)可知：ABLPD/ ZAPD = 90 :.PAPD / AB. PA cz 平面 PA

21、B, ABrPA = A :. PD 丄平面 PA8PD為平面PAB的一個法向量設(shè)平面PBC的一個法向量為/； = (x,y,z)那么塑=、+r = ,令廣1,解得：5 73 = (。,1板) TOC o 1-5 h z riBC = -2x = 0、-PD，H/ cos =- |PD|-|n V2xV3 3.二面角A-PB-C為飩角二面角A-PB-C的余弦值是一巫3【點睛】此題考查立體幾何中線面平行和線線垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問 題；涉及到線而平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理等知識的應(yīng)用, 屬于?？碱}型.19.拋物線)戶=2px(p 0)經(jīng)過點(1,2)

22、.11)求拋物線C的方程及其準線方程：(2)過拋物線C的焦點尸的直線/交C于a,8兩點，設(shè)。為原點.(i )當直線/的斜率為1時，求AOB的面枳：(ii)當網(wǎng)| = 3冏|時，求直線/的方程.【答案】1) y2=4x, x = -l：2) ( i ) 2/2； 3)y = (x-l).【解析】【分析】(1)將點(L2)代入拋物線方程可求得，進而得到結(jié)果：2)設(shè)厶(由,1)，戸(沔，方)(i)設(shè)直線!：y = x-lt與拋物線方程聯(lián)立得到韋達定理的形式；由S*b = Ssfa + Skb，整理得到&如=；J()1 + )44月及，代入韋達定理可求得結(jié) 果；ii)設(shè)直線l:y = k(x-l).與

23、拋物線方程聯(lián)立得到韋達定理的形式；由網(wǎng)| 二 3|，結(jié)合拋物線定義得到. = 3,弓+2，與韋達定理的結(jié)論聯(lián)立后可求得A，進而得到結(jié)果.【詳解J (1) .拋物線y2=2px過點(1,2).2p = 4,解得:p = 2拋物線的方程為)戶=4.i,準線方程為工=一1由(1)知：F(l.O)設(shè)A況), 8(瑪況)(i)由題意得：直線/的方程為y=x-iy: =4x v. + y. = 4聯(lián)立仁 ，得；y4v-4 = 0二尸八，y = x-4.w|=i, |yj+|y2|=|yi-y2Sw = Ss+SK=!|OF|TM| + ；|OF|.|)%| = ：|OF|(m|+|yJ).SAOB的面積為2白.lii)易知直線/的斜率存在且不為0設(shè)直線 l:y = k(x-l)聯(lián)立，.|/*X| = 3|F5|.,心+ 1 = 3(毛 +1),即 = 3x2 + 2 W2 + ,.VjX2 = 1 聯(lián)立，解得:冬=31，代入得：k2=3直線/的方程為y = b(x-l)【點睛】此題考査直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題涉及到拋物線方程的求解、拋物線中三角 形面枳的求解、焦點分弦成比例問題的求解：求解焦點分弦成比例問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)向 最共