寧夏大學(xué)附屬高中2021屆高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷 【含答案】

1、寧夏大學(xué)附屬高中2021屆高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，則ABCD2設(shè)復(fù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3為落實(shí)國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)達(dá)標(biāo)測(cè)試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級(jí)體育組教師在高二年級(jí)隨機(jī)抽取部分男生，測(cè)試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測(cè)試數(shù)

2、據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)以上成績(jī)?yōu)榧案?，以上成?jī)?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的優(yōu)秀率和圖中的分別是是A3%，0.010B3%，0.012C6%，0.010 D6%，0.0124已知a，b，c滿足，且，則下列選項(xiàng)中一定能成立的是ABC D5已知函數(shù)，則“”是“有極值”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6已知是定義在上的奇函數(shù)，若，則a的值為A2BC2或D2或17已知，則ABCD8將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，若，且、，則的最大值為ABCD9已知中，若是其內(nèi)

3、一點(diǎn)，則的取值范圍是ABCD10如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國(guó)現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為ABCD11已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B C D12已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是ABCD二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13從只讀過(guò)論語(yǔ)的名同學(xué)和只讀過(guò)紅樓夢(mèng)的名同學(xué)中任選人在班內(nèi)進(jìn)行讀后分享，則選中的人都讀過(guò)紅樓夢(mèng)的概率為_(kāi)14

4、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)15已知中，角，所對(duì)的邊分別為，.，的面積為4，則_.16過(guò)點(diǎn)引曲線：的兩條切線，這兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，若，則_三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分)17（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使不等式成立的的最小值18（12分）為迎接年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開(kāi)展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿分為分）分為

5、組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求的值；（2）記表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于分”，估計(jì)的概率；（3）在抽取的名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于分為“非優(yōu)秀”請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？?jī)?yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生女生合計(jì)參考公式及數(shù)據(jù)：，19（12分）如圖，在直三棱柱中，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.20（12分）已知橢圓的離心率為，且焦距為8（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值21（1

6、2分）已知函數(shù)（且，）是偶函數(shù)，函數(shù)（且） .（1）求的值；（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做則按所做的第一題記分。22（10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出曲線的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;（2）已知，曲線，相交于，兩點(diǎn)，試求點(diǎn)與弦的中點(diǎn)的距離23（10分）選修45：不等式選講已知函數(shù)f（x）|x+1|+|x+a|（）當(dāng)a1時(shí)，求不等式f（x）2x的

7、解集；（）當(dāng)不等式f（x）1的解集為R時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍寧大附中2020-2021學(xué)年第二學(xué)期高三第一次模擬高三數(shù)學(xué)（理）答題卷答案1A【分析】化簡(jiǎn)集合，再求交集.【詳解】故選：A2A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可直接求出優(yōu)秀率，根據(jù)頻率之和為，可求出.【詳解】由頻率分布直方圖可得，優(yōu)秀率為；由，解得；故選：C.4C【分析】用特殊值排除法和不等式的性質(zhì)可得答案.【詳解】取，則，排除A、D；取，則排除B；因?yàn)椋?，所以同?hào)，且，所以.故選：C5B6C【分析】根據(jù)奇函數(shù)

8、的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是奇函數(shù)，而，所以，解得或，故選：C7A【分析】根據(jù)題意并結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出，再由二倍角的余弦公式，即可得出求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，則故選：A.8D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換得到，由題意可得、，可得出、的表達(dá)式，結(jié)合、，可求得的最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，、，、當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.所以.故選：D.本題考查三角函數(shù)的圖象變換與性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)解析式，以及利用函數(shù)最值求出、的表達(dá)式是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9C【分析】以為坐

9、標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，所以，計(jì)算得最值，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，因?yàn)?，所以，可得，所以?設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，所以，當(dāng)，時(shí)最大為，當(dāng)時(shí)最小為，所以的取值范圍是，故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立直角坐標(biāo)系，將數(shù)量積利用坐標(biāo)表示，根據(jù)點(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，可求出的范圍，可求最值.10D【分析】由正四棱錐側(cè)棱，高，側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成的直角三角形求出側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而得面積比值【詳解】塔頂是正四棱錐，如圖，是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面積為，是正三角形，面積為，所以故選：D11C【分析】由得或，而

10、時(shí)，無(wú)解，需滿足有兩個(gè)解利用導(dǎo)數(shù)求得在時(shí)的性質(zhì)，由奇函數(shù)得時(shí)的性質(zhì)，然后可確定出的范圍【詳解】或，時(shí)，時(shí)，遞減；時(shí)，遞增，的極小值為，又，因此無(wú)解此時(shí)要有兩解，則，又是奇函數(shù)，時(shí)，仍然無(wú)解，要有兩解，則綜上有故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用首先方程化為或，然后用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)的性質(zhì)，同理由奇函數(shù)性質(zhì)得出時(shí)的性質(zhì)，從而得出無(wú)解，有兩解時(shí)范圍12B【分析】設(shè)切點(diǎn)為,由勾股定理可得，進(jìn)而可得的斜率，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，計(jì)算可求得結(jié)果.【詳解】直線與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為,則,，所以，則直線的斜率，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，即，所以，所以，即，故選:B.13【分析】

11、首先分類編號(hào)，再列舉所有的基本事件和滿足條件的基本事件，利用古典概型求概率.【詳解】將只讀過(guò)論語(yǔ)的名同學(xué)分別記為，只讀過(guò)紅樓夢(mèng)的名同學(xué)分別記為，設(shè)“選中的人都讀過(guò)紅樓夢(mèng)”為事件，從名同學(xué)中任選人的所有可能情況有，共種，其中事件包含的可能情況有，共種，故故14【分析】根據(jù)可求得的通項(xiàng)公式，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以可得，代入所求，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又滿足上式，所以，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故解題的關(guān)鍵是根據(jù)，求得的通項(xiàng)公式，易錯(cuò)點(diǎn)為，若滿足上式，則寫(xiě)成一個(gè)通項(xiàng)公式的形式，若不滿足上式，則需寫(xiě)成分段函數(shù)形式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.156【分析】根據(jù)

12、已知條件結(jié)合先求解出的值，從而的值可求，再結(jié)合的面積以及角對(duì)應(yīng)的余弦定理即可求解出的值.【詳解】由，得，所以.因?yàn)椋?，即，解得，所以，故，所?由余弦定理及，可得，解得.故答案為.易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事項(xiàng)：（1）注意隱含條件“”的使用；（2）對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，等式兩邊同時(shí)約去某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，注意說(shuō)明其不為；（3）余弦定理中要注意邊長(zhǎng)的乘積與邊長(zhǎng)的和的轉(zhuǎn)換，如.16【分析】由兩切線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)列關(guān)于t的方程求出t值即可求解【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為即,解得t=0或t=兩切線的斜率互為相反數(shù)，即2a+6,解得故答案為本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化兩

13、切線的斜率互為相反數(shù)是突破點(diǎn)，熟練掌握切線的求法，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題.17（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和，可得，然后利用公式法，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算，然后可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由，所以，所以（2）由（1）可知：所以又，所以即或所以使不等式成立的的最小值為8本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，主要是計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18（1）；（2）；（3）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖中所有小矩形的面積之和為1這一性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，求出比賽成績(jī)不低于分的頻率即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，先求出

14、比賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，這樣可以完成列聯(lián)表，再根據(jù)題中所給的公式求出的值，結(jié)合參考數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）由題可得，解得（2）由（1）知，則比賽成績(jī)不低于分的頻率為，故從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于分的概率約為（3）由（2）知，在抽取的名學(xué)生中，比賽成績(jī)優(yōu)秀的有人，非優(yōu)秀的人數(shù)為，非優(yōu)秀的男生人數(shù)為40人，所以非優(yōu)秀的女生人數(shù)為25人，由此可得完整的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生女生合計(jì)所以，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”本題考查了補(bǔ)全頻率直方圖，考查了利用頻率直方圖求概率的問(wèn)題，考查了的運(yùn)算，考查了通過(guò)的值做出數(shù)學(xué)判斷的能力，考查了數(shù)

15、學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.19（）證明見(jiàn)解析；（）.【分析】（）由直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合可得平面，進(jìn)而，結(jié)合即可得線面垂直；（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，求出平面的一個(gè)法向量為，求出兩法向量夾角的余弦值即可得結(jié)果.【詳解】（）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，所? 因?yàn)?，所以平? 因?yàn)槠矫?，所? 因?yàn)椋云矫? （）由（）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,.設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，?所以平面的一個(gè)法向量為. 設(shè)平面的法向量為，所以所以即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為. 所以. 由已知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20（1）；（2）【分析】（1）由橢圓的離心率，

16、焦距，再結(jié)合，即可求出C的方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出，即可求出面積的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式即可求出的面積有最大值.【詳解】解：（1）依題意可知：，解得：，故C的方程為：；（2）依題意可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立：，整理得：，則，解得：，設(shè)，則，原點(diǎn)到直線l的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)，的面積有最大值，且最大值為思路點(diǎn)睛：求解橢圓中的面積問(wèn)題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離求出高，即可求出結(jié)果.21（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義

17、，化簡(jiǎn)函數(shù)，求的值；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有解，分和兩種情況討論；（3）由條件可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)不等式恒成立，參變分離后對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.【詳解】解：（1）為偶函數(shù)，有，對(duì)恒成立.對(duì)恒成立.，恒成立，.（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，即，即有解.令，則函數(shù)圖象與直線有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，無(wú)解.當(dāng)時(shí)，由有解可知，所以，的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.由題意，使得成立，即，成立，所以對(duì)恒成立，設(shè)，則對(duì)恒成立，設(shè)函數(shù)，易知函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)都是減函數(shù)，所以在是減函數(shù)，則，所以. 即的取值范圍是.結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若若，有，則的值域是值域的子集22（1），；（2）.【分析】（1）消去參數(shù)得到直角坐標(biāo)方程，再寫(xiě)出其極坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）求出到直線的距離，再由勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：(1)曲線:（為參數(shù)）消去參數(shù)，得其極坐標(biāo)方程為，即曲線:，即，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)到:的距離又，得23（）（，