2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊 1.4.2　充要條件 學(xué)案

1、1.4.2充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解充要條件的意義,會判斷一些簡單的充要條件命題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維素養(yǎng).2.能對簡單的充要條件進(jìn)行證明,加強邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有pq,又有qp,就記作pq.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.思考:原命題:“若ab,則a-2b-2”,寫出其逆命題,并判斷原命題與逆命題的真假,“ab”是“a-2b-2”的什么條件?提示:逆命題:若a-2b-2,則ab;原命題與逆命題都是真命題;充要條件. 充要條件的判斷例1 (1)(多選題)下列四

2、個選項中,p是q的充要條件的是()A.p:四邊形是正方形,q:四邊形的對角線互相垂直且平分B.p:兩個三角形相似,q:兩個三角形三邊對應(yīng)成比例C.p:xy0,q:x0,y0D.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在兩角相等(2)設(shè)A,B,U是三個集合,且AU,BU,則 “x(UA)(UB)”是“xU(AB)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:(1)A項,因為四邊形的對角線互相垂直且平分四邊形為菱形,故p不是q的充要條件;B項,因為兩個三角形相似兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例,故p是q的充要條件;C項,由xy0,得x0,y0或x0,y0,q:方程x2

3、-x-m=0有實根;p:x2或x-1,q:x2或x-1,集合B=x|x-1,因為AB,所以p不是q的充要條件.所以p是q的充要條件的有1組.故選A. 充要條件的證明例2 求證:關(guān)于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-(c+d).證明:充分性:因為a+b=-(c+d),所以a+b+c+d=0,所以a13+b12+c1+d=0成立,故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一個根.必要性:因為關(guān)于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一個根為1,所以a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d)成立.故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-

4、(c+d).證明p是q的充要條件分兩步,一是充分性,將p當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推證q;二是必要性,將q當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推證p.針對訓(xùn)練2:求證:a=b是a2+b2=2ab的充要條件.證明:(充分性)因為a=b,所以a2+b2=a2+a2=2a2.又因為2ab=2a2,所以a2+b2=2ab.(必要性)因為a2+b2=2ab,所以a2+b2-2ab=0,所以(a-b)2=0,所以a=b.綜上可知a=b是a2+b2=2ab的充要條件. 探求充要條件例3 求關(guān)于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的實數(shù)根的總和為2的充要條件.解:當(dāng)m=0時,方程為-x+2=0,解得x

5、=2,當(dāng)m0時,方程為一元二次方程,設(shè)x1,x2是方程的解,則x1+x2=m+1m2,若x1+x2=2,解方程m+1m2=2,解得m=-12或1,當(dāng)m=-12或1時,0C.a2+b2=0D.a2+b20解析:a2+b20,則a,b不同時為零,且至少有一個不為零;a,b中至少有一個不為零,則a2+b20.選D.3.已知p:x|-2x10,q:x|4-mx4+m,m0,若p是q的充要條件,則實數(shù)m的取值范圍是(C)A.4B.5C.6D.7解析:因為p是q的充要條件,所以4-m=-2,4+m=10,m0,解得m=6.則實數(shù)m的取值范圍是6.故選C.4.一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、第二、第三象

6、限的充要條件是.解析:根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、第二、第三象限的充要條件是k0,且b0.答案:k0,且b0例1 下列不等式:x1;0 x1;-1x0;-1x-1.其中可以作為x21的一個充分不必要條件的所有序號為.解析:由x21,解得-1x1,故x1是必要不充分條件,0 x1是充分不必要條件,-1x0是充分不必要條件,-1x-1是必要不充分條件.答案:例2 已知實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),試判斷“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根”的什么條件,并說明理由.解:將方程ax2+bx+c=0(a0),進(jìn)行配方得a(x2+bax)=-c,即(x+b2a)2=-ca+b24a2=b2-4ac4a2,若b2-4ac=0,則(x+b2a)2=b2-4ac4a2=0,則方程ax2+bx+c=0有兩個相等