概率論的基本概論

1、 概率論論的基本本概論確定現(xiàn)象象：在一一定條件件下必然然發(fā)生的的現(xiàn)象，如向上上拋一石石子必然然下落，等隨機現(xiàn)象象：稱某某一現(xiàn)象象是“隨機的的”，如果果該現(xiàn)象象（事件件或試驗驗）的結(jié)結(jié)果是不不能確切切地預測測的。由此產(chǎn)生生的概念念有：隨隨機現(xiàn)象象，隨機機事件，隨機試試驗。例：有一一位科學學家，他他通曉現(xiàn)現(xiàn)有的所所有學科科，如果果對一項項試驗（比如：擲硬幣幣），該該萬能科科學家也也無法確確切地預預測該實實驗的結(jié)結(jié)果（是是正面朝朝上還是是反面朝朝上），這一實實驗就是是隨機實實驗，其其結(jié)果是是“隨機的的”-為一一隨機事事件。例：明天天下午三三點鐘”深圳市市區(qū)下雨雨”這一現(xiàn)現(xiàn)象是隨隨機的，其結(jié)果果為隨機

2、機事件。隨機現(xiàn)象象的結(jié)果果（隨機機事件）的隨機機度如何何解釋或或如何量量化呢？這就要引引入”概率”的概念念。概率的描描述性定定義：對對于一隨隨機事件件A，用用一個數(shù)數(shù)P(AA)來表表示該事事件發(fā)生生的可能能性大小小，這個個數(shù)P(A)就就稱為隨隨機事件件A發(fā)生生的概率率。1.11 隨機機試驗序號條件觀察特性性可能結(jié)果果E1拋一枚硬硬幣正、反面面出現(xiàn)的的情況正面H,反面TTE2將一枚硬硬幣拋擲擲三次正、反面面出現(xiàn)的的情況HHH,HHTT,HTTH,TTHH,HTTT,THHT,TTTH,TTTTE3同上出現(xiàn)正面面的次數(shù)數(shù)0,1,2,33E4拋一顆骰骰子出現(xiàn)的點點數(shù)1,2,3，4，5，6E5記錄電話

3、話交換機機呼喚次次數(shù)一分鐘內(nèi)內(nèi)接到的的呼喚次次數(shù)0,1,2,33,.E6一批燈泡泡中任抽抽取一次次測量使用用壽命非負實數(shù)數(shù)E7記錄某地地晝夜溫溫度最高和最最低溫度度以上試驗驗的共同同特點是是:1試驗驗可以在在相同的的條件下下重復進進行；2試驗驗的全部部可能結(jié)結(jié)果不止止一個，并且在在試驗之之前能明明確知道道所有的的可能結(jié)結(jié)果；3每次次試驗必必發(fā)生全全部可能能結(jié)果中中的一個個且僅發(fā)發(fā)生一個個，但某某一次試試驗究竟竟發(fā)生哪哪一個可可能結(jié)果果在試驗驗之前不不能預言言。 我我們把對對隨機現(xiàn)現(xiàn)象進行行一次觀觀察和實實驗統(tǒng)稱稱為隨機機試驗，它一定定滿足以以上三個個條件。我們把把滿足上上述三個個條件的的試驗叫

4、叫隨機試試驗，簡簡稱試驗驗，記EE。1.22樣本空空間與隨隨機事件件(一) 樣本空空間與基基本事件件E的一個個可能結(jié)結(jié)果稱為為E的一一個基本本事件，記為，e等。E的基本本事件全全體構(gòu)成成的集，稱為EE的樣本本空間，記為SS或,即：S=|為E的的基本事事件，=ee.注意：的完備備性，互互斥性特特點。例：11.1中中試驗EE- E7E：S=H,T E：SS= HHHH,HHHT,HHTH,THHH,HTT,THTT,TTTH,TTTT E：SS=00，1，2，33 E：SS=11,2,3,44,5,6 E: S=0,11,2,3,E：S=t E7：S=（二） 隨機事事件 我們們把試驗驗E 的的全部

5、可可能結(jié)果果中某一一確定的的部分稱稱為隨機機事件。記為 事件件是由基基本事件件組成的的，事件件是樣本本空間的的子集。集合論集合 點 子集集概率論S AA在一次試試驗中，事件AA 發(fā)生生的含義義是，當當且僅當當A 中中的某一一個基本本事件發(fā)發(fā)生。事事件A 發(fā)生也也稱為事事件A 出現(xiàn)。 必然然事件：S 不可可能事件件：例1.(P4) 在EE2中事件件A1:”第一次次出現(xiàn)是是的H”,即：(三) 事件的的關系與與運算 設E 的S ，A ，B，123457。記。(常用的的關系） 補補充123 吸收收律 若，則特別注意意： 德莫莫根律（對偶公公式）推廣：，。例2：PP6,在在例1中中.其它例子子：例3：設

6、甲甲中，乙中中，問問與各表示示什么事事件？是是否是相相等事件件？留為練習習例4：一一射手向向目標射射擊3發(fā)發(fā)子彈，表示第第i次射擊擊打中目目標。試試用及其運算算表示下下列事件件：（1）“三發(fā)子子彈都打打中目標標”；（2）“三發(fā)子子彈都未未打中目目標”；（3）“三發(fā)子子彈至少少有一發(fā)發(fā)打中目目標”；（4）“三發(fā)子子彈恰好好有一發(fā)發(fā)打中目目標”；（5）“三發(fā)子子彈至多多有一發(fā)發(fā)打中目目標”.留為練習習1.33 概率率與頻率率事件的頻頻率及其其穩(wěn)定性性 設設某試驗驗的樣本本空間為為，為E的一個個事件。把試驗驗E重復進進行了nn次，在在這n次試驗驗中，AA發(fā)生的的次數(shù)稱稱為A的頻數(shù)數(shù)。稱為為事件AA在

7、n次試驗驗中發(fā)生生的頻率率，記作作:。頻率的基基本性質(zhì)質(zhì)對任意事事件A，有；，；若是互不不相容的的，則，推論：對對任一事事件A，有。實踐證明明：當試試驗次數(shù)數(shù)n很大時時，事件件A的頻率率幾乎穩(wěn)穩(wěn)定地接接近一個個常數(shù)pp。頻率率的這種種性質(zhì)稱稱為頻率率的穩(wěn)定定性，它它是事件件本身所所固有的的。書上上p89頁例例1，22.概率的頻頻率定義義定義1.1 在在一組不不變的條條件下，重復作作n次試驗驗，記mm是n次試驗驗中事件件A發(fā)生的的次數(shù)。當試驗驗次數(shù)nn很大時時，如果果頻率穩(wěn)穩(wěn)定地在在某數(shù)值值p附近擺擺動，而而且一般般地說，隨著試試驗次數(shù)數(shù)的增加加，這種種擺動的的幅度越越來越小小，則稱稱數(shù)值pp為

8、事件件A在這一一組不變變的條件件下發(fā)生生的概率率，記作作p。補充：概概率的幾幾種度量量方法事件A的的概率，記為PP(A)，表示示該事件件發(fā)生的的可能性性大小，是事件件的一個個非負實實值函數(shù)數(shù)，滿足足某種概概率進行行代數(shù)運運算的公公理。 對對概率PP(A)有幾種種不同的的度量方方法：前面給出出了用頻頻率度量量概率的的方法，也稱為為古典概概率度量量。還是是二種度度量方法法。幾何概率率度量表示”在在區(qū)域中中隨機取取一點，而該點點落在區(qū)區(qū)域g中中”這一事事件。例：這時，可可以是整整個園：測度為為面積；也可以以是整個個園周：測度為為長度。主觀概率率度量對事件AA的信念念度稱為為這一事事件的概概率P(A)

9、.主觀概率率（信念念度）是是通過相相對似然然的概念念來運算算的。 例例如：見見朱手稿稿?，F(xiàn)通過例例子說明明此方法法：例1：事事件A”明天下下午3點點深圳市市區(qū)有雨雨”，求P(AA): 即求AA的主觀觀概率；現(xiàn)有一大大轉(zhuǎn)盤，標有紅紅色區(qū)域域，事件件B：”指針落落在紅色色區(qū)域”。讓你選擇擇A發(fā)生生還是BB發(fā)生的的可能性性大，為為了迫使使你選擇擇，有這這樣的將將勵機制制，。選擇擇對的話話，將110萬元元。 紅色區(qū)區(qū)域如果開始始時，紅紅色區(qū)域域充滿整整個園，你當然然要選BB發(fā)生的的可能性性大，逐逐步調(diào)節(jié)節(jié)紅色區(qū)區(qū)域的大大小，漸漸漸縮小小，。等到到選A或或B都一一樣時停停止，這這時，可可以由BB的幾何何

10、概率作作為A的的主觀概概率。當你對選選A或BB誰發(fā)生生的可能能性大沒沒有偏好好時，。例2. 假如你你面臨以以下兩種種選擇：1.如如果事件件A發(fā)生生，你將將得到少少量的報報酬R；否則沒沒有報酬酬。2.參加抽抽獎，你你贏得一一份小報報酬R的的概率為為P，但但是你輸輸或者說說你得不不到報酬酬的概率率為1-P。如果你對對1，22兩種選選擇沒有有偏好，那么你你判斷事事件A發(fā)發(fā)生的概概率為PP.(主主觀)(二) 概率的的公理化化定義概率的公公理化定定義 定定義1.2 設試驗驗E的樣本本空間為為S，如果果對每一一個事件件A都有一一個實數(shù)數(shù)與之對對應，且且滿足下下面三條條公理：公理1（非負性性）：對對任一事事

11、件A，有；公理2（規(guī)范性性）：對對必然事事件S，有；公理3（完全可可加性）若可列列無窮多多個事件件互不相相容，則則，那么么稱為事事件A的概率率。概率的性性質(zhì)(1);(2)有有限可加加性: 若互不相相容，則則; (3)對事件件A,都有有;若,則;； 特別的的，對任任何事件件A，都都有;對任何兩兩個事件件A,BB，都有有;對任何nn個事件件,都有例10-112為第第一版上上的例子子。例10： A,B是E中二個個事件，已知，求 解解：例11：在某城城市的居居民中訂訂購報紙紙的情況況是：訂訂購A報的占占45%，訂購購B報的占占35%；訂購購C報的占占30%，同時時訂購AA,B的的占100%，同同時訂購

12、購A,CC的占8%，同時時訂購BB,C的的占5%，同時時訂購AA,B,C的占占3%。求求下列事事件的概概率（百百分率）（1）只訂購購A報紙的的；（2）至少訂訂一種報報紙的。例12：在所有有的兩位位數(shù)（即即從100至999）中，任取一個個數(shù)，求求這個數(shù)數(shù)能被22或者33整除的的概率。 1.44 等等可能概概型（古古典概型型）一、古典典概率1古典典概型與與計算公公式 E滿滿足： S中中基本事事件個數(shù)是是有限的的n ； 每個個基本事事件發(fā)生生是等可可能的.稱E為古古典概型型。 E中中事件AA包含kk個基本本事件，則A發(fā)發(fā)生的概概率為PP(A). 2古典典概率的的基本性性質(zhì) 設設E是古古典概型型，其樣

13、樣本空間間為，AA，A，A，A是EE中事件件：0P（AA）1 P（S）=1，PP（）=0 若AA，A，A是互互不相容容的事件件，則有有P； 推推論： P（AA）=11- PP（）。 P13，將一枚枚硬幣擲擲三次，。P14-117 例27.照照書上講講。以下例44-9為第第一版上上的例子子：例4：EE中求任任取一球球的號碼碼為偶數(shù)數(shù)的概率率。解：設AA=所所取的球球的號碼碼為偶數(shù)數(shù)= 2，4，6 即A中基基本事件件數(shù)k=3，于是PP（A）=.例5：（1.110）在在一袋中中有100 個相相同的球球，分別別標有號號碼。每每次任取取一個球球，記錄錄其號碼碼后放回回袋中，再任取取下一個個。這種種取法叫

14、叫做“有放回回抽取”。今有有放回抽抽取3個個球，求求這3個個球的號號碼均為為偶數(shù)的的概率。例6：(1.111) 在一袋袋中有110 個個相同的的球，分分別標有有號碼。每次任任取一個個球，記記錄其號號碼后不不放回袋袋中，再再任取下下一個。這種取取法叫做做“不放回回抽取”。今不不放回抽抽取3個個球，求求這3個個球的號號碼均為為偶數(shù)的的概率。例7：盒盒中有aa個紅球球，b個白球球（a2 , b1），每次從中中任取一一球，不不放回地地連取三三次，求求下列事事件的概概率：(1)“ 取出出的三個個球依次次為紅，白，紅紅色球 ”A ；(2)“ 取出出的三個個球有兩兩個是紅紅色球 ”B . 例：(11.133

15、) 在在一袋中中有100 個相相同的球球，分別別標有號號碼。今今任取兩兩個球，求取得得的第一一個球號號碼為奇奇數(shù)，第第二個球球號碼為為偶數(shù)的的概率。 例88：（1.14）設一批批同類型型的產(chǎn)品品共有件件，其中中次品有有件。今今從中任任取（假假定）件件，求次次品恰有有件的概概率 例例9：一一箱內(nèi)裝裝有同類類產(chǎn)品六六件（其其中4件件是正品品，二件件是次品品）。從從中每次次取一件件，連取取兩次。求下列列事件的的概率：（1）“ 取到到的兩件件產(chǎn)品的的質(zhì)量是是相同的的 ”A ；（2）“取到的的兩件產(chǎn)產(chǎn)品至少少有一件件是正品品”B .1.55條件概概率條件概率率例1 將一枚枚硬幣拋拋擲兩次次，觀察察其出現(xiàn)

16、現(xiàn)正反面面的情況況，設事事件A為為”到少有有一次為為H”， 事事件B為為”兩次擲擲出同一一面”?，F(xiàn)在在來求已已知事件件A已經(jīng)經(jīng)發(fā)生的的條件下下事件BB發(fā)生的的概率。解：樣本本空間為為S=HH,HT,TH,TT,A=HHH,HHT,TTH, B=HHH,TTT于是在AA發(fā)生的的條件下下B發(fā)生生的概率率（記為為P(BB/A)）為：P(B/A)=1/33注意到：易知：定義：設設A,BB為E中的二二個事件件，且，則在事事件A已發(fā)生生的條件件下，事事件B發(fā)生的的條件概概率定義義為：.同樣若若，則。性質(zhì)（定定理）如果,則則是概率率.計算方法法法一：公公式計算算法;法二：直直接計算算法.不難驗證證，條件件概

17、率PP(/A)符合概概率定義義中的三三個條件件：1.非負負性2.完全全性3.可加加性P19例2 PP19，。下面的例例11-133為第一一版。例11：甲乙二二廠同生生產(chǎn)一種種零件，分放在在二個箱箱內(nèi)，它它們產(chǎn)品品的情況況如下： 正正品 次品品 小計計 甲廠廠 55020 770 乙廠廠 225 55 330 小計計 775 225 1000從中任取取一件產(chǎn)產(chǎn)品，求求下列事事件的概概率：（1）“取得的的一件產(chǎn)產(chǎn)品是甲甲廠產(chǎn)品品”=A;(2)“取得的的一件產(chǎn)產(chǎn)品是次次品”=B;(3)“取得的的一件產(chǎn)產(chǎn)品是甲甲廠生產(chǎn)產(chǎn)的次品品”;(4)已已知取得得的一件件產(chǎn)品是是甲廠生生產(chǎn)的，求它是是次品的的概率。

18、例12：在標號號依此為為的155個同類類球中，任取取一球。易算出出下列事事件的概概率和條條件概率率。(1)取取得“標號為為偶數(shù)”（事件件A）的的概率；(2)取取得“標號小小于6”（事件件B）的的概率；(3)取取得“標號既既為偶數(shù)數(shù)，又小小于6”（事件件AB）的概率率；(4)若若已知“所取球球的標號號小于66”（即在在B已發(fā)發(fā)生的條條件下），則“球的標標號為偶偶數(shù)”（即AA再發(fā)生生）的概概率。例13：(書例例1220) 設有1100件件同類型型的產(chǎn)品品，其中中80件件一等品品，155件二等等品，55件次品品。從中中任取一一件，已已知“取得的的是非次次品”（事件件B），求“它是一一等品”（事件件A

19、）的的概率。(二)概概率的乘乘法公式式定義： 設兩個個事件,且，由條條件概率率公式得得,若,有稱為概概率的乘乘法公式式（定理理）.例3，44，P221-222;例1416為為第一版版：例14： (書書例121) 10件件同類型型產(chǎn)品，其中88件正品品，2件件次品。今不放放回抽取取兩次，每次取取一件，求“兩件均均為正品品”（事件件A）的概概率。推廣：對對n個事件件，且,則有。例15：(書例例1. 22) 一城市市位于甲甲，乙兩兩河的匯匯合處，當兩河河流至少少有一泛泛濫時，該市就就會被淹淹，已知知在指定定的時間間內(nèi)，甲甲,乙兩河河泛濫的的概率均均為0.01，又當甲甲河泛濫濫時引起起乙河泛泛濫的概概

20、率為00.5。求在指指定的時時間內(nèi)該該市被淹淹的概率率。例： 已知，且，。求：； 。例16：十個人人抓一張張電影票票，問每每個人抓抓到電影影票的概概率與抽抽簽的次次序是否否有關？條件概率率與有如下下的一般般關系(三)全全概率公公式例17（第一版版）：口口袋中有有16個個球，其其中白球球10個個，紅球球6個。每次取取一球，取后不不放回，連取兩兩次。求求下列事事件的概概率：(1)“第一次次,第二次次取的都都是白球球”;(2)“第二次次才取到到白球”;(3)“第二次次取到白白球”.思考：三三個事件件有什么么不同？第(3)個事件件有何特特點？難難點在哪哪？怎么么解決問問題？定理1.1（全全概率公公式）

21、若事件組組滿足：(1) 互不相相容且, (22);則對任何何事件AA,均有有。 （1.19）稱滿足(1)、(2)的事件件組為完完備事件件組。(1.119)式式稱為全全概率公公式。重點在于于:什么情情況下用用全概率率公式，如何用用全概率率公式解解決實際際問題。關鍵是是找出且且找出發(fā)發(fā)生的“種可能能原因”或“可能的的前提條條件”或“情況”將其視視為。例18(第一版版)：（書例11233） 市市場出售售的燈泡泡，甲廠廠占800%（其其中合格格率為995%），乙廠廠占200%（其其中合格格率為990%）。任買買一燈泡泡，求它它是合格格品的概概率。例19(第一版版)：甲甲、乙、丙三廠廠生產(chǎn)一一批同類類產(chǎn)

22、品。甲廠產(chǎn)產(chǎn)量是乙乙廠、丙丙廠產(chǎn)量量之和，而乙廠廠產(chǎn)量是是丙廠產(chǎn)產(chǎn)量的二二倍。又又知甲、乙、丙丙三廠產(chǎn)產(chǎn)品的正正品率分分別為00.900,0.96,0.884。求從該批批產(chǎn)品中中任取一一件是正正品的概概率；已知取得得的一件件是正品品，問它它是哪個個廠產(chǎn)品品的可能能性最大大（概率率）？(四) 貝葉斯斯公式定理1.2 若是一一完備事事件組，則對任任意的事事件，均均有。此式稱為為貝葉斯斯公式。例6，77，P224頁。例20(第一版版)：（書例11266） 某某廠產(chǎn)品品96%是（真真）合格格品。有有一驗收收方法，把（真真）合格格品判為為“合格品品”的概率率為0.98，把非合合格品判判為“合格品品”的概

23、率率為0.05。求此驗驗收方法法判為“合格品品”的一產(chǎn)產(chǎn)品為（真）合合格品的的概率。例21(第一版版)：袋袋中有nn個球，其中白白球數(shù)未未知，假假設有ii個白球球的可能能性對所所有的ii=0,1,n都都相等?，F(xiàn)從袋袋中任取取一球，求在取取得的球球是白球球的條件件下，袋袋中原來來有i個白球球的概率率？(ii=0,1,n)1.66 事事件的獨獨立性.伯努利利概型一.事件件的獨立立性1.兩個個事件AA,B的的獨立性性定義1.3 對任意意的事件件A,BB,若,則稱事事件A,B是相相互獨立立的。性質(zhì)1: 若若A與B獨立,則與B,AA與,與相互獨獨立。2.推廣廣定義1.4 對任意意三個事事件A,B,CC，

24、若則稱事件件A,BB,C相相互獨立立，簡稱稱A,BB,C獨獨立。一般的，對任意意n個事件件，若，；，；。則稱事件件相互獨獨立，簡簡稱獨立立。性質(zhì)2：若相互互獨立，則。例22（第一版版）：(書例11277) 甲甲，乙，丙三人人同時獨獨立向同同一目標標射擊，他們射射中目標標的概率率分別為為0.44,0.5,00.7。求至少有一一人射中中目標的的概率；恰有一人人射中目目標的概概率。例23（第一版版）： 袋中裝裝有編號號為的n個球，有放回回地抽rr次，求求：(1)11號球不不被抽到到的概率率；(2)11號球和和2號球均均被抽到到的概率率。二伯努努利概型型若試驗EE只有兩兩個可能能結(jié)果AA和,且,則稱E為伯努努利概型型。稱A為“成功”,為“失敗”。n重伯努努利試驗驗將伯努利利試驗EE，在相相同條件件下，獨獨立地重重復進行行n次，作作為一個個試驗，則這個個試驗為為n重伯努努利概型型。記為為En。注意兩點點：相同同條件下下，即每每次相同。各次試驗驗結(jié)果是是獨立的的。3. 定理11.3設E為伯伯努利試試驗，且且，則在nn重伯努努利概型型中，事事件A恰好發(fā)發(fā)生次的的概率為為：，。例2-3PP2728.第一章作作業(yè)：設計一隨隨機試驗驗E，給給該試驗驗的樣本本空間SS，基本本事件，并給給出一至至二個事事件。習題1,2,117,118,220,226