初中數(shù)學(xué)北師大八年級上冊（2023年修訂） 一次函數(shù)設(shè)計1

1、一次函數(shù)與正比例函數(shù)一、教材分析一次函數(shù)與正比例函數(shù)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實驗教科書八年級 (上) 第四章 一次函數(shù)的第二節(jié)。本節(jié)內(nèi)容安排了1個課時，讓學(xué)生理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知信息寫出簡單的一次函數(shù)表達式，并初步形成利用函數(shù)的觀點認(rèn)識現(xiàn)實世界的意識和能力。學(xué)生在七年級下學(xué)期已經(jīng)探索了變量之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，本章前一節(jié)繼續(xù)通過對變量關(guān)系的考察，讓學(xué)生初步體會函數(shù)的概念，能判斷兩變量之間的關(guān)系是否可看作函數(shù)。本節(jié)課是對函數(shù)的進一步認(rèn)識與提升，讓學(xué)生借助生活中的實際背景，經(jīng)歷一般規(guī)律的探究過程來理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知信息寫出簡單的一次函數(shù)表達式，并利

2、用函數(shù)圖像解決實際問題。函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要模型，對它的學(xué)習(xí)一直是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容。而一次函數(shù)是學(xué)生接觸的第一個具體函數(shù)形式，是最簡單的函數(shù)。由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函數(shù)的基本方法，這種方法具有一般性和代表性，為后面的二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。同時，進一步發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維，滲透建模思想，從實際生活中抽象數(shù)學(xué)問題，建立模型并形成概念的過程。我在處理教材時先設(shè)計了三個生活情景，由于問題較簡單，很多學(xué)生結(jié)合生活中所見就能解決，這其實也是列出函數(shù)關(guān)系式的第一種渠道根據(jù)生活經(jīng)驗。通過這一環(huán)節(jié)得到函數(shù)關(guān)系式，直觀教學(xué)及對比、聯(lián)想的同時適當(dāng)引導(dǎo)，不

3、僅使學(xué)生快速掌握知識，而且有助于加深學(xué)生印象，加強了對學(xué)生觀察、對比、聯(lián)想等邏輯思維能力的培養(yǎng)。然后一系列的問題串讓學(xué)生在對正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念和形式上更擴大加深理解。接著通過豐富的現(xiàn)實背景的例題,進一步理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念。在此基礎(chǔ)之上鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,談?wù)勛约旱氖斋@和感想,進一步鞏固本節(jié)課的知識對本節(jié)知識進行鞏固練習(xí)。最后學(xué)生基本能較好地獨立完成練習(xí)題,達到教學(xué)效果。二、學(xué)情分析在七年級下期學(xué)生已經(jīng)探索了變量之間關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，本章前一節(jié)繼續(xù)通過對變量關(guān)系的考察，讓學(xué)生初步體會函數(shù)的概念，能判斷兩變量之間的關(guān)系是否可看作函數(shù)。本節(jié)課進一步研究其中最簡單的一次函

4、數(shù).由于有前面內(nèi)容的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)會建立變量之間的關(guān)系，本節(jié)課是已經(jīng)學(xué)過知識的延伸。我們樹德實驗中學(xué)清波校區(qū)經(jīng)過對三壞外學(xué)生的一貫摸索及研究，發(fā)現(xiàn)我們清波校區(qū)大部分學(xué)生來自安置房及進城務(wù)工人員子女，甚至有的班級只有13名本地生，這部分學(xué)生家長還在為生活奔波，沒有精力、時間及意識去教育孩子，從而導(dǎo)致這部分學(xué)生家庭教育缺失，學(xué)習(xí)能力弱，學(xué)習(xí)習(xí)慣差，基礎(chǔ)薄弱。針對這種實際情況，我們在處理教材時遵循重基礎(chǔ)，兼顧發(fā)展，由淺入深的教學(xué)模式，夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，不搶進度，不追求難題，真正做到因材施教，因人施教，踏踏實實的讓學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所獲。三、教學(xué)目標(biāo)分析本節(jié)課的內(nèi)容梗概：一種探究方法；兩個基本概念；三種

5、不同層次的習(xí)題。教學(xué)目標(biāo)：1、知識技能：理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念；能根據(jù)所給條件寫出簡單的一次函數(shù)表達式.2、數(shù)學(xué)思考:如何根據(jù)所給條件寫出正比例函數(shù)和簡單一次函數(shù)的表達式. 3、問題解決:通過具體情境列出相應(yīng)的正比例函數(shù)與簡單的一次函數(shù)表達式. 4、情感態(tài)度與價值觀: 經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力；經(jīng)歷從實際問題中得到函數(shù)關(guān)系式這一過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。體驗生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學(xué)習(xí)的自信心. 教學(xué)重難點本節(jié)課的重點是從具體情境中列出相應(yīng)地一函數(shù)表達式，從而抽象出一次函

6、數(shù)的概念. 難點則是如何根據(jù)實際情景寫出一次函數(shù)的表達式，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力. 為了突出重點、突破難點。利用多媒體課件。讓學(xué)生親自動手操作，積極參與并主動探索，幫助學(xué)生直觀地理解一次函數(shù)與正比例函數(shù). 四、教學(xué)支持條件分析教學(xué)方法函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要模型，對它的學(xué)習(xí)一直是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容。而一次函數(shù)是學(xué)生接觸的第一個具體函數(shù)形式，是最簡單的函數(shù)。由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函數(shù)的基本方法，這種方法具有一般性和代表性，為后面的二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。同時，進一步發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維，滲透建模思想，從實際生活中抽象數(shù)學(xué)問題，建立模型并形成概

7、念的過程。鑒于教材特點及八年級學(xué)生的年齡特點、心理特征和認(rèn)知水平，這節(jié)課我將采用“問題探究式教學(xué)法和對比教學(xué)法”，具體做法是用層層推進的提問啟發(fā)學(xué)生深入思考。再讓2至4人小組合作討論，自主探究，主動獲取知識。在此基礎(chǔ)上通過基礎(chǔ)練習(xí)強化概念，再給出豐富的現(xiàn)實背景的例題,進一步理解概念,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。最后給出的實際生活問題給學(xué)生充分的自主探索時間，調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生在課堂上多活動、多觀察，主動參與到整個教學(xué)活動中來。整個學(xué)習(xí)過程中教師扮演的角色是組織者、引導(dǎo)者，調(diào)控課堂，適當(dāng)點撥.為了使學(xué)生的感受更加直觀，本節(jié)課我利用多媒體輔助教學(xué)，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

8、，也使課堂教學(xué)更加優(yōu)質(zhì)高效。學(xué)法指導(dǎo)結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容以及學(xué)生的心理特點，在學(xué)法上，我進行了大膽的探索，引導(dǎo)學(xué)生采用自主探究與合作交流相結(jié)合的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷思考，觀察，分析，得出結(jié)論，以及將結(jié)論推廣應(yīng)用的過程，把課堂真正還給學(xué)生，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所獲。教學(xué)流程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動教學(xué)支持設(shè)計意圖第一環(huán)節(jié)：回顧與思考同學(xué)們，首先我們一起復(fù)習(xí)一下上節(jié)課學(xué)習(xí)過的內(nèi)容。1）什么是函數(shù)？2）函數(shù)有哪些表示方法？3）在現(xiàn)實生活中有很多問題可以歸結(jié)為函數(shù)問題，大家能不能舉一些例子？1）函數(shù)： 在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應(yīng)地就確定一個y值,那么我們稱

9、y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量.2）函數(shù)表達方式： 列表法、關(guān)系式法、圖象法。3）上網(wǎng)費用是2元/小時，上網(wǎng)t小時，費用為y元，y是t的函數(shù)。用ppt播放問題和答案，壓縮課堂時間。問題（1）（2）學(xué)生都能快而準(zhǔn)的回答，問題（3）是一個開放性問題，學(xué)生不能很準(zhǔn)確的表述出來，可以讓學(xué)生互相補充，或根據(jù)學(xué)生水平教師先舉例，拋磚引玉。為了激發(fā)學(xué)生的求知欲望，吸引同學(xué)們的注意力，這里采用了復(fù)習(xí)舊知識，誘導(dǎo)性內(nèi)容的引入方法，除了復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，還讓學(xué)生把所學(xué)知識運用到實際生活，提高學(xué)生的運用意思。第二環(huán)節(jié)：引入與交流情景一：某種大米的單價是元/千克，當(dāng)購買x千克大米，花費為y元，請寫出y與x的

10、關(guān)系式。情景二：某彈簧的自然長度為3厘米，在彈簧限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1千克，彈簧長度y增加厘米。(1)計算所掛物體的質(zhì)量分別為1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克時的長度，并填入下表：x/kg012345y/cm(2)你能寫出y與x之間的關(guān)系式嗎？小組活動：你能發(fā)現(xiàn)列函數(shù)關(guān)系式的步驟嗎？情景三：某輛汽車油箱中原有汽油60 L,汽車每行駛50 km耗油6 L. (1)完成下表：汽車行駛路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能寫耗油量y（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關(guān)系式嗎？(3)你能寫出油箱剩余油量z（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關(guān)系式嗎？

11、等量關(guān)系：花費=單價重量關(guān)系式：y=x/kg012345y/cm345等量關(guān)系：彈簧長度=彈簧自然長度+增加的長度關(guān)系式：y=3+或y=+31.審題關(guān)鍵句子2.找等量關(guān)系每一個量用數(shù)學(xué)符號表示3.列關(guān)系式汽車行駛路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436等量關(guān)系：耗油量=每千米耗油量路程關(guān)系式：y=關(guān)系式：y=或y=+60 用課件展示題目，讓學(xué)生經(jīng)歷前兩個情景列關(guān)系式的過程，通過討論互相補充，基本可以將步驟較完整的回答出。力圖通過函數(shù)表格的表現(xiàn)形式，使學(xué)生感受一次函數(shù)的線性變化趨勢，當(dāng)自變量進行等差變化時，因變量也在隨之進行等差變化，即一個變量（不管其原始數(shù)值如

12、何）改變一個固定的常數(shù)后，另一個變量的相應(yīng)改變量也是固定的。問題2難度較大，需要逐步引導(dǎo)學(xué)生通過關(guān)鍵句子找到等量關(guān)系，在代數(shù)表達式上表現(xiàn)為x、y之間的一次關(guān)系。三個情景的設(shè)計，情景一較簡單，學(xué)生從生活經(jīng)驗入手就可以列出，這其實也是列出函數(shù)關(guān)系式的第一種渠道根據(jù)生活經(jīng)驗。情景二的彈簧問題是課本上題目，由于問題較簡單，很多學(xué)生結(jié)合生活中所見就能解決。從學(xué)生身邊生活入手，設(shè)計三個情景，可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生經(jīng)歷列函數(shù)關(guān)系式的過程，可以初步得到列函數(shù)關(guān)系式的步驟。本節(jié)課的難點之一就是如何列函數(shù)表達式，在三個情景與學(xué)生的充分交流后，學(xué)生能夠?qū)﹄y點有初步的突破。通過在列表活動中數(shù)據(jù)變化情況的觀察，可

13、以幫助學(xué)生獲得關(guān)于變化規(guī)律的猜想，從而猜想并驗證其代數(shù)表達式。第三環(huán)節(jié)：小結(jié)與歸納請同學(xué)們觀察以上得到的四個關(guān)系式，他們在形式上有什么共同特征呢？點評探究過程，同時由以上函數(shù)都可以寫成因變量=系數(shù)自變量+常數(shù)或因變量=系數(shù)自變量的形式，導(dǎo)入一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義。繼續(xù)提問：k為什么不能為0？正比例函數(shù)與一次函數(shù)存在著怎樣的特殊關(guān)系？y=+3y=+60y=y=小組內(nèi)充分交流。不同小組發(fā)言互相補充。一般地，我們把y=kx+b (k0,k、b為常數(shù))叫做一次函數(shù)；特別地，當(dāng)b=0時，把y=kx (k0)叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。直觀教學(xué)及對比、聯(lián)想同時，教師的適當(dāng)引導(dǎo)，不僅使學(xué)

14、生快速掌握知識，而且有助于加深學(xué)生印象，加強了對學(xué)生觀察、對比、聯(lián)想等邏輯思維能力的培養(yǎng)。通過上一個教學(xué)環(huán)節(jié)得到的函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生通過小組討論，并不能迅速發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)在形式上的所有特點，教師在巡視中除了要及時點撥，在學(xué)生回答問題時可以讓不同學(xué)生互相補充。第四環(huán)節(jié)：鞏固與拓展提問：1.下列函數(shù)中,哪些是一次函數(shù)(1)y=-3x+7;(2)y=-x+1; (3)y=x2+1; (4)y=8x; (5)；(6)(7)s=2t-3(s、t是變量)請分別說出這些函數(shù)的k和b值。2.若函數(shù)是一次函數(shù),則應(yīng)滿足的條件是 ；若是正比例函數(shù),則應(yīng)滿足的條件是 .3.當(dāng)= 時,函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù).1.學(xué)生回答問

15、題，學(xué)生進行點評糾正。是一次函數(shù)。（1）k=3，b=7（2）k=-1，b=1（4）k=8，正比例函數(shù)（5）k=1/6，正比例函數(shù)（7）k=2，b=-32.一次函數(shù)應(yīng)滿足；正比例函數(shù)應(yīng)滿足3.應(yīng)滿足，即：對本節(jié)知識進行鞏固練習(xí).一系列的問題串讓學(xué)生在對正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念和形式上更擴大加深理解。通過練習(xí)讓學(xué)生基本能較好的獨立完成練習(xí)題,對知識進行鞏固在第3題中,學(xué)生易忘記的條件,而錯誤的將答案寫成.例1：寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？ (1)汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關(guān)系。(2)圓的面積y

16、（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關(guān)系；(3) 某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x h后這個水池內(nèi)有水y m3。鞏固：某地區(qū)電話的月租費為25元,在此基礎(chǔ)上,可免費打50次市話(每次3分鐘),超過50次后,每次元.(1)寫出每月電話費(元)與通話次數(shù)(50)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出月通話150次的電話費；(3)如果某月通話費為元,求該月通話的次數(shù)(1)由路程=速度時間，得y=60 x ,y是x的 一次函數(shù),也是x的正比例函數(shù)。其中的k值是60.(2)由圓的面積公式，得y= x2,y不是x的正比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù)。(3)這個水池每小時增加5m3水,x h后增

17、加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函數(shù),但不是x的正比例函數(shù).其中的k值是5,b值是15.(1)根據(jù)題意得: ,即；當(dāng)時，(3)因為,可知通話次數(shù)大于50次,即當(dāng)時,求值.,解得.在學(xué)生講解題目時，采用實物投影的方式，讓課堂更高效。學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上完成題目，是經(jīng)過充分思考，不容易造成上臺做題緊張的情況。通過豐富的現(xiàn)實背景的例題,進一步理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念,根據(jù)所給的條件寫出簡單的一次函數(shù)的表達式,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力解決此類問題首先要理解題意,然后找出相等關(guān)系.此題相等關(guān)系為:每月通話費=月租費+超過50次后電話費.拓展：自2023年10月1日

18、起，個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入不超過5000元的部分不收稅；月收入超過5000元但不超過8000元的部分征收3%所得稅；月收入超過8000元但不超過17000元的部分征收10%所得稅。如某人月收入6960元，他應(yīng)繳個人工資、薪金所得稅為（69605000）3%=（元）。 當(dāng)月收入大于5000元而又不超過8000元時，寫出應(yīng)繳所得稅y（元）與月收入x（元） 之間的關(guān)系式. （2）某人月收入為5760元，他應(yīng)繳所得稅多少元？ （3）如果某人本月應(yīng)繳所得稅84元，那么此人本月工資、薪金是多少元？（1）當(dāng)月收入大于5000元而又不超過8000元時，y=(x-5000)3%,即y=（2）當(dāng)

19、x=5760時,y=5760-150=(元)（3）因為(8000-5000) 3%=90,8490,所以此人本月工資薪金收入不超過8000元,設(shè)此人本月工資薪金收入是x元，則84=，x=7800.即此人本月工資薪金收入是7800元。充分加強數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系,促進學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的發(fā)展由于新的個人所得稅政策與學(xué)生學(xué)習(xí)生活較遠，學(xué)生了解甚少，所以此環(huán)節(jié)安排學(xué)生提前回家上網(wǎng)查閱資料，此環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生進行講解。此環(huán)節(jié)是課堂的小高潮，學(xué)生之間的互動在前面活動中熱身后升華，若能掌握兩種函數(shù)的概念，則可以通過此環(huán)節(jié)互相糾錯。根據(jù)已知條件寫出簡單的一次函數(shù)的表達式,教學(xué)時,學(xué)生會出現(xiàn)一定的

20、差異,此時,要給予學(xué)生足夠的思考時間,必要的時候可組織學(xué)生交流討論,而不能是簡單的“告訴”.另外,在教學(xué)上還必須注意培養(yǎng)學(xué)生的書面表達能力,這些都是邏輯思維訓(xùn)練的一部分.進一步通過練習(xí)題鞏固學(xué)生對一次函數(shù)以及正比例函數(shù)概念及形式的理解和應(yīng)用。第五環(huán)節(jié):課堂小結(jié)在知識與方法上，本節(jié)課你有哪些收獲？鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,談?wù)勛约旱氖斋@和感想,進一步鞏固本節(jié)課的知識讓學(xué)生從知識、方法、生活上談收獲,可以在反思中感受函數(shù)在生活中無處不在。第六環(huán)節(jié):反饋練習(xí)已知函數(shù)y=(2-m)x+2m-3.當(dāng)m= 時,函數(shù)為正比例函數(shù),當(dāng)m 時,函數(shù)為一次函數(shù).要使y=(m-2)xn-1+n是關(guān)于x的一次函數(shù)

21、則n,m應(yīng)滿足 , .3. 小明根據(jù)某個一次函數(shù)關(guān)系式填寫了下表:x-2-101y3-1-3其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，該空格里原來填的數(shù)是多少？解釋你的理由。4.已知ABC一邊AB上的高為8，ABC的面積y與ABC的AB邊x的關(guān)系式.=3/2;m2要使y=(m-2)xn-1+n是關(guān)于x的一次函數(shù)，那么x的指數(shù)要為1，則n=2，x的系數(shù)k0，則m2. 3.空格填14.等量關(guān)系:Y=4x對本節(jié)知識進行鞏固練習(xí)。學(xué)生基本能較好地獨立完成練習(xí)題,收到了較好的教學(xué)效果。在學(xué)生講解題目時，采用實物投影的方式，讓課堂更高效。學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上完成題目，是經(jīng)過充分思考，不容易造成上臺做題緊張的情況。若因為課堂時間關(guān)系，練習(xí)可在課后完成。第一題考察對一次函數(shù)和正比例函數(shù)概念的掌握,第二題是對一次函數(shù)概念的拓展,學(xué)生不僅要會判斷關(guān)系式中的k值和b值,也要了解一次函數(shù)中自變量指數(shù)和系數(shù)是有要求的.第三題是希望學(xué)生體會一次函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量之間的一種線性增長關(guān)系,有助于學(xué)生在后面學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像中幫助學(xué)生更好理解第四題考察學(xué)生列函數(shù)關(guān)系式的能力,這兩題的考察點都是本節(jié)課的重難點,學(xué)生順利完成即代表本節(jié)課熟練掌握。課后作業(yè)：必做：課本P81隨堂練習(xí)2課本P82習(xí)題知識技能 問題解決選做：函數(shù)世界里還有哪些成員,上網(wǎng)或查閱資料進行初步了解