高三數學一輪專題復習 空間角與距離的計算（2）-側重向量法

1、空間角與距離的計算（2）-側重向量法目標解析1.利用條件合理建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標；2.會用向量法求空間角與距離； 3.進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.知能儲備1.已知是各棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，則平面與平面所成的銳二面角為（ ）A45 B60 C75 D302.正三棱錐的側面都是直角三角形，分別是，的中點，則與平面所成角的正弦為（ ）ABCD3.(多選題)如圖，在直三棱柱中，點，分別是線段，上的動點(不含端點)，且，則下列說法正確的是（ ）A平面 B四面體的體積是定值C異面直線與所成角的正切值為 D二面角的余弦值為考題導航考向1：合理使用方

2、法求空間角1.如圖，在四棱錐中，底面，點為中點（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若為棱上的一點，滿足，求二面角的余弦值 跟蹤訓練1如圖，在幾何體中，平面，是等腰直角三角形，且，點在線段上，且，則異面直線與所成角 ；平面與平面所成二面角的正弦值 .考向2：合理使用方法求空間距離如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是，的中點（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離考向3：向量法解決探索性、開放性問題如圖，在四棱錐中，平面平面，（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由 跟蹤訓練2 試在，三個條件中選兩個條件補充在下面的橫線處，使得面AB

3、CD成立，請說明理由，并在此條件下進一步解答該題：如圖，在四棱錐中，底ABCD為菱形，若_，且，異面直線PB與CD所成的角為，求二面角的余弦值. 反思悟道向量法解決問題的前提是合理建系（必要證明）寫出點的坐標，線面角、面面角、點面距求解前提是準確求出法向量；向量法本質是幾何問題代數化，準確計算是保障；3. 空間角與距離的計算（2）知能儲備1.【答案】A【解析】以為原點，以垂直的直線為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，0，設平面的法向量，又因為平面向量法則平面與平面所成的銳二面角為45故選：2.【答案】C【解析】以點P為原點，PA為x軸，PB為y軸

4、，PC為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，設平面PEF的法向量，則，取得，設平面與平面所成角為，則故選：C3.【答案】ACD【解析】對于A，在直三棱柱中，四邊形是矩形，因為，所以，所以平面，所以A正確；對于B，設，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以，四面體的體積為，所以四面體的體積不是定值，所以B錯誤；對于C，因為，所以異面直線與所成角為，在中，所以，所以C正確；對于D，如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以，同理可求得平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為，所以D正確，故選：ACD考題導航考向1：【解析

5、】解法一（向量法）證明：（1）依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得，0，2，2，0，向量，設為平面的法向量，則，即不妨令，可得為平面的一個法向量（5分），直線與平面所成角的正弦值為（7分）（2）向量，由點在棱上，設，且故由，得，因此，解得即（9分）設為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個法向量取平面的法向量，則二面角是銳角，其余弦值為（12分）解法二（幾何法）證明：（1）如圖，取中點，連接，分別為，的中點，且，又由已知，可得且，四邊形為平行四邊形，底面，而，從而平面，平面，又，（3分）解：（2）連接，由（1）有平面，得，而，又，為的中點，可得，平面，平面平面直線在平面內的射

6、影為直線，而，可得為銳角，為直線與平面所成的角（5分）依題意，有，而為中點，可得，進而在直角三角形中，直線與平面所成角的正弦值為（7分）（3）如圖，在中，過點作交于點底面，底面，又，得平面，在底面內，可得，從而（9分）在平面內，作交于點，于是由于，故，所以，四點共面由，得平面，故所以為二面角的平面角在中，由余弦定理可得，二面角的余弦值為（12分）跟蹤訓練1【答案】（1）（2）【解析】依題得，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標系， 則， ， 的坐標為且 D的坐標為 設異面直線與所成角為，則 異面直線與所成角為(2) 易知平面的一個法向量為設 是平面的一個法向量， 則，即令，解

7、得設平面與平面所成二面角為，平面與平面所成二面角的余弦值為。考向2：【解析】（1）解：取中點為，連接，又，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：則，0，1，0，則，設為平面的法向量，則由，得，則設與平面的夾角為，則；（2）假設存在點使得平面，設，由（）知，1，0，1，則有，可得，平面，為平面的法向量，即，解得綜上，存在點，即當時，點即為所求 跟蹤訓練2【解析】若選：由平面ABCD知，又，所以面PAC，所以，所以，這與底面ABCD為菱形矛盾，所以必不選，故選.下面證明：平面ABCD，因為四邊形ABCD為菱形，所以.因為，所以平面APC.又因為平面APC，所以.因為，O為AC中點，所以.又，所以平面ABCD，因為面ABCD，以O為坐標原點，以，的方向分別作為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，因為，所以為異面直線PB與CD所成