年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 空間圖形的證明與計(jì)算 人教

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座空間圖形的證明與計(jì)算2021/8/8 星期日1考點(diǎn)分析與預(yù)測: 1.空間圖形主要有兩塊內(nèi)容:一塊是直線與平面,另一塊是簡單幾何體。直線與平面的基本性質(zhì),解決空間圖形基本問題(平行, 垂直,角,距離)的方法,是解決復(fù)雜幾何體問題的基礎(chǔ)。因此，必須學(xué)好平面的基本性質(zhì)，解決空間圖形基本問題的方法。2021/8/8 星期日2 2首先要學(xué)會(huì)識(shí)別圖形，包括幾何的圖形的形狀，大小，幾何體間的位關(guān)系；幾何體中各元素在平面上，空間中的相互位置關(guān)系以及特定位置的排列順序。其次要能夠畫出表示概念的“圖”，定理的“圖”，能夠根據(jù)題目的條件和要求畫出相應(yīng)的圖。第三，還要能夠?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，?duì)圖

2、形分割，補(bǔ)全，展開，移出，添加輔助線，面。第四，由于立體幾何圖形是在平面上給出的，只有在想象的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，才可能得出正確的判斷。2021/8/8 星期日3 3對(duì)于有關(guān)幾何量的度量，要做到解題過程完整，即：一作，二證，三計(jì)算。作在何處大有講究，一般而言，所求的角，垂線應(yīng)作在圖形的表面，顯眼的地方，匯聚幾何元素多的地方，因?yàn)檫@樣做，易于弄清關(guān)系，好計(jì)算。2021/8/8 星期日4 4高考的三種題型都有立體幾何題目，并且以立體幾何的內(nèi)容為載體，首創(chuàng)了“開放題”，“類比題”。通過立體幾何內(nèi)容的試題，考查空間想象力，邏輯思維能力。為了提高這方面的能力，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)應(yīng)多觀察圖，多想圖，加強(qiáng)表達(dá)訓(xùn)練，努

3、力使解題過程層次分明，表達(dá)清晰，理由充分。2021/8/8 星期日5知識(shí)框架空間線、面平行與垂直的判定與證明空間的角和距離簡單的幾何體 2021/8/8 星期日6內(nèi)容一、空間線面平行與垂直的判定與證明線線垂直（或平行）線面垂直（或平行）面面垂直（或平行）（體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想）2021/8/8 星期日7【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90, ADBC且AB=BC=a， AD=2a，且 PA底面ABCD， 若AEPD，E為垂足。 求證：BEPD2021/8/8 星期日8 【證明】 法一：PA平面ABCD，PAAB 再由ABAD，得AB平面PAD，ABPD，又AEP

4、D，PD平面ABE， 故BEPD【分析】 要證線線垂直，要證線面垂直或三垂線定理，還可以運(yùn)用空間向量法。2021/8/8 星期日9法二：由題設(shè)ABAD，ABAP，AB平面PAD 在平面上的射影是又由AEPD，得BEPD法三：本題還可用空間向量法2021/8/8 星期日10【例2】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F。求證：PB平面EFD2021/8/8 星期日11【分析】要證明PB平面EFD，可證PBEF和PBDE。EFPB已知，故只要證PBDE，通過證DE平面PBC便可實(shí)現(xiàn)2021/8/8 星期日12【證明

5、】證法一：PD底面ABCD，且DC 底面ABCD PDDC PD=DC 可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DEPC 同理由PD底面ABCD，得PDBC 2021/8/8 星期日13DEPB 又EFPB，且DEEF=E， 所以PB平面EFD。而DE平面PDC，BCDE DE平面PBC，而PB平面PBC，底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC，2021/8/8 星期日14 證法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系D-xyz ，設(shè)DC= ，依題意得B（ ， ，0），P（0，0， ）E（0， ），D（0，0，0） =（ ， ，- ）

6、， =（ 0， ， ） = 0 =0 ，即PBDE 已知EFAB，且EFDE=E，所以PB平面EFD2021/8/8 星期日15【例3】如圖，正三棱柱ABC- A1B1C1 ，D是棱BC上的一點(diǎn)，且A1B平面ADC1，求證：平面ADC1平面BBC1 2021/8/8 星期日16【分析】 根據(jù)已知條件“A1B平面ADC1”聯(lián)想性質(zhì)。若連AC1交AC1于O，可得A1BOD，從而D是BC的中點(diǎn)，這是解題的關(guān)鍵；本題還可從向量入手。2021/8/8 星期日17【證明】 證法一：如圖， 連接A1C交AC1于O，連接OD A1B平面ADC1，且平面ADC1平面A1BC=OD A1BOD 在A1BC中，O為

7、A1C的中點(diǎn) D為BC的中點(diǎn) ADBC AD平面B1BCC1 又AD 平面ADC1平面ADC1平面B1BCC12021/8/8 星期日18 證法二：向量法 以AB的中點(diǎn)M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）也可證ADBC ，證明過程請(qǐng)同學(xué)們完成。 思考： 能否建立其它的空間直角坐標(biāo)系呢？2021/8/8 星期日19【例4】 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是EF的中點(diǎn)。求證：AM平面BDE2021/8/8 星期日20【證明】 證法一： 設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE。O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，四邊形AOEM是平行四邊形，AMOE【分析】

8、如圖，只要證AMOE即可 AM平面BDEOE平面BDE，AM平面BDE 2021/8/8 星期日21 證法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AC BD=N，連接NE，則N（ ， ，0）,E（0，0，1），A（ ， ，0），M（ ， ，1） =（，1） =（ ， ，1）=， 且與不共線 即NEAM NE 平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE 2021/8/8 星期日22【解題回顧】 空間直線、平面的平行（或垂直）位置關(guān)系的問題： “已知條件”聯(lián)想性質(zhì)定理， “求證” 聯(lián)想判定定理， 這對(duì)平行與垂直關(guān)系的證明很有幫助。2021/8/8 星期日23二：空間的角和距離空間的角：異面直線所成的角

9、；直線與平面所成的角；二面角的平面角強(qiáng)調(diào)：求異面直線所成的角的方法2021/8/8 星期日24求異面直線所成的角的方法：平移法，向量法E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，求異面直線OE和FD1所成的角的余弦值。【例5】如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，2021/8/8 星期日25分析: 通過平移異面直線中的一條或兩條，將異面直線所成的角化歸到三角形中，然后解三角形求之（稱構(gòu)造三角形）；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求之2021/8/8 星期日26解法一：取面CC1D1D的中心為H，連接FH、D1H，在FHD1中 =，F(xiàn)H=，D1H = 由余弦定理得D1F

10、H的余弦值為。2021/8/8 星期日27 解法二：取C1D1的中點(diǎn)H，連接HE，故HOE即為所求，然后在HOE中解出HOE的余弦值。 （請(qǐng)同學(xué)們完成）2021/8/8 星期日28解法三：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0）， D（0，0，0）， D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），B（2，2，0） F（1，0，0），E（0，2，1），O（1，1，0），得=（-1，1，1），=（-1，0，2） 與夾角的余弦值為= 2021/8/8 星期日29求二面角的平面角的方法：定義法；利用三垂線定理法； 垂面法；法向量法；面積射影法。求直線與平面所成的角的方法:

11、2021/8/8 星期日30【例6】如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，求面VAD與面VDB所成的二面角的大小2021/8/8 星期日31tanAEB=【分析】 本題可用三垂線定理法，面積射影法，法向量法求之解法一：取VD的中點(diǎn)E，連接AE、BE ，VAD是正三角形 AEVD，AE=AD平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCDAB平面VAD ABVD AEB即為所求二面角的平面角。 于是故AEB=2021/8/8 星期日32 解法二：由解法 一 知 BA平面VAD，設(shè)面VAD與面VDB所成的二面角為，則有 = 設(shè)AD =

12、a 則 = = = = = 2021/8/8 星期日33 解法三：過V做VMAD于點(diǎn)M ，取BC的中點(diǎn)N，連接M N，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)AD=2，則V（0，0，），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），則 =（2，2，0），=（1，0，），2021/8/8 星期日34由解法 一 知為平面VAD的法向量，且=（0，2，0）設(shè)平面VBD的法向量為=（1，x，y） 由 且 得2 + 2x = 0 且 1 +y=0解得 x=1，Y= =(1,1, ) = 2021/8/8 星期日35【解題回顧】 空間角或距離的計(jì)算， 解題途徑主要有兩條： 平移 向量 2021/8/

13、8 星期日36 （2） 空間距離： 求點(diǎn)到平面的距離的求法： 1. 直譯法 2 .等積法 3. 轉(zhuǎn)移法 4. 法向量法（例題從略） 2021/8/8 星期日37 三：簡單多面體 前面幾道例題主要涉及到棱柱、棱錐中線面關(guān)系的判斷和證明以及有關(guān)角、距離的問題，下面講解有關(guān)棱柱、棱錐 、球面的概念及面積、體積的計(jì)算。2021/8/8 星期日38【例7】如圖，在多面ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF= ，EF與面AC的距離為2求該多面體的體積2021/8/8 星期日39【分析】題目所給的多面體是棱柱或棱錐的部分，不能直接套用公式，適當(dāng)割補(bǔ)后，才能運(yùn)用體積公式進(jìn)行計(jì)算。20

14、21/8/8 星期日40解法一：連接EB、EC，則VE-ABCD= 332=6 AB=2EF， EFAB SEAB=2SBEF VF-EBC=VC-EFB = VC-EAB = VE-ABC= VE-ABCD = 所求多面體的體積為 V= VE-ABCD+ VF-EBC =6+ =2021/8/8 星期日41解法二：設(shè)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則EFFB，ENFC，MNBC，則FBC-EMN為三棱柱，其中VE-MNDA= 32=3 不妨設(shè)面BCF面ABCD，則VFBC-EMN=SBCFEF= 32= 所求多面體體積為3=2021/8/8 星期日42【例8】 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： (

15、1) 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐； (2) 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐； (3) 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐； (4) 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐； 其中，真命題的編號(hào)是（寫出所有真命題的編號(hào)）。2021/8/8 星期日43【分析】本題考查正三棱錐的定義、性質(zhì)。 (1) 因?yàn)榈酌媸堑冗吶切?，?cè)面與底面所成的二面角都相等，故側(cè)面三角形的高相等，由此推得三條側(cè)棱相等，所以三側(cè)面都是等腰三角形，并且三側(cè)面全等。由正三棱錐的定義知這樣的三棱錐是正三棱錐。 (2)

16、 側(cè)面是等腰三角形的三棱錐，如果有一條棱與底面三角形的邊相等，構(gòu)成等腰三角形，這就不能確定三個(gè)側(cè)面全等，這樣的三棱錐不一定是正三棱錐。2021/8/8 星期日44 (3) 側(cè)面的面積都相等的三角形不能確定為全等等腰三角形，所以這樣的三棱錐不一定是正三棱錐。 (4) 由側(cè)面與底面所成的角都相等，可知三條側(cè)棱在底面的射影相等且三條側(cè)棱相等。又因?yàn)閭?cè)面與底面所成的二面角都相等，所以側(cè)面三角形的高及高在底面上的投影都相等，三側(cè)面是全等的等腰三角形，這樣的三棱錐是正三棱錐。2021/8/8 星期日45【例9】設(shè)地球的半徑為R，在北緯45圈上有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在西經(jīng)40，點(diǎn)B在東經(jīng)50，求A、B兩點(diǎn)緯線圈

17、的弧長及A，B兩點(diǎn)的球面距離。2021/8/8 星期日46 【分析】首先看第一解題目標(biāo)，是求緯線圈中的弧長，必須要用弧長公式=r去解決，而公式中的 =AO1B，就是A、B兩地間的經(jīng)度差，如何求r呢？由地球半徑和緯度來求得。再看第二解題目標(biāo)，要求A、B兩點(diǎn)的球面距，根據(jù)定義，要先找出經(jīng)過A、B、O（球心）的一個(gè)大圓，再找出劣弧，而劣弧=AOBR，只需求出AOB的弧度數(shù)。2021/8/8 星期日47解：設(shè)45緯線圈的中心為O1，球心為O，則AO1B= 40+ 50= 90OO1平面AO1B 而OAO1=45，O1A= O1B=O1O=OAcos45=R 在RtAO1B中，AB=AO1=R AOB為

18、等邊 AOB= 故在45緯線圈上 L= AO1= R ； A、B兩點(diǎn)間的球面距離為 =R2021/8/8 星期日48 【小結(jié)】 解題口訣：立體幾何點(diǎn)線面，垂直平行重頭戲；做圖識(shí)圖鬼門關(guān)，圖形處理割補(bǔ)添；理解概念和定理，定性定量分清楚；判定方法要清晰，計(jì)算之前作和證；審題一定要仔細(xì)，學(xué)會(huì)分析找思路；三種語言莫含糊，表述要過四大關(guān)；要用空間坐標(biāo)系，選定原點(diǎn)和三軸；點(diǎn)的坐標(biāo)莫寫錯(cuò)，以免錯(cuò)誤丟分?jǐn)?shù)；轉(zhuǎn)化思想解問題，回歸課本要牢記；善于思考和勤問，觀察想象常推理。2021/8/8 星期日49立體幾何高考題型預(yù)測：熱點(diǎn)之一：點(diǎn)、線、面問題包括平面的基本性質(zhì)、空間的直線和平面的位置關(guān)系及判定方法。2021/

19、8/8 星期日50【例1】已知是兩個(gè)平面，直線 若以中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)分析：以，中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論可構(gòu)成三個(gè)命題 命題1：， 命題2：， ， 命題3：， ， 其中前兩個(gè)命題正確，第三個(gè)命題錯(cuò)誤。 2021/8/8 星期日51【例2】正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，那么，正方體的過、的截面圖形是（）（）三角形（）四邊形（）五邊形（）六邊形2021/8/8 星期日52分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有多面體的概念，空間圖形截面的性質(zhì)，直線和平面的位置關(guān)系，圖形的畫法以及根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。畫出圖形，

20、如圖所示。2021/8/8 星期日53 （練習(xí)）1在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)面都接觸，經(jīng)過棱 錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（ ）2021/8/8 星期日54分析：根據(jù)題意，鋼球球心必在棱錐 的高上，故 排除C、D。 鋼球恰好與棱錐的四個(gè)面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，所得圓只能與這條側(cè)棱對(duì)面上的高線，底面高線相切，而與這條側(cè)棱不相切。 故 排除A2021/8/8 星期日552在正方體中，寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。 2021/8/8

21、 星期日56分析：連結(jié)AB1,B1D1,D1A。則四面體A1AB1D1 是正三棱錐 A1A，A1B1，A1D1與底面AB1D1所成的角均相等 A1ABB1CC1DD1 A1D1ADBCB1C1 A1B1 AB DC D1C1 正方形的12條棱與面AB1D1 所成的角都相等。2021/8/8 星期日57熱點(diǎn)之二：空間角與距離問題 三個(gè)角： 包括兩條直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角； 八個(gè)距離： 包括點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到面的距離、兩條 平行直線的距離、異面直線的距離、直線與 平行平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離、球面上兩點(diǎn)的距離。強(qiáng)調(diào)：在求角或距離時(shí)，一定要“先找（或作）后解”。2021

22、/8/8 星期日58【例3】已知：斜三棱柱 的側(cè)面 與底面 垂直， 且（）求側(cè)棱 與底面 所成角的大??；（）求側(cè)面 與底面 所成二面角的大小；（）求頂點(diǎn)到側(cè)面的距離；（）求側(cè)棱和側(cè)面的距離。2021/8/8 星期日59解析：()作ADAC,垂足為D，由面A1ACC面ABC 得A1D面ABC A1AD為A1A與面ABC所成的角 AA1 A1C AA1 = A1C A1AD= 為所求。2021/8/8 星期日60()作DEAB ，垂足為E，則由A1D面ABC 得 A1EAB 所以是面與面所成的二面角的平面角由已知ABBC 得 EDBC 又D為AC的中點(diǎn)，BC=2 AC=2，所以DE=1 ， AD=

23、A1D= = 故 A1ED = 為所求。2021/8/8 星期日61()連結(jié)A1B ,根據(jù)定義,點(diǎn)C到面A1ABB1的距離, 即為三棱錐CAAB的高h(yuǎn), 由= 得 h =A1D 即2h =2 h=2021/8/8 星期日62()過B作BFAC 由面A1ACC1面ABC 得BF面A1ACC1 又BB1 面AACC 故B到平面A1ACC1的距離就是側(cè)棱BB1與側(cè)面A1ACC1的距離，在RtAB中 ABBC = ACBF 得 BF=2021/8/8 星期日63 (練習(xí)) 4如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，分別求A1C1與B1C所成角的大小A1C1與EF所成角的大小A1C與AD1所成角的大小AD1與EF所成角的大小BD1與CE所成角大小 B1C與平面ABCD所成角的大小 BD1與平面DCC1D1所成角的大小二面角B-A1C1-B1的大小 二