分析05插值法上課件

1、分析05插值法上分析05插值法上第五章目錄 1 拉格朗日（Lagrange）插值 1.1 插值多項式的存在性和唯一性 1.2 插值多項式的誤差估計 1.3 Lagrange插值多項式 2 牛頓（Newton）插值 2.1 差商 2.2 Newton插值方式 2.3 差分 2.4 差距節(jié)點的插項公式3 Hermite插值 3.1 Hermite插值 3.2 誤差估計 3.3 Hermite插值的一般方式4 多項式插值的缺陷 4.1 多項式插值的缺陷 4.2 分段多項式插值5 樣條函數(shù) 5.1 樣條函數(shù)的概念 5.2 三次樣條函數(shù)2第章 第五章目錄 1 拉格朗日（Lagrange）插插值法概述 函

2、數(shù)常被用來描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律數(shù)量關(guān)系，如宇宙中天體的運行，地球上某地區(qū)平均氣溫的變化等等，但在生產(chǎn)和科研實踐中碰到的大量的函數(shù)中，不僅僅是用解析表達(dá)式表示的函數(shù)，還經(jīng)常用數(shù)表和圖形來表示函數(shù)，其中函數(shù)的數(shù)表形式在實際問題中應(yīng)用廣泛，主要原因是有相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實驗或觀測得到的一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)只是某些離散點 xi 上的值（包括函數(shù)值f (xi)，導(dǎo)數(shù)值f (xi)等,i = 0,1,2,n),雖然其函數(shù)關(guān)系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達(dá)式，因此不便于分析研究這類數(shù)表函數(shù)的性質(zhì)，也不能直接得出其它未列出點的函數(shù)值，我們希望能對這樣的函數(shù)用比較簡單的表達(dá)式近似地給出整體的描述。

3、3第章 插值法概述 函數(shù)常被用來描述客觀事物變化的內(nèi)插值法概述(續(xù)1） 如行星在太空中的定位問題：當(dāng)行星在空間運行時，可通過精密觀測儀器在不同的時間ti(i = 1,2,)觀測到行星所在位置S(ti)，無論花費多少人力物力，所得到的只是一批離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti),i=1,2,)，而行星是在作連續(xù)運動，它在任一時間t（與ti不同）的位置S(t)，我們只能再去通過觀測得到，插值逼近是利用這組離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti)構(gòu)造一個簡單的便于計算的近似函數(shù)（解析表達(dá)式），用它可求任何時間的函數(shù)值（稱為插值），對這個近似解析表達(dá)式也能求導(dǎo)，討論其各種性質(zhì)。又如：據(jù)資料記載，某地某年夏季時節(jié)間隔30天的日

4、出日落時間數(shù)據(jù)如下：4第章 插值法概述(續(xù)1） 如行星在太空中的定位問題：插值法概述（續(xù)2） 另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表達(dá)式，但因其過于復(fù)雜，不便于計算和分析，同樣希望構(gòu)造一個既能反映函數(shù)的特性又便于計算的簡單函數(shù)，近似代替原來的函數(shù)。 如在積分 中，當(dāng)f (x)很復(fù)雜，要計算積分I是很困難的，構(gòu)造近似函數(shù)使積分容易計算，并且使之離散化能上機計算求出積分I，都要用到插值逼近。 5月1日 5月31日 6月30日 日出: 5:51 5:17 5:10 日落: 19:04 19:38 19:50 如果我們希望知道從5月1日到6月30日這些天中，哪一天的日照最長，而這段時間大部分日子的情況并沒有

5、數(shù)據(jù)記錄，這就需要從上面數(shù)表中僅有的數(shù)據(jù)出發(fā)，構(gòu) 造一個（近似）函數(shù)反映日出（日落）的規(guī)律，用以推測所需要的數(shù)據(jù)。5第章 插值法概述（續(xù)2） 另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表代數(shù)插值 解決上述問題的方法有兩類：一類是對于一組離散點(xi,f (xi) (i = 0,1,2,n)，選定一個便于計算的函數(shù)形式(x)，如多項式，分段線性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過點(xi)=f (xi) (i = 0,12,n),由此確定函數(shù)(x)作為f (x)的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（

6、數(shù)據(jù)）擬合法，將在下一章介紹。 本章主要討論構(gòu)造插值多項式的幾種常用的方法及其誤差 用插值法求函數(shù)的近似表達(dá)式時，首先要選定函數(shù)的形式。可供選擇的函數(shù)很多，常用的是多項式函數(shù)。因為多項式函數(shù)計算簡便，只需用加、減、乘等運算，便于上機計算，而且其導(dǎo)數(shù)與積分仍為多項式。6第章 代數(shù)插值 解決上述問題的方法有兩類：一類是對于代數(shù)插值（續(xù)1） 用多項式作為研究插值的工具，稱為代數(shù)插值，其基本問題是： 已知函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上n+1個不同點x0,x1,xn處的函數(shù)值yi = f (xi) (i=0,1,n),求一個次數(shù)不超過n的多項式： 使其滿足在給定點處與f(x)相同，即滿足插值條件： n(x

7、)稱為插值多項式，xi(i=0,1,2,n)稱為插值節(jié)點，a,b稱為插值區(qū)間。7第章 代數(shù)插值（續(xù)1） 用多項式作為研究插值的工具，代數(shù)插值（續(xù)2） 從幾何上看（如圖5-1所示），n次多項式插值就是過n+1個點yi = f (xi)(i=0,1,n)，作一條多項式曲線y = (x)近似曲線y = f (x) :yxy0yny2x0 x1x2xny1（圖5-1）因此，所謂插值，即是在x0,x1,xn中任意插入一個x，要求對應(yīng)的f (x)，具體做法是按上述方法構(gòu)造n(x)以n(x)近似f (x)。 - - -8第章 代數(shù)插值（續(xù)2） 從幾何上看（如圖5-1所示代數(shù)插值（續(xù)3） 插值法是求函數(shù)值的一

8、種逼近方法，是數(shù)值分析中的基本方法之一，作為基礎(chǔ)，后面微分，積分，微分方程在進(jìn)行離散化處理時，要用到，作為一種逼近方法，本身也有廣泛的應(yīng)用價值，如在拱橋建設(shè)中，拱軸，拱腹的設(shè)計節(jié)點與具體施工設(shè)計點常?？赡懿恢睾稀Ｈ鐖D5-2所示。 假定 ： 設(shè)計給出的節(jié)點為xi = 2,4,6, 8, 10，施工設(shè)計拱架點為xi = 1.5, 3.5, 5.5, 8, 10,部分節(jié)點不重合，此時y = f (xi)如何求？這就是插值問題。246810 xy（圖5-2）9第章 代數(shù)插值（續(xù)3） 插值法是求函數(shù)值的一種逼近方 又如在軟土地區(qū)修建鐵路，公路，將不可避免地會出現(xiàn)后期沉降（工后沉降）問題，其工后沉降的大小

9、，沉降速率都直接影響鐵路，公路的養(yǎng)護(hù)運營，行車速度等，因此要對其進(jìn)行嚴(yán)格控制。 通過對已建成路基面標(biāo)高（路肩）進(jìn)行測量觀測，可得到一批數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（包括作插值），可推算出： 某一時刻路基沉降（如3年，5年）的沉 降值； 不同時期路基沉降速率； 最終沉降值。 代數(shù)插值應(yīng)用舉例10第章 又如在軟土地區(qū)修建鐵路，公路，將不可代數(shù)插值1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多項式的存在性和唯一性 插值中，首先要解決的問題是：滿足插值條件（5-2）的插值多次式n(x)是否存在？如果存在，是否唯一？n次多項式n(x)有n +1個待定系數(shù)，利用給出的n+1個不同的節(jié)點x0, x1, ,

10、xn，由插值條件（5-2）可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,an的n +1個方程 ：11第章 1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多項式的插值多項式的存在性和唯一性（續(xù)）其系數(shù)行列式 ：由唯一性的上述簡單證明，可以得到下面幾點：12第章 插值多項式的存在性和唯一性（續(xù)）其系數(shù)行列式 ：由唯一性的上關(guān)于唯一性證明的幾點說明1：插值多項式的唯一性表明，對同一組節(jié)點，它們的 插值多項式是唯一的，可能由不同的方法，會得到不同形式的插值多項式，但它們之間一定可以相互轉(zhuǎn)化，一定會相同，當(dāng)然誤差也一樣。2：n +1組節(jié)點只能確定一個不超過n次的多項式，若n次，如設(shè)為n+1(x)，則有n+2有待定參數(shù)a0,

11、a1,an, an+1需確定，而n +1個組節(jié)點，只構(gòu)成n +1個插值條 件，即構(gòu)成n+1個方程，只能確定n+1個變量的方程組。3：上述證明是構(gòu)造性的（給出解決問題的方法）即 以通過解線性方程組來確定插值多項式，但這種方法的計算量偏大，計算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實際計算中不采用這種方法，而用下面介紹的幾種常用的方法。13第章 關(guān)于唯一性證明的幾點說明1：插值多項式的唯一性表明，對同一組 1.2 插值多項式的誤差估計 插值多項式與被插函數(shù)之間的差： 稱為截斷誤差，又稱為插值余項。假定f (x)在區(qū)間a,b上n +1次連續(xù)可導(dǎo)，對a,b上任意點x，且x xi(i=0,1,n)，構(gòu)造輔助

12、函數(shù)： 14第章 1.2 插值多項式的誤差估計 插值多項式與被插函數(shù)之間的插值多項式的誤差估計（續(xù)）在（a, b）內(nèi)至少有一個零點，設(shè)為，即： 因為n(t)為至多n次多項， n+1(t)為最高次項系數(shù)為1的n +1次多項式，因而：又由插值條件（5-2），Rn(xi) = 0 (i=0,1,n)，故函數(shù)(t)在區(qū)間a,b內(nèi)至少有n+2個零點x,x0,x1,xn。由羅爾（Rolle）中值定理，函數(shù) 在(a, b)內(nèi)至少有n +1個零點。反復(fù)使用Rolle中值定理，可以得出：15第章 插值多項式的誤差估計（續(xù)）在（a, b）內(nèi)至少有一個零點，設(shè)插值多項式的誤差估計（續(xù)）于是有：所以：當(dāng)x = xi

13、(i=0,1,n)，時，上式自然成立，因此，上式對a,b上的任意點都成立。這就是插值多項式的誤差估計。16第章 插值多項式的誤差估計（續(xù)）于是有：所以：當(dāng)x = xi (i插值余項定理定理5.1 設(shè)x0, x1, xn是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，n(x)是過這組節(jié)點的n次插值多項式。如果f (x)在a, b上n+1次連續(xù)可導(dǎo)，則對a,b內(nèi)任意點x，插值余項為： 觀察插值多項式的余項公式，容易看出它與臺勞（Taylor）余項有相似之外。事實上，插值余項（5-4）的導(dǎo)出過程與Taylor余項的導(dǎo)出也類似。這并不偶然，因為兩者都是研究用多項式近似一個函數(shù)的誤差。只是Taylor多項式要求在同一點上各

14、階導(dǎo)數(shù)值相等，而插值多項式則要求在個不同點上函數(shù)值相等。 17第章 插值余項定理定理5.1 設(shè)x0, x1, xn是區(qū)間a插值余項定理（續(xù)） 另外，從余項Rn(x)中的n+1(x)知，當(dāng)點x位于x0, x1, xn的中部時，比較小，精度要高一些；而位于兩端時，精度要差一點；若x位于x0, x1, xn的外部，一般稱為外插，此時精度一般不理想，使用時必須注意。 為更好理解誤差估計式（5-4），來看一下，若f (x)為一個n次多項式，對于區(qū)間a,b，從上選取n +1個點xi(i=0,1,2,n)，由yi =f (xi)可得一組點(xi,yi)(i=0,1,2,n)，由它們按插值條件（5-2）構(gòu)成一

15、個n次插多項式n(x)，問f (x)（n次多項式）與n(x)之間相差多少(n(x)f (x)？ 18第章 插值余項定理（續(xù)） 另外，從余項Rn(x)中的n+1(x1.3 Lagrange插值多項式 對(xi,yi)(i=0,1,2,n)按插值條件（5-2）構(gòu)造n次插值多項式，有幾種方法，可得相應(yīng)的插值多項式，下面從最簡單的情形開始。 n =1時，只有兩個節(jié)點，x0, x1，對應(yīng)于y0, y1，由前所述，插值多項式應(yīng)設(shè)為1(x) = a0+a1x，且滿足插值條件 ：所以，n =1時兩個節(jié)點的插值多項式為：（緊接下屏）19第章 1.3 Lagrange插值多項式 對(xLagrange插值多項式（

16、續(xù)1） 其幾何意義，就是以過兩點(x0, y0)，(x1, y1)的直線y = 1(x)近似曲線y = f (x)，故這種插值又稱為線性插值，如圖5-3所示 ：x圖5-3 x0 x1由于1(x)為直線，由過兩點的直線的點斜式可得：20第章 Lagrange插值多項式（續(xù)1） 其幾何意義Lagrange插值多項式（續(xù)2） 顯然，1(x)，N1(x)與L1(x)都是同一條直線，應(yīng)相同，也可以驗證1(x)，N1(x)和L1(x)滿足插值條件（5-2）。 線性插值多項式的上述幾種形式中，式（5-6）與式（5-7）由于形式上較簡單，將以它們?yōu)榛A(chǔ)，推廣到n+1個節(jié)點的一般情況，分別得到牛頓插值多項式Nn

17、(x)和拉格朗日插值多項式Ln(x)。 為了將兩點插值公式L1(x)推廣到一般情況，引入插值基函數(shù)l0(x)，l1(x)，則： L1(x)是兩個函數(shù)值的線性組合，組合系數(shù)為兩個插值基函數(shù)：21第章 Lagrange插值多項式（續(xù)2） 顯然，1 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點，即將插值多項式表示為插值節(jié)點x0，x1對應(yīng)的函數(shù)值y0，y1的線性組合，而組合系數(shù)就是插值基函數(shù)l0(x), l1(x)。所以插值問題可分解為基函數(shù)的插值問題。插值基函數(shù)這里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函數(shù)，應(yīng)滿足插值條件：當(dāng)n =2時，已知函數(shù)表如下，,求滿足插值條件L2(xi) = yi

18、(i=0,1,2,)的二次的插值多項式L2(x)xx0 x1x2y(x)y0y1y222第章 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點，即插值基函數(shù)（n =2）（續(xù)1） 按此插值條件，每個基函數(shù)的零點都是插值節(jié)點，借助零點構(gòu)造多項式，可寫出三個插值基函數(shù)。例如，由于x1,x2為l0(x)的兩個零點，故可設(shè)： 同理可得：23第章 插值基函數(shù)（n =2）（續(xù)1） 按此插值條件，插值基函數(shù)（續(xù)2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l1(x)y1+ l2(x)y2滿足插值條件（5-2）由多項式插值的唯一性知，L2(x)即為所求的二次插值多項式，由于其幾何意義為以拋物線L2(x)近似曲線y = f

19、 (x)，如圖5-4所示，故又稱為拋物插值。 將上述利用插值基函數(shù)求插值多項式的方法推廣到一般情況，當(dāng)節(jié)點增多到n +1個時，對(xi,yi)(i=0,1,2,n) 設(shè)n次插值多項式：xx1x2x0y圖5-424第章 插值基函數(shù)（續(xù)2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l插值基函數(shù)（續(xù)3）即li(x)有n個零點xj (j=0,1,n,j i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中l(wèi)i(x)為插值基函數(shù)(i = 0,1,2,n)，它們的次數(shù)不超過n，且滿足：25第章 插值基函數(shù)（續(xù)3）即li(x)有n個零點xj (j=0,1,Lagrange插值多項式 代入（5-9）式，得:26第章

20、 Lagrange插值多項式 代入（5-9）式，得:28第章 Lagrange插值多項式（續(xù)）事實上，因為每個插值基函數(shù) li（x)(i=0,1,n)都是n次多項式，故Ln(x)是至多n次多項式，由: 即Ln(x)滿足插值條件（5-2），稱式（5-10）為Lagrange插值多項式，具優(yōu)點是形式對稱，含義直觀，便于在計算機上實現(xiàn)，式（5-4）為插值余項。 27第章 Lagrange插值多項式（續(xù)）事實上，因為每個插值基函數(shù) 插值舉例例1 已知函數(shù) y = ln x的函數(shù)表如下： 2.63912.56492.48492.39792.3026y=lnx1413121110 x解線性插值。取兩個節(jié)點

21、x0=11，x1=12，插值基函數(shù)為:分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值，并估計截斷誤差。28第章 插值舉例例1 已知函數(shù) y = ln x的函數(shù)表如下： 2例1(續(xù)）拋物線插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值多項式為:29第章 例1(續(xù)）拋物線插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值舉例（續(xù)）例2證明上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)均為1。 顯然，函數(shù)f(x) 1在這n +1個節(jié)點取值為1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多項式為：對任意x，插值余項為：所以：30第章 插

22、值舉例（續(xù)）例2證明上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，2 牛頓（Newton）插值 Lagrange插值多項式是從直線的對稱式出發(fā)，利用插值基函數(shù)的方法得到的，但從計算的角度來說，直線的點斜式（5-6）更為方便，因此，能否由此出發(fā)，構(gòu)造一類計算簡單的插值公式呢？31第章 2 牛頓（Newton）插值 Lagra牛頓（Newton）插值（續(xù)1） 這是一個遞推公式，它表明當(dāng)增加一個節(jié)點時，新的插值多項式只在原插值多項式基礎(chǔ)上增加一項，這種情況如果能推廣到n次多項式Nn(x)，則Nn(x)可寫作為： 上述插值多項式的系數(shù)a0,a1,an如何求，是否有規(guī)律？事實上，這些系數(shù)的確定，可利用插值條件： 3

23、2第章 牛頓（Newton）插值（續(xù)1） 這是一個遞推牛頓（Newton）插值（續(xù)2）33第章 牛頓（Newton）插值（續(xù)2）35第章 2.1 差商 定義5.1 類似于高階導(dǎo)數(shù)的定義，稱 一階差商的差商:為f (x)關(guān)于點xi,xj,xk的二階差商，記為f xi,xj,xk。 稱為f (x)關(guān)于點x0,x1,xk的k階差商。一般地：34第章 2.1 差商 定義5.1 類似于高階導(dǎo)數(shù)的定義，稱為f 差商計算35第章 差商計算37第章 差商的性質(zhì)（1）各階差商均具有線性性質(zhì)，即若f (x)=a (x)+b (x)，則對任意常數(shù)k，都有： （2）k階差商f x0,x1,xk可表成f (x0),f

24、(x1),f(xk)的線性組合：36第章 差商的性質(zhì)（1）各階差商均具有線性性質(zhì)，即若f (x)=a差商的性質(zhì)（續(xù)）（3）各階差商均具有對稱性，即改變節(jié)點的位置，差商值不變，如:（4）若f (x)是n次多項式，則一階差商f x,xi是n 1次多項式。 事實上，如果f (x)是n次多項式，則p (x) = f (x) f (xi)也是n次多項式，且p (xi) = 0, xi為其零點p (x)可分解為p (x) = (xxi) pn1 (x) ， 其中pn1 (x)為n 1次多項式，所以：為n 1次多項式。37第章 差商的性質(zhì)（續(xù)）（3）各階差商均具有對稱性，即改變節(jié)點的位置差商表的計算計算各階

25、差商，可以按照下表進(jìn)行：表5-1xif (xi)一階差商二階差商三階差商四階差商x0f (x0)x1f (x1)f x0,x1x2f (x2)f x1,x2f x0,x1,x2x3f (x3)f x2,x3f x1,x2,x3f x0,x1,x2,x3x4f (x4)f x3,x4f x2,x3,x4f x1,x2,x3,x4f x0,x1,x2,x3,x4x5f (x5)f x4,x5f x3,x4,x5f x2,x3,x4,x5f x1,x2,x3,x4,x5 38第章 差商表的計算計算各階差商，可以按照下表進(jìn)行：表5-1xif 2.2 Newton插值公式 由各階差商的定義，依次可得:記

26、：（緊接下屏）39第章 2.2 Newton插值公式 由各階差商的定義，依次可得:Newton插值多項式及其余項 顯然，Nn(x)是至多n次的多項式。而由：即得f (xi)= Nn(xi) (i=0,1,n)。這表明Nn(x)滿足插值條件（5-2），因而它是f (x)的n次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。所需差商為表5-1第一條斜線上的含x0的各階差商。 Newton插值的優(yōu)點是：每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，即： 因此便于遞推運算。而且Newton插值的計算量小于Lagrange插值。40第章 Newton插值多項式及其余項 顯然，Nn(xNewton插值

27、多項式及其余項（續(xù)） 由插值多項式的唯一性可知，n次Newton插值多項式與n次Lagrange插值多項式是相等的，即Nn(x) = Ln(x)，它們只是表示形式不同。因此Newton余項與Lagrange余項也是相等的，即：由此可得差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：41第章 Newton插值多項式及其余項（續(xù)） 由插值多Newton插值多項式的計算 表5-2 Newton插值多項式可按表5-2計算。 xiyi= f (xi)一階差商二階差商n階差商x0y01x1y1f x0,x1x-x0 x2y2f x1,x2f x0,x1,x2x3y3f x2,x3f x1,x2,x3xnynf xn-1,xnf xn-

28、2,xn-1,xnf x0,x1,xnn次Newton插值多項式Nn(x)為表5-2中對角線上的差商值與右端因子乘積的和。 42第章 Newton插值多項式的計算 表5-2 Newton插值多項Newton插值公式計算舉例例3 用Newton插值公式計算例1中的ln11.5。 解 如果仍取點x0=11, x1=12, x2=13,作拋物線插值，按表5-2計算，結(jié)果如下： xiyi= lnxi一階差商二階差商112.39791122.48490.0870 x-11132.56490.0800-0.0035(x-11)(x-12)43第章 Newton插值公式計算舉例例3 用Newton插值公式計

29、算Newton插值公式計算例3續(xù) 若加節(jié)點x=10,14, ln10=2.3026, ln14=2.6391，用ln x的四次Newton插值多項式近似,則: xiyi= f (xi)一階差商二階差商三階差商四階差商102.30261112.39790.0953x-10122.48490.0870-0.00415(x-10)(x-11)132.56490.0800-0.003500.00022142.63910.0742-0.002900.00020-0.00005按表5-2計算結(jié)果如下: 44第章 Newton插值公式計算例3續(xù) 若加節(jié)點x=10,14, 2.3 差分 上面討論的是節(jié)點任意分

30、布的Newton插值公式，但在實際應(yīng)用中，經(jīng)常碰到等距節(jié)點的情形，即相鄰兩個節(jié)點之差（稱為步長）為常數(shù)，這時，Newton插值公式的形式會簡單一些，而關(guān)于節(jié)點間函數(shù)的平均變化率（差商）可用函數(shù)值之差（差分）來表示，避免了除法運算。 定義5.2 設(shè)有等距節(jié)點xk =x0+kh (k=0,1,n)，步長h為常數(shù)，fk = f (xk)，稱相鄰兩個節(jié)點xk, xk+1處的函數(shù)值的增量fk+1 fk(k = 0,1,n-1)為函數(shù)f (x)在點xk處以h為步長的一階差分，記為fk，稱為向前差分：45第章 2.3 差分 上面討論的是節(jié)點任意分布的N定義5.2（續(xù)）一般，以k階差分定義k +1階差分：常用

31、的差分還有兩種： 向后差分：46第章 定義5.2（續(xù)）一般，以k階差分定義k +1階差分：常用的差差分的其它種類它們的m階差分：對向后差分47第章 差分的其它種類它們的m階差分：對向后差分49第章 差分計算造表計算時可分別造表計算 ：表5-3 向前差分表 xkfk=f(xk)fk2fk3fk4fkx0f0 x1f1f0 x2f2f12f0 x3f3f22f13f0 x4f4f32f23f14f048第章 差分計算造表計算時可分別造表計算 ：表5-3 向前差分差分計算造表（續(xù)1）表5-4xkfk=f(xk) fk 2fk3fk4fkx0f0 x1f1f1x2f2f22f2x3f3f32f33f3

32、x4f4f42f43f44f449第章 差分計算造表（續(xù)1）表5-4xkfk=f(xk) 差分計算造表（續(xù)2）表5-54f23f22f3f3f4x43f1 2f2f2f3x3 2f1f1f2x2ff1x1f0 x043 2 fk=f(xk)xk1|21|21|21|21|21|250第章 差分計算造表（續(xù)2）表5-54f23f22f3f表5-6 差分計算舉例例4-0.1053610.9060.117783-0.015748-0.2231440.8050.0048720.133531 -0.002678-0.020620-0.3566750.7040.0024250.0075500.154151

33、 -0.003534-0.005103-0.028170-0.5108260.6030.0059590.0126530.182321 -0.011062-0.040823-0.6931470.5020.0237150.223144 -0.064538-0.9162910.4010.287682-1.2039730.30065432lnxixii向后線中心差線0.007550 注 ：（1）前差，后差，中心差之間是緊密聯(lián)系的，都在一個表中，差分值所在的列數(shù)為差分的階數(shù)。要確定某個差分值是哪個點的差分，則： 對向前差分：要看左上斜線上函數(shù)值對應(yīng)的自變量值對向后差分：要看左下斜線上函數(shù)值對應(yīng)的自變量值

34、對中心差分：要看左方水平線上的自變量值，若正好 是空檔，則是相鄰兩個自變量值的算術(shù) 平均值。 作y = ln x的差分表，步長h = 0.1 向前線51第章 表5-6 差分計算舉例例4-0.1053610.9060.1差分的性質(zhì)差分有一些重要性質(zhì)，常用的有（與微分形式相似）：（2）各階差分均可表成函數(shù)值的線性組合。（1）各階差分均具有線性性，即若f (x)=a (x)+b (x)，則對任意正整數(shù)m，都有：52第章 差分的性質(zhì)差分有一些重要性質(zhì)，常用的有（與微分形式相似）：（差分的性質(zhì)（續(xù)1）（3）各種差分之間可以互化，這由差分表即可看出。向后差分與中心差分化成向前 差分的公式如下： （4）可用

35、差分表示差商。 53第章 差分的性質(zhì)（續(xù)1）（3）各種差分之間可以互化，這由差分表即可差分的性質(zhì)（續(xù)2）一般地有： 結(jié)合式（5-14），可得差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：54第章 差分的性質(zhì)（續(xù)2）一般地有： 結(jié)合式（5-14），可得差分與 如果插值節(jié)點是等距的，則插值公式可用差分表示。但在進(jìn)行插值時，一般不可能將給出的所有點都作為插值點，總是希望運用較少的點達(dá)到應(yīng)有的精度，所以，當(dāng)被插值點靠近數(shù)據(jù)表頭時，當(dāng)然考慮用表初的那些點作為插值點，而當(dāng)被插值點接近數(shù)據(jù)表尾時，應(yīng)先選用表尾的那些點作插值點，這樣就有Newton向前及向后插值公式。2.4 等距節(jié)點插值公式 設(shè)已知節(jié)點xk =x0+kh (k=0,1,2,n)，將式（5-15）代入插值公（5-12），得：55第章 如果插值節(jié)點是等距的，則插值公式可用差分表示Newton向前插值公式式（5-17）稱為Newton向前插值公式，其余項為：若令x =x0+th，則上式又可變形為：56第章 Newton向前插值公式式（5-17）稱為Newton向前插Newton向后插值公式 完全類似地，也可以用向后差分表示Newt