新人教版初三下冊數(shù)學(xué) 28.1銳角三角函數(shù) 教學(xué)課件

1、28.1銳角三角函數(shù) 正弦鞋跟多高合適 美國人體工程研究學(xué)人員調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高跟鞋的鞋底與地面的夾角為11左右時(shí)，人腳的感覺最舒適，假設(shè)某成年人前腳掌到腳后跟長為15厘米，請問鞋跟在幾厘米高度為最佳？11導(dǎo)入新知 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行噴灌現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？分析：這個問題可以歸結(jié)為，在RtABC中，C=90，A30，BC35m，求AB根據(jù)“在直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半”，即可得AB2BC70m，也就是說，需要準(zhǔn)備70m長的水管ABC探

2、究新知知識點(diǎn) 1正弦的定義 解：BAC3035m【思考】在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？ABC50m35mB C AB2BC 250100(m)探究新知 在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于 . 在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此 在直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于45時(shí)，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于 . 如圖，任意畫一個RtABC，使C90，A45，計(jì)算A的對邊與斜邊的比 ，你能得出什么結(jié)論？ABC探究新知 探究新知

3、歸納總結(jié) 綜上可知，在一個RtABC中，C90，當(dāng)A30時(shí)，A的對邊與斜邊的比都等于 ，是一個固定值；當(dāng)A45時(shí)，A的對邊與斜邊的比都等于 ，也是一個固定值.【思考】一般地，當(dāng)A 取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？探究新知ABCABC 任意畫 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 與 有什么關(guān)系？你能解釋一下嗎？探究新知因?yàn)镃C90，AA，所以RtABC RtABC. 因此 在直角三角形中，當(dāng)銳角 A 的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，A 的對邊與斜邊的比都是一個固定值探究新知 如圖，在 RtABC 中，C90，我們把銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做

4、A的正弦，記作 sin A 即例如，當(dāng)A30時(shí)，我們有當(dāng)A45時(shí)，我們有ABCcab對邊斜邊歸納：探究新知A的對邊斜邊sin A =注意sinA是一個完整的符號，它表示A的正弦，記號里習(xí)慣省去角的符號“”；sinA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A的對邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.探究新知 例1 如圖，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解：（1）在RtABC中，因此（2）在RtABC中，因此探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 1利用正弦的定義求有關(guān)角的正弦值A(chǔ)BC34（1）ABC135（2） 求sinA就是要確定A的對邊與斜邊的比；求sinB就是要確定B的對邊與斜邊的比

5、1.判斷對錯:A10m6mBC (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ）sin A是一個比值（注意比的順序），無單位；2)如圖， （ ） 鞏固練習(xí)ABC1) 如圖 圖 圖 2. 在 RtABC中，銳角 A 的對邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 擴(kuò)大100倍 B. 縮小 C. 不變 D. 不能確定C鞏固練習(xí) 例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn) P (3，4)，連接 OP，求 OP 與 x 軸正方向所夾銳角 的正弦值.解：如圖，設(shè)點(diǎn) A (3，0)，連接 PA .A (3，0)在RtAPO中，由勾股定理得因此探

6、究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求銳角的正弦值探究新知 方法點(diǎn)撥 結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦函數(shù)值，一般過已知點(diǎn)向 x 軸或 y 軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解.3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(3,0)和B(0,-4),則sinOAB等于_345鞏固練習(xí) 例3 如圖，在 RtABC 中，C=90， ，BC = 3，求 sinB 及 RtABC 的面積.ABC提示：已知 sinA 及A的對邊 BC 的長度，可以求出斜邊 AB 的長. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的長度，進(jìn)而求出 sinB 及 RtABC 的面積.素養(yǎng)考點(diǎn) 3探究新知利用正弦求直角三角形的邊長 AB =

7、 3BC =33=9.探究新知ABC解：在 RtABC 中， 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，AB = c，則BC = ck，AC = ch. 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，BC=a，則歸納：探究新知ABC，.8鞏固練習(xí)4.如圖：在RtABC中，C=90，AB=10， ， BC的長是 AB 例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm， ，求這個三角形的周長解：設(shè)BC=7x，則AB=25x，在 RtABC中，由勾股定理得即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.故 BC = 7x = 7 cm，AB = 2

8、5x = 25 cm.所以 ABC 的周長為 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 4利用方程和正弦求直角三角形中線段 5.如圖,在RtABC中,C=90, , AC=12.求sinB的值.513解:在Rt ABC中,設(shè)AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2ABC12鞏固練習(xí)解得x=1.所以AB=13，BC=5因此1.（2018柳州）如圖，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，則sinB=（）A B C D鞏固練習(xí)連接中考AABC2.（2018德州）如圖，在44的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，ABC的頂

9、點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則BAC的正弦值是_連接中考鞏固練習(xí)1. 如圖，已知點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (a，b)，則 sin 等于( )OxyP (a，b)A. B.C. D.D課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2. 在直角三角形 ABC 中，若三邊長都擴(kuò)大 2 倍，則 銳角 A 的正弦值 （ ） A. 擴(kuò)大 2 倍 B.不變 C. 縮小 D. 無法確定B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題DA. 4 B. 6 C. 8 D. 102課堂檢測3. 在RtABC中，C=90， ，BC=6，則 AB 的長為 （ ）4. 在ABC中，C=90，如果 ，AB=6， 那么BC=_.基礎(chǔ)鞏固題5. 如圖，在正方形網(wǎng)格中有 ABC，則 sinABC 的值為

10、.課堂檢測解析： ， ， ， AB 2 BC 2AC 2， ACB90， 基礎(chǔ)鞏固題 如圖，在 ABC中， AB= BC = 5， ，求 ABC 的面積.D55CBA解：作BDAC于點(diǎn)D， 又 ABC 為等腰三角形，BDAC， AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.課堂檢測能力提升題 ，求一個角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。如圖, C=90，CDAB. sinB可以由哪兩條線段之比得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.ACBD解: B =ACD sinB = sinACD在RtACD中， 課堂檢測拓廣探索題 正弦函數(shù)正弦函數(shù)的概念正弦函數(shù)的應(yīng)用已

11、知邊長求正弦值已知正弦值求邊長A的對邊斜邊sin A =課堂小結(jié)余弦和正切 如圖，在RtABC中，C=90.ACB對邊a鄰邊b斜邊c當(dāng)A確定時(shí)，A的對邊與斜邊的比就確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定呢？導(dǎo)入新知 如圖， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，則成立嗎？為什么？ABCDEF探究新知知識點(diǎn) 1余弦的定義我們來試著證明前面的問題：A=D，C=F=90，B=E，從而 sinB = sinE，因此ABCDEF探究新知 在有一個銳角相等的所有直角三角形中，這個銳角的鄰邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān) 如下圖所示，在直角三角形中，我們把銳角

12、A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即歸納：ABC斜邊c鄰邊b探究新知A的鄰邊斜邊cos A = 探究新知 歸納總結(jié) 從上述探究和證明過程，可以得到互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系： 對于任意銳角，有 cos = sin (90),或sin = cos (90). 1. sinA、cosA是在直角三角形中定義的，A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形). 2. sinA、 cosA是一個比值（數(shù)值）. 3. sinA、 cosA的大小只與A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).如圖：在Rt ABC中，C90，正弦余弦探究新知注意：ABC斜邊cA的鄰邊bA的對邊a1RtABC中，C=90，

13、如果AB=2，BC=1，那么cosB的值為（ ）A. B. C. D. A鞏固練習(xí)2. RtABC中，C=90，如果AC=4，BC=3，那么cosB的值為_ 如圖， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，則成立嗎？為什么？ABCDEF探究新知知識點(diǎn) 2正切的定義證明：C=F=90， A=D， RtABC RtDEF探究新知ABCDEF即 當(dāng)直角三角形的一個銳角的大小確定時(shí)，其對邊與鄰邊比值也是唯一確定的嗎？探究新知ABC斜邊cA的鄰邊bA的對邊a如圖：在Rt ABC中，C90，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的 正切，記作 tanA.探究新知 在直角三角形中

14、，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，A的對邊與鄰邊的比是一個固定值.ABC斜邊cA的鄰邊bA的對邊a 1.如果兩個角互余，那么這兩個角的正切值有什么關(guān)系？【想一想】探究新知2.銳角A的正切值可以等于1嗎？為什么？可以大于1嗎？3在RtABC中，C90，如果 那么tanB的值為（ ）A. B. C. D. D鞏固練習(xí)4. 在RtABC中，C90，如果 那么tanA的值為_.銳角A的正弦、余弦、和正切統(tǒng)稱A的銳角三角函數(shù).sin A= cos A= tan A= 腦中有“圖”，心中有“式”探究新知知識點(diǎn) 3銳角三角函數(shù)的定義ABC斜邊cA的鄰邊bA的對邊aA的鄰邊斜邊A的對邊斜邊A的對邊

15、A的鄰邊 例1 如圖，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 1已知直角三角形兩邊求銳角三角函數(shù)的值探究新知 方法點(diǎn)撥 已知直角三角形中的兩條邊求銳角三角函數(shù)值的一般思路是：當(dāng)所涉及的邊是已知時(shí)，直接利用定義求銳角三角函數(shù)值；當(dāng)所涉及的邊未知時(shí)，可考慮運(yùn)用勾股定理的知識求得邊的長度，然后根據(jù)定義求銳角三角函數(shù)值 5RtABC中，C為直角，AC=5，BC=12，那么下列A的四個三角函數(shù)中正確的是( )6如圖：P是 的邊OA上一點(diǎn)，且P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），則cos _，tan = _.B鞏固練習(xí)A.

16、 B C D AABC6又 在直角三角形中，如果已知一邊長及一個銳角的某個三角函數(shù)值，即可求出其它的所有銳角三角函數(shù)值.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2已知一邊及一銳角三角函數(shù)值求函數(shù)值 例2 如圖，在 RtABC中，C = 90，BC = 6， ，求 cosA、tanB 的值解：在RtABC中，ABC8解：在 RtABC中，鞏固練習(xí)7. 如圖，在 RtABC 中，C = 90，AC = 8， ， 求sinA，cosB 的值1.（2018廣州）如圖，旗桿高AB=8m，某一時(shí)刻，旗桿影子長BC=16m，則tanC=_鞏固練習(xí)連接中考ABC2. （2018貴陽）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個小正方形

17、的邊長為1，則tanBAC的值為（）A B1 C D B鞏固練習(xí)連接中考1. 在RtABC中，C = 90，AC = 12，AB =13. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測2. 如圖，ABC 中一邊 BC 與以 AC 為直徑的 O 相切與點(diǎn) C，若 BC=4，AB=5，則 tanA=_.ABC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3. 已知 A，B 為銳角， (1) 若A =B，則 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，則A B. (3) 若 tanA tanB = 1，則 A 與 B 的關(guān)系為： .=A +B = 90課

18、堂檢測基礎(chǔ)鞏固題 如圖，在 RtABC 中，ACB = 90，CDAB，垂足為 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.解: ACBADC =90，B+ A=90， ACD+ A =90，B = ACD，能力提升題課堂檢測 如圖，在ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值.解：過點(diǎn) A 作 ADBC 于 D. AB = AC， BD = CD = 3，在 RtABD 中,ABCD提示：求銳角的三角函數(shù)值問題，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，可用恰當(dāng)?shù)姆椒?gòu)造直角三角形.拓廣探索題 課堂檢測余弦函數(shù)和正切函數(shù)余弦正切性質(zhì)課堂小結(jié)A的鄰邊斜邊cos A =

19、A的對邊tan A =A的鄰邊A的大小確定的情況下，cosA，tanA為定值，與三角形的大小無關(guān)30、45、60角的三角函數(shù)值導(dǎo)入新知 還記得我們推導(dǎo)正弦關(guān)系的時(shí)候所得到的結(jié)論嗎？即 ， ，你還能推導(dǎo)出sin60的值及30、45、60角的其它三角函數(shù)值嗎？ 兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值？設(shè)30所對的直角邊長為a，那么斜邊長為2a，另一條直角邊長3060454530探究新知知識點(diǎn) 1特殊角（30、45、60）的三角函數(shù)值設(shè)兩條直角邊長為a，則斜邊長6045探究新知30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 銳角a304560sin acos a

20、tan a探究新知三角函數(shù) 仔細(xì)觀察,說說你發(fā)現(xiàn)這張表有哪些規(guī)律?例1 求下列各式的值：（1）cos260sin260 （2）解： （1） cos260sin260= 1（2）=0探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 1特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算提示：sin260表示（sin60）2 這道例題的兩個式子中包含幾種運(yùn)算？運(yùn)算順序是怎樣的？探究新知 方法點(diǎn)撥 含特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算注意事項(xiàng)：（1）熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵；（2）注意運(yùn)算順序和法則；（3）注意特殊角三角函數(shù)值的準(zhǔn)確代入 1.計(jì)算：(1) sin30+ cos45；解：（1）原式 (2) sin230+ cos230tan45.鞏固練習(xí)（2）原式

21、1-10解：在 RtABC中 ABC A = 45.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2利用三角函數(shù)值求特殊角例2 (1) 如圖，在RtABC中，C = 90， ， ，求 A 的度數(shù)；解：在 RtABO中 ABO = 60.探究新知 (2) 如圖，AO 是圓錐的高，OB 是底面半徑， ，求 的度數(shù).2. 在RtABC中，C90， 求A、B的度數(shù)ABC解： 由勾股定理 A=30B = 90 A = 9030= 60鞏固練習(xí) 例3 已知 ABC 中的 A 與 B 滿足 (1tanA)2 |sinB |0，試判斷 ABC 的形狀 tanA1， ， C180456075， ABC 是銳角三角形探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 3特殊

22、角的三角函數(shù)值的應(yīng)用解： (1tanA)2 | sinB |0， A45，B60，3. 已知：求A，B的度數(shù)。解：鞏固練習(xí)即連接中考鞏固練習(xí)A1.（2018大慶）2cos60=（ ）A1 B C D2.（2019大慶）計(jì)算：（2019-）0 sin60解：原式1 1 1下列各式中不正確的是（ ） A Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin452計(jì)算2sin30-2cos60+tan45的結(jié)果是（ ） A2 B C-1 D1 BD課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題sin260+cos260=13.求滿足下列條件的銳角 .(1) 2sin = 0； (2) tan1 = 0.

23、= 60.(2) tan =1， 課堂檢測解：(1) ， = 45.基礎(chǔ)鞏固題 4在ABC中，A、B都是銳角，且 ， ，則ABC的形狀是（ ） A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定 B課堂檢測5. 在 ABC 中，若 ，則C = . 120 基礎(chǔ)鞏固題6. 求下列各式的值： (1) 12 sin30cos30； (2) 3tan30tan45+2sin60； (3) ； (4)答案：(1)(2)(3) 2(4) 課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題 已知 為銳角，且 tan 是方程 x2 + 2x 3 = 0 的一個根，求 2 sin2 + cos2 tan (+15)的值解：解方程 x

24、2 + 2x 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = 3. tan 0， tan =1， = 45. 2 sin2 + cos2 tan (+15) = 2 sin245+cos245 tan60能力提升題課堂檢測 如圖，在ABC中，ADBC，M為AB的中點(diǎn)，B=30， . 求tanBCM. EMDCBA解：過點(diǎn)M作MEBC于點(diǎn)E課堂檢測拓廣探索題CD=AD,又M是AB的中點(diǎn)BE=DE，AD=2ME.又B=30，ADBC，30、45、60角的三角函數(shù)值通過三角函數(shù)值求角度特殊角的三角函數(shù)值課堂小結(jié)用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值 銳角a三角函數(shù) 30 45 60sin acos atan a1填寫下表

25、：導(dǎo)入新知 前面我們學(xué)習(xí)了特殊角30，45，60的三角函數(shù)值,一些非特殊角(如17，56，89等)的三角函數(shù)值又怎么求呢?這一節(jié)課我們就學(xué)習(xí)借助計(jì)算器來完成這個任務(wù).導(dǎo)入新知例如 (1) 用計(jì)算器求sin18的值；解：第一步：按計(jì)算器 鍵；sin第二步：輸入角度值18；屏幕顯示結(jié)果 sin18= 0.309 016 994.不同計(jì)算器操作的步驟可能不同！知識點(diǎn) 1利用計(jì)算器求三角函數(shù)值、角的度數(shù)探究新知(2) 用計(jì)算器求 tan3036 的值；解：方法：第二步：輸入角度值30.6 (因?yàn)?036 = 30.6)；屏幕顯示答案：0.591 398 351.第一步：按計(jì)算器 鍵；tan探究新知屏幕

26、顯示答案：0.591 398 351.方法：第一步：按計(jì)算器 鍵；tan探究新知第二步：輸入角度值30，分值36 (使用 鍵)； (3) 已知 sinA = 0.501 8，用計(jì)算器求銳角A的度數(shù).第二步：輸入函數(shù)值0. 501 8； 屏幕顯示答案： 30.119 158 67(按實(shí)際需要進(jìn)行精確).解：第一步：依次按計(jì)算器 鍵；2nd Fsin 還可以利用 鍵，進(jìn)一步得到A = 300708.97 (這說明銳角 A 精確到 1 的結(jié)果為 307，精確到 1 的結(jié)果為079). 2nd F 探究新知 1. 用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)： (1) sin47； (2) sin12

27、30； (3) cos2518；(4) sin18cos55tan59.答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041(4) 0.7817鞏固練習(xí)2. 已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角 A， B的度數(shù) (結(jié)果精確到0.1)： (1) sinA0.7，sinB0.01； (2) cosA0.15，cosB0.8； (3) tanA2.4，tanB0.5.答案：(1) A 44.4；B 0.6. (2) A 81.4；B 36.9. (3) A 67.4；B 26.6.鞏固練習(xí)（1）通過計(jì)算 (可用計(jì)算器)，比較下列各組數(shù)的大小，并提出你的猜想： sin30_2sin

28、15cos15； sin38_2sin19cos19； sin45_2sin22.5cos22.5； sin60_2sin30cos30； sin84_2sin42cos42.猜想：已知045，則sin2_2sincos.=探究新知知識點(diǎn) 2利用計(jì)算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)=(2) 如圖，在ABC中，ABAC1，BAC2， 請利用面積方法驗(yàn)證 (1) 中的結(jié)論證明： SABC = AB sin2 AC = sin2， SABC = 2ABsin ACcos = sin cos， sin22sincos.探究新知2（1）sin35= ，cos35= ， sin235= ，cos235= ； 猜想： 已知090，則 sin2 + cos2 = .0.34200.57350.93970.11700.88300.8192 0.32900.67103.利用計(jì)算器