群與子群課件

1、主要內(nèi)容二元運(yùn)算及其性質(zhì)一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例二元運(yùn)算的性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例子代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)第十章 群與子群1第十章 群與子群主要內(nèi)容群的定義與性質(zhì)子群與群的陪集分解2半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義半群、獨(dú)異點(diǎn)、群的實(shí)例群中的術(shù)語群的基本性質(zhì)10.1 群的定義與性質(zhì)3半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義定義10.1(1) 設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2) 設(shè)V=是半群，若eS是關(guān)于運(yùn)算的單位元，則稱V是含幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn). 有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V 記作 V=. (3) 設(shè)V=是獨(dú)異點(diǎn)，eS關(guān)于運(yùn)算的單位元，若aS，a1S，則稱V是群. 通常將群記作G.

2、4實(shí)例例1 (1) ,都是半群，+是普通加 法. 這些半群中除外都是獨(dú)異點(diǎn)(2) 設(shè)n是大于1的正整數(shù)，和都是半群，也都是獨(dú)異點(diǎn)，其中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3) 為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中為集合對(duì)稱差運(yùn)算(4) 為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中Zn=0,1,n1，為模n加法 5例2 設(shè)G= e, a, b, c ，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 實(shí)例特征：1. 滿足交換律2. 每個(gè)元素都是自己的逆元3. a, b, c中任何兩個(gè)元素運(yùn)算結(jié) 果都等于剩下的第三個(gè)元素6有關(guān)群的術(shù)語定義10.2 (1

3、) 若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群. 群G 的基數(shù)稱為群 G 的階，有限群G的階記作|G|. (2) 只含單位元的群稱為平凡群.(3) 若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾 (Abel) 群.實(shí)例：和是無限群，是有限群，也是 n 階群. Klein四元群是4階群. 是平凡群. 上述群都是交換群，n階(n2)實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群. 7群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則定理10.1 設(shè)G 為群，則G中的冪運(yùn)算滿足： (1) aG，(a1)1=a(2) a,bG，(ab)1=b1a1(3) aG，anam = an+m，n, mZ(4) aG，(an)m =

4、 anm，n, mZ (5) 若G為交換群，則 (ab)n = anbn.證 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根據(jù)逆元唯一性，等式得證. (2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元. 根據(jù)逆元的唯一性等式得證. 10群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解. 例3 設(shè)群G=，其中為對(duì)稱差. 解下列群方程： aX=，Ya,b=b解 X=a1=a=a， Y=ba,b1=ba,b=a 證 a1b 代入方程左邊的x 得 a(a1b) = (

5、aa1)b = eb = b所以a1b 是該方程的解. 下面證明惟一性. 假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有 c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可證ba1是方程 ya=b的惟一解.1110.2 子群與群的陪集分解定義設(shè)是一個(gè)群，且SG是一個(gè)非空集合。若滿足下列三個(gè)條件，則稱是的子群： （1）e是的幺元，且e S；（保持幺元） （2）對(duì)任一 a S一定有a-1 S ； （保持逆元） （3）對(duì)任一a,b S一定有a*b S （運(yùn)算的封閉性）例如 nZ (n是自然數(shù)) 是整數(shù)加群 的子群. 當(dāng)n1時(shí),nZ是Z的真子群.對(duì)任何群G都存在子群. G和e都是G的

6、子群，稱為G的平凡子群. 12典型子群的實(shí)例:生成子群定義10.6 設(shè)G為群，aG，令H=ak| kZ，則H是G的子群，稱為由 a 生成的子群，記作.證 首先由a知道. 任取am,al，則 am(al)1 = amal = aml根據(jù)判定定理二可知G.實(shí)例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是 =2k | kZ=2Z中，由2生成的子群=0,2,4Klein四元群 G = e,a,b,c的所有生成子群是： =e, =e,a, =e,b, =e,c. 16典型子群的實(shí)例:中心C定義10.7 設(shè)G為群,令 C=a| aGxG(ax=xa)，則C是G的子群，稱為G的中心. 證 eC. C是G的非空子集. 任

7、取a,bC，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知CG. 對(duì)于阿貝爾群G，因?yàn)镚中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G. 但是對(duì)某些非交換群G，它的中心是e.17典型子群的實(shí)例:子群的交例6 設(shè)G是群，H,K是G的子群. 證明(1) HK也是G的子群(2) HK是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) HK 或 KH18圖1定義10.8 設(shè)G為群, 令 L(G) = H | H是G的子群則偏序集稱為G的子群格子群格實(shí)例：K

8、lein四元群的子群格如下： 19定理10.9 設(shè)H是群G的子群，則a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證 先證aHb ab1H aHb h(hHa=hb) h(hHab1=h) ab1H 再證 aHb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由aHa 可知必有 aHb. 必要性. 由 aHb 可知存在 hH 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1aHa，（根據(jù)陪集的定義h1 H）則有h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 從而得到 Ha Hb. 反之，任取h1bHb，則有h1b = h1(h1a) = (h1h1)aHa 從而得到Hb Ha. 綜合上述，Ha=Hb得證.23定理10.10 設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R： a,bG, R ab1H則 R是G上的等價(jià)關(guān)系，且aR = Ha.陪集的基本性質(zhì)證 先證明R為G上的等價(jià)關(guān)系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R 對(duì)稱性. 任取a,bG，則 Rab1H(ab1)1Hba1HR 傳遞性. 任取a,b,cG，則 RR ab1Hbc1H ac1H R 下面證明：aG，aR = Ha. 任取bG，（p123等價(jià)類