導數(shù)的概念教案復習過程

1、導 數(shù) 的 概 念 教 案精品文檔【教學課題 】：2.1 導數(shù)的概念 （第一課時）【教學目的 】： 能使同學深刻懂得在一點處導數(shù)的概念,能精確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何說明；能夠從定義動身求某些 函數(shù)在一點處的導數(shù)；明確一點處的導數(shù)與單側(cè)導數(shù)、可導與連 續(xù)的關系；【教學重點 】：在一點處導數(shù)的定義；【教學難點 】： 在一點處導數(shù)的幾種等價定義及其應用；【教學方法 】：系統(tǒng)講授,問題教學,多媒體的利用等；【教學過程 】：一）導數(shù)的思想的歷史回憶 導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐；導數(shù)的思想最初是 由法國數(shù)學家費馬（ Fermat）為爭論極值問題而引入的,但導數(shù)作為微

2、積分的最主要的概念,卻是英國數(shù)學家牛頓（Newton）和德國數(shù)學家萊布尼茲（Leibniz）在爭論力學與幾何學的過程中建立起來的；二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決 問題 1 （以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s t 12 gt ,t0,T ,求：落體在0t 時刻（t00,T ）的瞬時2速度；收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系治理員刪除精品文檔0tt問題解決：設 t 為0t 的鄰近時刻,就落體在時間段t0, t （或 , t t0）上的平均速度為vs t s t00tt0如tt 時平均速度的極限存在,就極限lim t t 0s t ts tvt0為質(zhì)點在時刻0

3、t 的瞬時速度；問題 2 （以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線yfx上點Mx 0,y 0,求： M 點處切線的斜率；下面給出切線的一般定義；設曲線C 及曲線 C 上的一點 M ,如圖,在 M外 C 上另外取一點 N ,作割線 MN ,當 N 沿著 C 趨近點 M 時,假如割線 MN 繞點 M 旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT ,直線 MT 就稱為 曲線 C 在點 M 處的切線；問題解決：取在 C 上 M 鄰近一點 N x y ,于是割線 PQ 的斜率為tan y y 0 f x f x 0 （為割線 MN 的傾角）x x 0 x x 0收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系治理員刪除精品文檔當

4、xx0時,如上式極限存在,就極限0（為割線 MT 的傾角）ktanlim x x0f x f xxx 0為點 M 處的切線的斜率；上述兩問題中,第一個是物理學的問題,后一個是幾何學問題,分屬不同的學科,但問題的解決都歸結(jié)到求形如x lim x 0fxfx0）（1）xx 0的極限問題；事實上,在學習物理學時會發(fā)覺,在運算諸如物質(zhì)比熱、電流強度、線密度等問題中,盡管其背景各不相同,但最終都化歸為爭論形如（1）的極限問題；也正是這類問題的爭論,促使“ 導數(shù)” 的概念的產(chǎn)生；三）導數(shù)的定義定義 設函數(shù) y f x 在 x 的某鄰域內(nèi)有定義,如極限f x f x 0）x lim x 0 x x 0存在,

5、就稱 函數(shù) f 在點 x 處可導 ,并稱該極限為 f 在點 x 處的導數(shù) ,記作f x 0 ；即f x f x 0）f x 0 x lim x 0 x x 0（2）也可記作 y x x o,dydx x x o,df xdx x x o；如上述極限不存在,就稱 f 在點 0 x 處不可導；f 在0 x 處可導的等價定義：x0,假如設xx0 x ,yfx0 xfx0,如xx 就等價于函數(shù) f 在點x 處可導,可等價表達成為以下幾種形式：收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系治理員刪除精品文檔fx 0 x lim x 0f x f x0）fx0lim x0y（3）（4）（5）xx 0 xfx 0lim x 0

6、f x 0 xf x 0）xfx 0lim f x 0 0f x 0）四）利用導數(shù)定義求導數(shù)的幾個例子1 1, 處的切線方例1求fxx2在點x1處的導數(shù),并求曲線在點程；解由定義為f1lim x 0ylim x0f1x f1lim x01x 21xxxlim x 02xxx2lim x02x 2于是曲線在 1,1 處的切線斜率為2,所以切線方程為y12x1 ,即y2x1；例 2 設函數(shù)f x 為偶函數(shù),f0存在,證明：f00；證Qf fxfxfx又f0lim x 0f0 xf0lim x 0fx xf0 xlim x 0fx f0lim x 0f0 x f0f0 xxf00留意：fx 0lim

7、 f x 00f x 0）這種形式的敏捷應用；此題的x ；收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系治理員刪除精品文檔x sin 1 , x 0例 3 爭論函數(shù) f x x 在 x 0 處的連續(xù)性,可導性；0 , x 0解 第一爭論 f x 在 x 0 處的連續(xù)性：lim x 0 f x lim x 0 x sin 1x 0 f 0即 f x 在 x 0 處連續(xù)；再爭論 f x 在 x 0 處的可導性：lim x 0 f 0 xx f 0 lim x 0 x sinx 1x 0lim sin x 0 1x 此極限不存在即 f x 在 x 0 處不行導；問 怎樣將此題的 f x 在 x 0 的表達式稍作修改,變

8、為 f x 在 x 0 處可導？x n 1sin 1 , x 0答 f x x n 1,2,3 L ,即可；0 , x 0四）可導與連續(xù)的關系由上題可知；在一點處連續(xù)不肯定可導；反之,如設fx 在點0 x 可導,就lim x 0yfx 0 x由極限與無窮小的關系得：所以當x0 ,有yyfx0 xo x ,0 ；即 f 在點x 連續(xù)；五）故在一點處連續(xù)與可導的關系是：連續(xù)不肯定可導,可導肯定連續(xù)；單側(cè)導數(shù)的概念例 4 證明函數(shù)fx|x|在x0處不行導；fx f 0 lim x 0 x1證明Qlim x 0fx f0 lim x 0 x1,lim x 0 x0 xx0 xlim x 0f x xf

9、0極限不存在；0故fx|x|在x0 處不行導；在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處,不得不考慮單側(cè)導數(shù)：收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系治理員刪除精品文檔定義 設函數(shù)yfx在點x 的某右鄰域x0 x0上有定義,如右極限lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 0）（0 x）xx存在,就稱該極限為f 在點x 的右導數(shù) ,記作fx0；左導數(shù)fx 0lim x 0y；x左、右導數(shù)統(tǒng)稱為 單側(cè)導數(shù) ；導數(shù)與左、右導數(shù)的關系 ：如函數(shù) y f x 在點 x 的某鄰域內(nèi)有定義,就f x 0 存在 f x 0 ,f 0 x 都存在,且 f x 0 = f x 0 ；1 cos x , x 0例 5 設 f x ,爭論 f x 在 x 0 處的可導性；x , x 0解 由于 f x 0 x f x 0 1 cos xf 0 lim lim 0 x 0 x x 0 x f x 0 x f x 0 xf 0 lim lim 1x 0 x x 0 x 從而 f 0 f 0 ,故 f x 在 x 0 處不行導；六）小