北師大版初二數(shù)學(xué)下冊等腰三角形第二課時(shí)

1、第一章三角形的證明1.等腰三角形（二）一、學(xué)生知識狀況分析在八年級上冊第七章平行線的證明，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn)；在七年級下，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時(shí)，學(xué)生剛剛證明了等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時(shí)拓展等腰三角形的性質(zhì)、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)將利用前一課時(shí)所證明的等腰三角形的性質(zhì)定理，進(jìn)一步研究等腰三角形的一些特殊性質(zhì)，探索等邊三角形的性質(zhì)。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1知識目標(biāo)：探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明等腰三角形

2、中相等的線段，進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會(huì)證明的必要性；2能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對稱性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺；3情感與價(jià)值觀要求鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.4教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些

3、結(jié)論.三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)；第四環(huán)節(jié)：拓展延伸、探索等邊三角形性質(zhì)；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固；第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時(shí)小結(jié)。第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課活動(dòng)內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?活動(dòng)目的：回顧性質(zhì)，既為后續(xù)研究判定提供了基礎(chǔ)；同時(shí)，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內(nèi)容，而新的問題是原有性質(zhì)的一個(gè)自然拓廣，有助于提高學(xué)生提出問題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動(dòng)內(nèi)

4、容：在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒?dòng)目的：讓學(xué)生再次經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，并進(jìn)行證明，從中進(jìn)一步體會(huì)證明過程，感受證明方法的多樣性?；顒?dòng)效果與注意事項(xiàng)：活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗(yàn)證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對這

5、些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD、CE是厶ABC的角平分線.求證：BD=CE.證法1：TAB二AC,AZABC=ZACB（等邊對等角）.VZ1=2ZABC,Z2=1ZABC,AZ1=Z2.在CEB中，ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.BDC竺CEB(ASA).BD二CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)證法2：證明：TAB二AC,ZABC=ZACB.又VZ3=Z4.在厶ABC和厶ACE中，Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.ABD竺ACE(ASA).BD二CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).在證明過程中

6、,學(xué)生思路一般還較為清楚,但畢竟嚴(yán)格證明表述經(jīng)驗(yàn)尚顯不足,因此,教學(xué)中教師應(yīng)注意對證明規(guī)范提出一定的要求,因此,注意請學(xué)生板書其中部分證明過程,借助課件展示部分證明過程；可能部分學(xué)生還有一些困難,注意對有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo)。第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)活動(dòng)內(nèi)容：提請學(xué)生思考,除了角平分線、中線、高等特殊的線段外,還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上,研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，如果ZABD=|ZABC,ZACE=|ZACB呢？由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論？AB呢？由此你得到什么如果AD=2AC,AE=2AB,那么BD=CE嗎?如果AD=3AC,AE=|結(jié)論？活

7、動(dòng)目的：提高學(xué)生變式能力、問題拓廣能力,發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性?；顒?dòng)注意事項(xiàng)與效果：教學(xué)中應(yīng)注意對學(xué)生的引導(dǎo)，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)比較少，可能學(xué)生一時(shí)不知如何研究問題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等份、四等份結(jié)果如何呢?從而引出“議一議”由于課堂時(shí)間有限,如果學(xué)生全部解決上述問題,時(shí)間不夠,可以在引導(dǎo)學(xué)生提出上述這些問題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業(yè)，延伸到課外；當(dāng)然,也可以對不同的學(xué)生提出不同的要求,如普通學(xué)生僅僅證明其中部分問題,而要求部分學(xué)優(yōu)生解決所有的問題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思考“還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的”。在

8、學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊(yùn)含其中的思想方法。下面是學(xué)生的課堂表現(xiàn)：生在等腰三角形ABC中，如果ZABD=3ZABC，那么BD=CE.這和證明等腰三角形兩底角的角平分線相等類似證明如下TAB二AC,AZABC=ZACB（等邊對等角）.又*ZABD=1ZABC,ZACE=1ZACB,AZABD=ZACE.在CEB中，TZABD=ZACE,BC=CB，ZACB=ZABC,BDC竺CEB（ASA）.BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）生如果在ABC中，AB=AC,ZABD=1ZABC，ZACE=z1ZACB，那么BD=CE也是成立的.因?yàn)锳B=AC，所以ZABC=ZACB，利用等量代換便

9、可得到ZABD=ZACE，BDC與ACEB全等的條件就能滿足，也就能得到BD=CE.由此我們可以發(fā)現(xiàn)：在厶ABC中，AB=AC，ZABD=Z1ZABC，ZACE=1ZACB，就一定有BD=CE成立.nn生也可以更直接地說：在厶ABC中，AB=AC，ZABD=ZACE，那么BD=CE.師這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論請同學(xué)們把一般結(jié)論的證明過程完整地書寫出來（教師可巡視指導(dǎo)）下面我們來討論第（2）問，請小組代表發(fā)言生在厶ABC中，AB=AC，如果AD=1AC，AE=1AB，那么BD=CE；如果AD=1AC，AE=3AB,那么bd=ce由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在sc中,ab=ac，

10、AD=nAC，AE=nab,那么BD=CE.證明如下:TAB=AC11又TAD二一AC,AE二-AB,nnAD=AE.在厶ADB和厶AEC中，AB=AC,ZA=ZA,AD=AE,ADB竺AEC（SAS）.BD二CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.生一般結(jié)論也可更簡潔地?cái)⑹鰹椋涸贏BC中，如果AB=AC,AD=AE，那么BD=CE.師這里的兩個(gè)問題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的一種思想方法,它會(huì)使我們得到意想不到的效果例如通過對這兩個(gè)問題的研究,我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無數(shù)組.這和等腰三角形是軸對稱圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可分的第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性

11、質(zhì)活動(dòng)內(nèi)容：提請學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.已知：如圖，ABC中，AB=BC=AC.求證：zA=zB=zC=60.證明：在厶ABC中，tAB=AC,/-ZB=ZC（等邊對等角）.同理：zC=zA，azA=zB=zC（等量代換）.又vzA+zB+zC=180。（三角形內(nèi)角和定理），/.zA=zB=zC=60.活動(dòng)效果：學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫出對于“等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60”的證明過程：第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固活動(dòng)內(nèi)容：在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí)BDC1.如圖，已知ABC和厶BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD活動(dòng)意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式。第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，四、教