第六大數(shù)定律與中心極限定理演示文稿

1、第六大數(shù)定律與中心極限定理演示文稿第一頁，共三十三頁。優(yōu)選第六大數(shù)定律與中心極限定理第二頁，共三十三頁。1.切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2,則對(duì)任意的正數(shù)，不等式或成立.第三頁，共三十三頁。利用切比雪夫不等式可以估計(jì)一些隨機(jī)事件的概率。例1 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率是0.7，假定開、關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率解 設(shè)X表示在夜晚同時(shí)開著的燈的數(shù)目，它服從參數(shù)為n=10000,p=0.7的二項(xiàng)分布，則有而用切比雪夫不等式估計(jì)E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(680

2、0X7200)=P(|X-7000|0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其較精確的概率呢？這就要用到中心極限定理第四頁，共三十三頁。2.大數(shù)定律 定義1 設(shè)Y1，Y2，Yn，, 是一隨機(jī)變量序列，a為一常數(shù). 若對(duì)任意給定正數(shù)0,有則稱隨機(jī)變量序列Y1,Y2 , Yn, , 依概率收斂于a 定義2 設(shè)X1，X2，Xn， 是一隨機(jī)變量序列 .若存在常數(shù)列an使對(duì)任意給定的正數(shù)，恒有 , 則稱隨機(jī)變量序列Yn服從大數(shù)定律第五頁，共三十三頁。注意：第六頁，共三十三頁。切比雪夫大數(shù)定理 若X1，X2，Xn，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, E(Xk)= D(Xk)= 2 (k=1, 2

3、, )，則對(duì)任意的正數(shù) 0,有或第七頁，共三十三頁。注意第八頁，共三十三頁。證明:（利用切比雪夫不等式）根據(jù)已知條件由切比雪夫不等式，有又所以第九頁，共三十三頁。伯努利大數(shù)定理設(shè)nA為是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù), p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)任意的正數(shù) 0,有或第十頁，共三十三頁。證：設(shè)由切比雪夫大數(shù)定理,有所以 即那么 相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為p的01分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p). 第十一頁，共三十三頁。辛欽大數(shù)定理 若X1，X2，Xn，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, E(Xk)= (k=1, 2, )，則對(duì)任意的正數(shù) 0,有或第十二頁，共三十三頁。第二節(jié)中心

4、極限定理設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為問這個(gè)和的極限分布是什么？第十三頁，共三十三頁。1.獨(dú)立同分布中心極限定理 若X1，X2，Xn，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, E(Xk)= D(Xk)= 2 (k=1, 2, )，則隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x滿足第十四頁，共三十三頁。第十五頁，共三十三頁。例2 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克. 一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解：設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨(dú)立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心極限定理得，所求概率為：故

5、一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.第十六頁，共三十三頁。2.李雅普諾夫中心極限定理 若X1，X2，Xn，為獨(dú)立隨機(jī)變量序列, ，若存在正數(shù)，使當(dāng) 時(shí)， 則隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化量Zn的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x滿足第十七頁，共三十三頁。說明：中心極限定理表明無論各隨機(jī)變量Xk(k=1,2,)服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么他們的和當(dāng)n很大時(shí)，就近似服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有非常重要地位的一個(gè)基本原因第十八頁，共三十三頁。3.棣莫弗拉普拉斯中心極限定理定理表明：二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，即 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有第十

6、九頁，共三十三頁。小結(jié)中心極限定理注第二十頁，共三十三頁。例3解：所以第二十一頁，共三十三頁。第二十二頁，共三十三頁。例4(供電問題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開工率為0.7, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力15千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?解 供電所至少要供給這個(gè)車間x千瓦的電力, 才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).以X記200臺(tái)車床在同一時(shí)間段內(nèi)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)，則由已知條件X服從參數(shù)為200，0.7的二項(xiàng)分布，于是由棣莫弗拉普拉斯中心極限定

7、理有第二十三頁，共三十三頁。即供電所至少要供給這個(gè)車間2392.6千瓦的電力.第二十四頁，共三十三頁。 例5 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15. 若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布. (1) 求參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)X超過450的概率； (2) 求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率.第二十五頁，共三十三頁。解 (1) 以Xk記第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)，則由已知條件Xk的分布率為Xk012P0.050.80.15可以計(jì)算E(Xk)=1.

8、1，D(Xk)=0.19，k=1，2，400.由獨(dú)立同分布中心極限定理，得第二十六頁，共三十三頁。(2) 以Y記由一名家長(zhǎng)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)，則Y服從參數(shù)為400，0.8的二項(xiàng)分布. 于是由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，得從而有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率約為0.9938.第二十七頁，共三十三頁。例6在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.(1) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率. 設(shè)，k=1,2, 第二十八頁，共三十三頁。解（1）設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理第二十九頁，共三十三頁。欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少是0.95.第三十頁，共三十三頁。（2）在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即第三十一頁，共三十三頁。=0.6826即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.第三十二頁，共三十三頁。思考題1.甲乙兩電影院在競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇