三角函數(shù)的綜合應(yīng)用課件

1、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用3.求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界 性,一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型處理: (1)y=asin x+b,設(shè)t=sin x化為一次函數(shù)y=at+b在閉 區(qū)間t-1,1上的最值問(wèn)題; (2)y=asin x+bcos x+c,引入輔助角 化為 求解方法同類型(1); (3)y=asin2x+bsin x+c,設(shè)t=sin x,化為二次函數(shù)y= at2+bt+c在t-1,1上的最值問(wèn)題; 3.求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界 (4)y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c,設(shè)t=sin x cos x,化為二次函數(shù)

2、在閉區(qū)間t- ,2上的最值問(wèn)題;(5) 設(shè)t=tan x,化為 用判別式法求值;當(dāng)ab0時(shí),還可用基本不等式求最值;(6) 根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,既可以用分析法求最值,也可以用不等式法或數(shù)形結(jié)合法求最值.(4)y=asin xcos x+b(sin xcos x4.求三角函數(shù)的最值的主要方法: (1)配方法;(2)化為同一個(gè)角的三角函數(shù);(3)數(shù)形 結(jié)合法;換元法;基本不等式法.5.用換元法解題,特別要注意sin xcos x與 sin xcos x的關(guān)系，令sin xcos x=t，則 sin xcos x=6.討論三角函數(shù)的單調(diào)性,解三角不等式,要注意數(shù) 形結(jié)合思想的運(yùn)用.注意函數(shù)性質(zhì)在解

3、題中的運(yùn)用.7.若一個(gè)函數(shù)為周期函數(shù),則討論其有關(guān)問(wèn)題,可先研 究在一個(gè)周期內(nèi)的情形,然后再進(jìn)行推廣. 4.求三角函數(shù)的最值的主要方法: 基礎(chǔ)自測(cè)1.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為 20 km,現(xiàn)測(cè)得ABC=120,則A、C兩地的距離為 _ km. 解析基礎(chǔ)自測(cè)2.(2009安徽改編)設(shè)函數(shù)f(x)= +tan ,其中 則導(dǎo)數(shù)f(1)的取值范圍 是_. 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x,2.(2009安徽改編)設(shè)函數(shù)f(x)= 3.當(dāng)x(0, )時(shí)函數(shù) 的 最小值是_. 解析 0 x 0tan x1 當(dāng)tan x= 時(shí),f(x)取的最小值4. 43.當(dāng)x(

4、0, )時(shí)函數(shù) 4.若ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c成等比數(shù)列且sin B+cos B =k,則實(shí)數(shù)k的范圍是_. 解析4.若ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c成等比數(shù)列且sin B+co【例1】已知00,0),x0,4的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為 賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參 賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定MNP=120. (1)求A,的值和M,P兩點(diǎn)間的距離; (2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？【例2】(2009福建)如分析 主要通過(guò)建立三角函數(shù)模型求解,但要求解 析式和設(shè)角求解. 解 (2)在MNP中,MNP=120,MP=5.設(shè)PMN= ,則0 60.由正弦定理得分析 主要通過(guò)建立三角函數(shù)模型

5、求解,但要求解 0 60,60 +60120,當(dāng) =30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).即將PMN設(shè)計(jì)為30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng). 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用跟蹤練習(xí)2 已知a= b= f(x)=ab. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)若y表示某海岸港口的深度(m),x表示一天內(nèi)的 時(shí)間(h)；當(dāng)水深不低于5 m時(shí)，船才能駛?cè)敫劭? 求一天內(nèi)船可以駛?cè)牖蝰偝龈劭诘臅r(shí)間共有多少 小時(shí)？ 解跟蹤練習(xí)2 已知a= b=則12k+1x12k+5,(kZ).又0 x24,1x5或13x17.則一天內(nèi)船可以駛?cè)牖蝰偝龈劭诘臅r(shí)間共有8小時(shí). 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】 (2010揚(yáng)州調(diào)研)已知函數(shù) (1)當(dāng)

6、a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)a0,且x0,時(shí),f(x)的值域是3,4,求 a,b的值. 求單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+ ) 的形式,注意a的討論,求值域要利用單調(diào)性. 解分析【例3】 (2010揚(yáng)州調(diào)研)已知函數(shù) 分析三角函數(shù)的綜合應(yīng)用跟蹤練習(xí)3 設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acos x-(2a+1) 的最小值為f(a). (1)寫(xiě)出f(a)的表達(dá)式; (2)試確定能使f(a)= 的a值,并求此時(shí)函數(shù)y的最 大值. 解跟蹤練習(xí)3 設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acos x(2)當(dāng)a-2時(shí),f(a)=1,則f(a)= 無(wú)解;解得a=-1或a=-3(舍去).(

7、2)當(dāng)a-2時(shí),f(a)=1,則f(a)= 無(wú)解;【例4】(12分)(2009山東)已知函數(shù)f(x)= 在x=處 取最小值. (1)求 的值; (2)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知 a=1,b= f(A)= 求角C. 轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+ )的形式,但要和正弦 定理相結(jié)合求解.分析【例4】(12分)(2009山東)已知函數(shù)f(x)=分析解題示范解解題示范三角函數(shù)的綜合應(yīng)用跟蹤練習(xí)4 已知A,B是ABC的兩個(gè)內(nèi)角,向量a= (1)證明:tan Atan B為定值; (2)當(dāng)tan C取最大值時(shí),求ABC的三個(gè)內(nèi)角的大小. (1)證明跟蹤練習(xí)4 已知A,B是ABC的兩個(gè)內(nèi)

8、角,向量a= (2)解(2)解三角函數(shù)的綜合利用主要體現(xiàn)在和其它知識(shí)相結(jié)合, 利用圖象變換求解問(wèn)題,高考一般在解三角形的問(wèn)題中出現(xiàn). 1.三角函數(shù)作為工具,和其他知識(shí)的聯(lián)系比較密切, 因此,要關(guān)注三角與向量、解三角形、立體幾何、 解析幾何、復(fù)數(shù)等知識(shí)的綜合.思想方法 感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望方法規(guī)律總結(jié)思想方法 感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望方法規(guī)律總結(jié)2.向量與三角知識(shí)綜合,體現(xiàn)了知識(shí)的交匯，這是高 考命題的熱點(diǎn). 3.在三角形中,求解三角函數(shù)問(wèn)題,要注意A+B+C= 這一隱含條件的使用.4.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),也是以實(shí)數(shù)為自 變量的函數(shù),實(shí)際問(wèn)題中,通過(guò)設(shè)角為參數(shù),將實(shí)際 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的

9、三角函數(shù)模型,從而使三角 知識(shí)來(lái)源于實(shí)際,同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于實(shí)際.5.關(guān)于以三角函數(shù)為模型的實(shí)際問(wèn)題往往背景比較復(fù) 雜,具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)生活色彩，語(yǔ)言表述服從于各 自的實(shí)際背景,因此在解決類似實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意2.向量與三角知識(shí)綜合,體現(xiàn)了知識(shí)的交匯，這是高 自變量的范圍,注意數(shù)形結(jié)合，通過(guò)觀察圖形獲得 本質(zhì)認(rèn)識(shí),審題要細(xì)致,涉及復(fù)雜數(shù)據(jù)的,可借助相 關(guān)信息技術(shù)工具進(jìn)行處理. 6.解決三角函數(shù)應(yīng)用題一般有兩類題型:第一是函數(shù) 擬合,第二是利用函數(shù)求最值，都必須按照一般應(yīng) 用題的解題步驟分為以下幾步: (1)詳細(xì)審題,理清問(wèn)題中的等量或不等關(guān)系; (2)建立函數(shù)模型(即將關(guān)系數(shù)學(xué)化)，或?qū)懗龊瘮?shù) 解

10、析式,或?qū)懗鲇扇呛瘮?shù)構(gòu)成的不等式; (3)討論變量性質(zhì),解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題; (4)得出結(jié)論. 自變量的范圍,注意數(shù)形結(jié)合，通過(guò)觀察圖形獲得 一、填空題1.(2009濟(jì)寧期末)已知a=(cos 2,sin ),b= (1,2sin -1), 若ab= 則 的值為_(kāi). 解析 ab=cos 2+2sin2-sin =1-2sin2+2sin2-sin =1-sin =定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)答案 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用2.(2008江蘇)若AB=2,AC= BC,則SABC的最大值 是_. 解析 設(shè)BC=x,則AC= 根據(jù)面積公式得 根據(jù)余弦定理得 將其代入上式得2.(2008江蘇)若AB=2,AC= BC,

11、則SA 由三角形三邊關(guān)系有 故當(dāng)x= 時(shí),即x2-12=0時(shí), SABC取得最大值 答案三角函數(shù)的綜合應(yīng)用3.(2009肇慶期末)定義運(yùn)算a*b=a2-ab-b2,則 =_. 解析3.(2009肇慶期末)定義運(yùn)算a*b=a2-ab-b2,4.(2009廣州第二次聯(lián)考)已知a,b,x,yR,a2+b2= 4,ax+by=6,則x2+y2的最小值為_(kāi). 解析 因?yàn)閍2+b2=4, 可設(shè)a=2sin ,b=2cos , 則xsin +ycos =3. 故 的最小值為3,即x2+y2的最小值為9. 94.(2009廣州第二次聯(lián)考)已知a,b,x,yR,a25.(2010宿州模擬)若函數(shù)f(x)=sin

12、(x+)-2cos(x- )是偶函數(shù),則cos 2=_. 解析 f(x)=(cos -2sin )sin x+(sin - 2cos )cos x是偶函數(shù), 故cos -2sin =0,cos =2sin , cos2+sin2=5sin2=1,5.(2010宿州模擬)若函數(shù)f(x)=sin(x+)-6.(2010泰州調(diào)研)函數(shù)f(x)= 的最小值是_. 解析6.(2010泰州調(diào)研)函數(shù)f(x)=7.(2009福建文)已知銳角ABC的面積為 BC= 4,CA=3,則角C的大小為_(kāi). 解析 由題知,607.(2009福建文)已知銳角ABC的面積為 BC8.(2010蘇南四市模擬)俗話說(shuō)“一石激起

13、千層浪”, 小時(shí)候在水上打“水漂”的游戲一定不會(huì)忘記吧. 現(xiàn)在一個(gè)圓形波浪實(shí)驗(yàn)水池的中心已有兩個(gè)振動(dòng)源, 在t秒內(nèi)，它們引發(fā)的水面波動(dòng)可分別由函數(shù)y1= sin t和y2= 來(lái)描述,當(dāng)這兩個(gè)振動(dòng)源同時(shí) 開(kāi)始工作時(shí),要使原本平靜的水面保持平靜，則需 再增加一個(gè)振動(dòng)源(假設(shè)不計(jì)其他因素，則水面波 動(dòng)由幾個(gè)函數(shù)的和表達(dá))，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)新增振動(dòng) 源的函數(shù)解析式_.8.(2010蘇南四市模擬)俗話說(shuō)“一石激起千層浪”, 解析答案解析9.(2010南通模擬)2002年在北京 召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是 以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為 基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖是由四個(gè)全等直 角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形

14、(如 圖).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為 25,直角三角形中較小的銳角為,那么cos 2 的值 等于_. 9.(2010南通模擬)2002年在北京解析 大正方形面積為25,小正方形面積為1,大正方形邊長(zhǎng)為5,小正方形的邊長(zhǎng)為1.5cos -5sin =1,cos -sin = 是直角三角形中較小的銳角,答案解析 大正方形面積為25,小正方形面積為1,二、解答題10.(2008福建)已知向量m=(sin A,cos A),n= mn=1,且A為銳角. (1)求角A的大小; (2)求函數(shù)f(x)=cos 2x+4cos Asin x (xR)的值域. 解 (1)由題意得mn= sin

15、A-cos A=1, 二、解答題(2)由(1)知cos A= 所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x因?yàn)閤R,所以sin x-1,1,因此,當(dāng)sin x= 時(shí),f(x)有最大值當(dāng)sin x=-1時(shí),f(x)有最小值-3.所以所求函數(shù)f(x)的值域是(2)由(1)知cos A= 11.(2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)= (R,xR)的最 小正周期為,且圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱. (1)求f(x)的解析式; (2)若函數(shù)y=1-f(x)的圖象與直線y=a在0, 上 只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 函數(shù)f(x)的最小正周期為,11.(2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 (2)y=1-f(x)= 在同一坐標(biāo)系中作出 和y=a的圖象:由圖可知,直線y=a在a 或a=1時(shí),兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn),a 或a=1. (2)y=