初中數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)下冊(cè)（2023年修訂） 三角形的證明垂直平分線教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章線段的垂直平分線第3節(jié)線段的垂直平分線（1）天全縣始陽(yáng)中學(xué) 張明珍【教學(xué)目標(biāo)】經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明的意識(shí)和能力。會(huì)證明線段的垂直平分線的定理，能探索并證明線段的垂直平分線的逆定理，進(jìn)一步發(fā)展推理能力。3、能運(yùn)用線段的垂直平分線的定理和逆定理解決問題【教學(xué)重點(diǎn)】掌握線段垂直平分線的定理和逆定理。【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用線段的垂直平分線的定理和逆定理解決問題。【教學(xué)過程】第一環(huán)節(jié)：動(dòng)手實(shí)踐，探究新知1、如圖，畫一條線段 AB，然后對(duì)折 AB，使 A，B 兩點(diǎn)重合，設(shè)折痕MN與 AB 的交點(diǎn)為 O。此時(shí)AO=_OB_；AOM=BOM=90，直線MN叫做線段A

2、B的垂直平分線N M 在線段AB的垂直平分線MN上，任意取一點(diǎn)P，連接PA，PB，并測(cè)量他們的長(zhǎng)度。看看能得出什么結(jié)論？第二環(huán)節(jié)：合作探索，馬到成功命題 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等你能用所學(xué)過公理或定理證明剛才的猜想嗎？通過討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，分析出已知、求證的內(nèi)容。已知：如圖，AC=BC，直線MNAB，垂足是C，P是MN上的任意一點(diǎn)求證：PA=PB分析：當(dāng)P在線段上時(shí)，結(jié)論顯然成立，所以我們只證明當(dāng)P不在線段上的情形。要證明PA=PB，可以考慮證明包含這兩條線段的兩個(gè)三角形全等證明：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，顯然成立。（2）當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上時(shí)MNABPCA=

3、PCB=90AC=BC,PC=PCAPCBPC(SAS)PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。定理運(yùn)用時(shí)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言： MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上的一點(diǎn) PA=PB 即時(shí)練習(xí)：如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)，如果EC=7cm，那么ED= 7cm cm；如果ECD=60，那么EDC= 60 （學(xué)生口述得出結(jié)果的理由）第三環(huán)節(jié)：逆向思維，拓展能力你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個(gè)命題不是“如果那么”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果那么”的形式，逆命題就容易寫出

4、鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。逆命題 如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明。已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法一：取AB的中點(diǎn)C，過PC作直線AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，即PCABP點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法二： 過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C PCAB APC和BPC都是Rt PC=PC,PA=PB RtAPCRtBPC(H

5、L) AC=BC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) P在AB的垂直平分線上（提示學(xué)生還有沒有其它的證明方法）定理 到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上判定定理運(yùn)用時(shí)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言： AP=BP P在AB的垂直平分線上第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用，提升能力 例1：已知：如圖，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC。證明： AB = AC， 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一

6、條直線）.（提示學(xué)生還有沒有其它的證明方法） 例2：如圖，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分線，則（1）BD = ；（2）若B = 40，則BAC = ，DAB = ， DAC = 。（3）若AC= 4， BC = 5， 求DA + DC ；ACD的周長(zhǎng)解：（2）DE是AB的垂直平分線 BD=AD 又AC= 4， BC = 5 AD + DC = BD + DC=BC=5 ACD的周長(zhǎng)=AC+AD + DC=4+5=9（3）C = 90 BAC=50 又BD=AD，B = 40 DAB=B = 40 DAC=50- 40= 10變式訓(xùn)練：1、如圖所示,AC=AD,BC=BD,則下列結(jié)論正確的是( )A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分ABC.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分ACB2、如圖，在ABC中，ABAC20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，（1），若BC=15 cm求DBC的周長(zhǎng)（2），若A=34，求DBC 3、如圖，已知在ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE = 3cm，ABD的周長(zhǎng)是13cm，求ABC的周長(zhǎng).4、如