初中數(shù)學(xué)人教七年級(jí)上冊(cè)（2023年新編） 整式的加減面積公式與乘法分配律

1、 面積公式與乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì) 四川省武勝中學(xué)校 聶曉軍【教案分析】本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是矩形的判定定理，性質(zhì)定理以及正方形定義，通過正方形面積公式以及正方體體積公式引出乘方，對(duì)乘方計(jì)算進(jìn)行簡單地的認(rèn)識(shí)，以及通過運(yùn)用矩形面積公式推導(dǎo)三角形面積公式，平行四邊形面積公式，以及梯形面積公式的過程讓學(xué)生掌握割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，教會(huì)學(xué)生做三角形的高，以及乘法的運(yùn)算律，讓學(xué)生理解乘法分配律的幾何意義，讓學(xué)生靈活運(yùn)用乘法分配律的逆用去提公因式將和差化積，承上，在長方形，正方形，梯形，三角形，平行四邊形的面積公式，以及小學(xué)的正數(shù)范圍內(nèi)的乘法的運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行加深鞏固，啟下，為后面解決不規(guī)則圖形面積，以及為后面

2、學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)，因式分解，配方等知識(shí)提供了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，將抽象問題具體化，將復(fù)雜化簡單的數(shù)學(xué)思想?！緦W(xué)情分析】 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前就已經(jīng)學(xué)習(xí)過矩形，正方形，三角形，平行四邊形，以及梯形這些圖形的面積公式，并且簡單的利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，小學(xué)就已經(jīng)學(xué)過乘方的運(yùn)算律，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，使學(xué)生能更快的掌握本節(jié)知識(shí)。 【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能：1.讓學(xué)生理解三角形高的定義，并用字母表示面積公式通過以矩形的面積公式為基礎(chǔ)來推導(dǎo)三角形，平行四邊形，以及梯形面積公式的過程中，讓學(xué)生掌握用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積3.讓學(xué)生掌握在有理數(shù)的范圍運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，并且理解乘法

3、分配的幾何意義，利用乘法分配律的逆用提公因式，從而達(dá)到簡便運(yùn)算過程與方法：通過對(duì)面積公式的推導(dǎo)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，幾何抽象的想象力，通過對(duì)乘法運(yùn)算律的學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)類比已有的知識(shí)建立新的知識(shí)的能力，并滲透數(shù)形結(jié)合和面積算兩次的思想方法重新理解乘法分配律，使抽象問題具體化，提高學(xué)生解決問題的多樣化。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過利用矩形面積推導(dǎo)其他面積的過程，以及在已有的乘法運(yùn)算律基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)更廣的數(shù)域下的乘法運(yùn)算律，并滲透面積算兩次的方法讓學(xué)生理解乘法分配律，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形得出幾何知識(shí)，數(shù)形的有效結(jié)合。【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 1.重點(diǎn)：利用割

4、補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，理解乘法分配律的幾何意義，讓學(xué)生掌握利用乘法分配律提公因式將和差化積，從而達(dá)到簡便運(yùn)算2.難點(diǎn)：利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，利用乘法分配律提公因式 教法 :類比，提問，探究設(shè)計(jì)意圖：調(diào)動(dòng)課堂氣氛激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣引導(dǎo)學(xué)生思考讓學(xué)生的思維開闊深刻的理解面積公式的推導(dǎo)的步驟以及利用面積算兩次的方法使學(xué)生思維更為清晰 學(xué)法 ：師生合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)意圖：調(diào)動(dòng)課堂氣氛充分展現(xiàn)學(xué)生也是課堂的主角讓學(xué)生多思考開闊思維發(fā)揮其想象力 教學(xué)手段 ：尺規(guī)作圖，幾何畫板，多媒體設(shè)計(jì)意圖：使知識(shí)的展現(xiàn)更為具體，化抽象為具體，激發(fā)學(xué)生興趣培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納推導(dǎo)的能力教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引

5、入活動(dòng)一老師：請(qǐng)同學(xué)們畫出長為8cm，寬為6cm的矩形，和邊長為5cm的正方形老師：哪位同學(xué)可以起來分享一下你是如何畫矩形的？學(xué)生：畫矩形首先畫一條長為8cm的線段作為矩形的長，然后過線段的兩個(gè)端點(diǎn)用直尺和三角板作線段的兩條垂線，在兩條垂線上分別量出6cm作為矩形的寬，最后再連接這兩點(diǎn)，矩形就畫好了（如果學(xué)生答不出，那么老師就帶領(lǐng)學(xué)生一起畫作為回顧）二探究新知6cm老師：請(qǐng)同學(xué)們看看老師ppt上畫的圖形是否為矩形？8cm學(xué)生：不是，是平行四邊形老師：為什么不是呢？你們是如何判斷一個(gè)圖形是否為矩形的？學(xué)生：矩形的四個(gè)角都是直角老師：對(duì)的，不過由四邊形的內(nèi)角和為360可知，要判斷一個(gè)圖形是否為矩形

6、，只需要求該四邊形的三個(gè)角是直角即可，我們將這個(gè)結(jié)論稱為矩形的判定定理矩形的判定定理：有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形老師：通過圖形我們可以看出矩形的對(duì)邊有怎樣的特點(diǎn)？學(xué)生：矩形的對(duì)邊相等老師：對(duì)的，我們將這個(gè)結(jié)論稱為矩形的性質(zhì)定理矩形的性質(zhì)定理：矩形的對(duì)邊分別相等老師：我們知道正方形是特殊的矩形，那正方形特殊在哪？學(xué)生：四條邊相等對(duì)矩形的判定，性質(zhì)定理的探究，以及正方形的定義探究老師：對(duì)，正方形定義：有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形老師：要注意為什么我們這里要求鄰邊相等而不是四條邊相等？學(xué)生：因?yàn)榫匦蔚膶?duì)邊是相等的，當(dāng)鄰邊相等了，四條邊自然相等 了老師：所以判斷一個(gè)圖形是否為正方形只需利用正方形的

7、定義去判斷，首先這個(gè)圖形必須是矩形，其次這個(gè)圖形的鄰邊相同活動(dòng)二 讓學(xué)生觀察正方形的面積公式，正方體的體積的公式思考：請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算下列矩形，正方形的面積以及正方體的體積aaba老師：現(xiàn)在哪位同學(xué)起來回答一下剛才老師提出的問題?學(xué)生：矩形面積=ab 正方形面積=aa=a2正方體的體積=aaa=a3老師：對(duì)的，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們觀察上面畫橫線的式子有什么共同特征？學(xué)生：都是幾個(gè)相同的數(shù)相乘老師：對(duì)，對(duì)于幾個(gè)相同的數(shù)相乘的運(yùn)算，我們給它起了一個(gè)名字稱為乘方，所以乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，那同學(xué)們思考一下，乘方運(yùn)算相對(duì)于乘法運(yùn)算特殊在哪？學(xué)生：乘方運(yùn)算是幾個(gè)相同的數(shù)相乘，而乘法運(yùn)算可以是不同的數(shù)相乘老師

8、：對(duì)，對(duì)于n個(gè)a連續(xù)相乘，記為an，即指數(shù)（因數(shù)個(gè)數(shù)）aaaa=an,a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)，讀作a的n次方，將乘方運(yùn)算后的結(jié)果稱為冪冪 an底數(shù)（相同因數(shù)）老師：剛才我們求出了矩形的面積為長寬=ab請(qǐng)同學(xué)們思考一下，從矩形的面積公式出發(fā)，我們還可以得到哪些圖形的面積？學(xué)生：三角形，平行四邊形，梯形老師：小學(xué)的時(shí)候我們就已經(jīng)學(xué)過直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，那這個(gè)公式是如何通通過利用矩形面積公式推導(dǎo)其他幾種圖形面積公式的過程，加深學(xué)生對(duì)面積公式的理解，讓學(xué)生知道知識(shí)與知識(shí)之間是有聯(lián)系的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)知識(shí)帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧小學(xué)學(xué)過的三角形，平行四邊，梯形的面積公式，和學(xué)生共同探討如何利

9、用矩形面積公式推導(dǎo)其他三種圖形的面積公式過矩形面積公式推導(dǎo)而來的呢？老師：將矩形沿對(duì)角線分割，我們就可以得到兩個(gè)一樣大的直角三角形，所以直角三角形的面積就等于矩形面積的一半a分割abbS矩形=長寬=ab S直角三角形=ab推論1：直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半將矩形面積公式看作“母知識(shí)”，則直角三角形的面積公式可以看作“子知識(shí)”，看作母知識(shí)派生出來（推導(dǎo)出來），我們就把這一新的，正確的結(jié)論叫做推論，由一些正確的已知條件，推導(dǎo)出一個(gè)未知的結(jié)論的思維過程，叫做推理，例如前面說的因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)互為相反數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)的和為0是有聯(lián)系的，知識(shí)之間的相互遷移，教會(huì)學(xué)生用割補(bǔ)法解決不規(guī)則圖形的面積A老

10、師：那同學(xué)們思考一下利用矩形面積還可以得到哪些新的推理補(bǔ)形CBha SABC=ah推理2:三角形的面積等于底乘高的一半（底邊與底邊的高的乘積的一半）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向他的對(duì)邊作一條垂線，垂線頂點(diǎn)與垂足之間的線段稱為三角形這條邊上的高老師：如何找到三角形的高？AAA三角形的高有下列三種情形：hhamBCBBDCaCamh思考：為什么鈍角三角形的面積等于底乘高的一半？SABC=SABD-SACD=h(a+m)-mh=ah+mh-=ahCDhhaaBAS ABCD=ah上底m推論3：平行四邊形的面積等于底邊與底邊的高的乘積h高h(yuǎn)下底n S梯形ABCD=h推論4：梯形的面積等于上底加下底，乘以高，除

11、以2三課堂檢測(cè)1.如圖，在不規(guī)則的圖形ABCDEF中，AB=6m,3mmFABC=7m,CD=2m,AF=3m,試確定這一圖形的周長與面積，你能想到幾種方法求解？6m2mDE7mmCB周長：方法一：FE=6-2=4 ED=7-3=4AF+FE+ED+DC+CB+BA=3+4+4+2+7+6=26（m）方法二：AF+ED=BC FE+DC=AB周長為：2（7+6）=26（m）面積：3mFA方法一：6mED2mCG7mBS多邊形ABCDEF=S矩形ABGF+S矩形EGCD =63+（7-3）23mGFA = 26（m2）方法二：6mED2mB7mCS多邊形ABCDEF=S矩形ABCG-S矩形FED

12、G =67-（6-2）（7-3） =26（m2）4002002.設(shè)某矩形區(qū)域的分割為A,B,C,D四部分（單位：米）試計(jì)算這一區(qū)域的總面。BmAnC160440D方法一：SA=200m SB=400m SC=440nSD=160n S總=SA+SB+SC+SD =200m+400m+440n+160n =600m+600n方法二：S總=（m+n）（200+400） =600m+600n3.設(shè)某矩形區(qū)域分割為A,B,C三部分（單位：米）試計(jì)算這一區(qū)域的總面積mcba分割方法一：m(a+b+c)方法二：mmmbca將知識(shí)與以前的知識(shí)聯(lián)系起來，幫助學(xué)生更好更快的接受本節(jié)知識(shí)面積： ma+mb+mcm

13、(a+b+c)=ma+mb+mc乘法分配律老師：上面的這個(gè)公式就是乘法分配律，什么是乘法分配律？哪位同學(xué)可以起來回答一下學(xué)生：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加老師：能否用字母表示出來學(xué)生：a（b+c）=ac+bc老師：對(duì)的，只不過剛才的題里是三個(gè)數(shù)的和，運(yùn)算方法都是一樣的，通過剛才的那道題我們知道乘法分配律可以看成把一個(gè)大矩形面積等于將大矩形分割成幾個(gè)小矩形的面積之和，反過來幾個(gè)小矩形若有一邊相等，我們可以將它拼成一個(gè)新的大矩形，通過面積關(guān)系我們可以得到ma+mb+mc=m（a+b+c）老師：在ma+mb+mc中，我們將m稱為公因式而將多項(xiàng)式ma+mb+mc寫

14、成m（a+b+c）的形式的時(shí)候從每一項(xiàng)里都提出了一個(gè)m ,這種方法叫做提公因式法，這也就是乘法分配律的逆用，要注意乘法分配律不僅只對(duì)小學(xué)學(xué)過的數(shù)成立，對(duì)于現(xiàn)在學(xué)習(xí)的整個(gè)有理數(shù)都是成立的例題（1）-2（-2+5）解：原式=-2（-2）+（-2）5=4+（-10）=-6（2）12（-24）+12（14）解：原式=12(-24+14) =12（-10） =-120老師：除了乘法分配配，在小學(xué)的時(shí)候我們還學(xué)習(xí)過哪些乘法運(yùn)算律？學(xué)生：乘法交換律，乘法結(jié)合律，同樣的這三種運(yùn)算不僅對(duì)小學(xué)學(xué)過的那些數(shù)成立，對(duì)我現(xiàn)在學(xué)習(xí)的有理數(shù)也是成立的，哪位同學(xué)起來回答一下什么是乘法交換律？學(xué)生：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積

15、不變老師：能否用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的負(fù)有理數(shù)舉個(gè)例子學(xué)生：-3（-2）=-2（-3）=6老師：對(duì)的，請(qǐng)坐，同學(xué)們能否用字母來表示乘法交換律學(xué)生：ab=ba老師：對(duì)的，那什么是乘法結(jié)合律呢？學(xué)生：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變老師：能否用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的負(fù)有理數(shù)舉一個(gè)例子，給大家?guī)追昼娝伎家幌聦W(xué)生：-3（-2）（-4）=-3（-2）（-4） =-24老師：對(duì)的，非常不錯(cuò)，那如何用字母表示乘法結(jié)合律？學(xué)生：（ab）c=a（bc）四課堂檢測(cè)1.（1） （2）讓學(xué)生深刻體會(huì)利用乘法運(yùn)算律解決問題的方便2.用簡便方法計(jì)算（1）4612+5412 （2）5799+4499-99（3）9992+999課堂小結(jié)1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？